Презентація ,до модуля:"Математичні основи інформатики", на тему: "Арифметичні операції в позиційних системах числення"

Арифметичні операції в позиційних системах числення. Підготувала: вчитель інформатики Бойко Оксана Іллівна

Мета роботи Засвоїти правила додавання, віднімання, множення і ділення в позиційних системах числення.

Позиційні системи числення Система числення, в якій значення кожного числового знака (цифри) в запису числа залежить від його позиції (розряду). Таким чином, позиція цифри має вагу у числі. Здебільшого вага кожної позиції кратна деякому натуральному b, b>1, яке називається основою системи числення.

Арифметичні операції Арифметичні операції в усіх позиційних системах числення виконуються за тими же відомими правилами, з якими працюємо в десятковій системі числення.

Арифметика в двійковій системі числення заснована на використанні таблиць додавання, віднімання та множення. Таблицядодавання0+0=00+1=11+0=11+1= (1)0 Таблицявіднімання0–0=01–0=11–1=0( 1)0–1=1 Таблицямноження0∙0=00∙1=01∙0=01∙1=1перенесення одиниці; позика одиниці до старшого розряду зі старшого розряду.

Двійкове додавання Двійкове додавання виконується за тими же правилами, що і в десятковій системі числення, тобто порозрядно, але с тією лише різницею, що перенесення одиниці в старший розряд проводиться після того, як сума досягне не десяти, а двох (102).

Приклад 1 .1+1101111011011 Отже, 11012 + 11102 = 110112. Виконати додавання двійкових чисел 11012 + 11102

Приклад 21111+10101,11111,10111101,011 Виконати додавання двійкових чисел 10101,112 + 111,1012 Отже, 10101,112 + 111,1012 = 11101,0112. Примiтка. При додаванні кількох додатків необхідно стежити за одиницями перенесення в старші розряди, тому що ці одиниці можуть переходити не тільки в сусідні старші розряди, але і вище.

При відніманні двійкових чисел, якщо віднімається 0 – 1, то в даному випадку займається 1 зі старшого розряду. Ця займана одиниця зі старшого розряду переходить у молодший як дві одиниці (тобто старший розряд подається двійкою більшого степеня) 2 – 1 = 1. Відповідь записуємо 1.

Приклад 3.−1100111011100 Виконати віднімання двійкових чисел 110012 – 11012 Таким чином, 111012 – 11012 = 11002.

Приклад 4.−11,011,11,11 Виконати віднімання двійкових чисел 11,012 – 1,12 Таким чином: 11,012 – 1,12 = 1,112.

При множенні в двійковій системі числення двох n-розрядних чисел отримуємо 2n – розрядний добуток. Множення виконується за допомогою операцій зсуву і додавання

Приклад 5.∙111101+111+000111100011 Виконати множення двійкових чисел 1112 ∙ 1012 Отже, 1112 ∙ 1012 = 1000112.

Ділення двійкових чисел здійснюється за тими ж правилами, що й для десяткових. При цьому використовуються таблиці двійкового множення і віднімання.

Приклад 6.− 101010111111110− 001111110 Виконати ділення двійкових чисел 1010102 : 1112 Отже, 1010102 : 1112 = 1102.

Спочатку шукаємо в діленому число, починаючи від старшого розряду, яке було б більше ніж дільник. У даному примірнику це число 1010. Далі необхідно підібрати ділене цьому числу. Оскільки це цифра 0 або 1 та 1010 більш ніж 111, тому в частці пишемо першу 1. Множимо цю 1 на дільник, результат записуємо під ділене, дотримуючись розрядності. Виконуємо віднімання за правилами обчислення в двійковій системі числення. Зносимо наступну цифру діленого і отримане число порівнюємо з дільником. У даному прикладі отримали число 111, яке дорівнює дільнику 111, тому в частці записуємо 1. Знову виконуємо віднімання і отримуємо 0. Але в діленому залишився останній розряд 0, тому в частці записуємо 0. Отже відповідь 110.

Приклад 7.− 11001010101010101−00101010100 Виконати ділення двійкових чисел 1100102 : 10102 Таким чином, 1100102 : 10102 = 1012.

У вісімковій системі числення всі операції проводяться за тими ж правилами, за якими ці дії виконуються в десятковій системі числення. При виконанні операцій додавання і віднімання зручно використовувати вісімкову таблицю складання, при виконання операції множення використовуємо таблицю множення

Приклад 8.741+2521213 Додавання вісімкових чисел 7418 + 2528 Отже, 7418 + 2528 =12138

Приклад 9.− 346154172 Віднімання вісімкових чисел 3468 – 1548 Отже, 3468 – 1548=1728

Приклад 10.∙31*23733 Виконати множення вісімкових чисел 318 ∙ 238 Отже, 318 ∙ 238 = 7338

Приклад 11 Виконати множення вісімкових чисел 1170,648 ∙ 46,38 *1170,64 46,3+ 355 234+ 7324 70 47432 057334,134 Отже, 1170,648 ∙ 46,38 = 57334,1348.

Додавання у шістнадцятковій системі числення виконується порозрядно, починаючи з молодших розрядів. Кожний символ перетворюється в десяткову систему числення, потім виконується додавання, а результат обернено переводиться назад у шістнадцяткову систему.

Розглянемо простий спосіб переведення шістнадцяткового числа у двійкове та навпаки. Оскільки 16 = 24 = 100002, то одна шістнадцяткова цифра використовується для зображення чотирьох бітів:0 - 0000, 1 - 0001, 2 - 0010, 3 - 0011, 4 - 0100, 5 - 0101, 6 - 0110, 7 - 0111, 8 - 1000, 9- 1001, А- 1010, В- 1011, С- 1100, D- 1101, Е- 1110, F - 1111.

Перевести в шістнадцяткову систему числення двійкове число 1111010. Спочатку число, починаючи від молодшої цифри, розбивають на групи: 1010 та 111. Старша група доповнюється до тетради 0111. Цій тетраді відповідає шістнадцяткова цифра 7, а тетраді 1010 — цифра А. Отже, результатом переведення є 7 А. Тепер зобразимо у двійковому вигляді шістнадцяткове число А7. Шістнадцяткова цифра А зображує двійкове число 1010, а шістнадцяткова цифра 7 — двійкове число 111. Доповнивши двійковий запис числа 7 нулем у старшому розряді. Отримаємо А716= 101001112.

Приклад 12. Виконати додавання двох чисел у шістнадцятковій системі числення FB16 + C616+ B16 + 616 = 1110+610 = 1710 = 1610+110 = 1116;F16 + C16 + 116 = 1510+1210+110 = 2810 = 1610+1210 = 1 C16; перенесення з молодших розрядів. FB16 + C616 = 1 C116.

Домашнє завдання. Виконати множення двійкових чисел  Виконати додавання двійкових чисел Виконати множення вісімкових чисел