Презентація до уроку:"Кут між векторами. Скалярний добуток векторів у просторі"

Геометрія. Кут між векторами. Скалярний добуток векторів02.12.2025 Тема: Координати і вектори у просторіТема уроку:

Мета: Навчальна: ввести поняття кута між векторами у просторі; визначати скалярний добуток векторів, заданих своїми координатами; засвоїти теорему про скалярний добуток векторів та наслідок з неї (властивість та ознаку перпендикулярних векторів); формувати знання студентів про скалярний квадрат вектора та властивості векторів у просторі;Розвиваюча: розвивати творче мислення, обчислювальні навички, вміння аналізувати, робити самостійні висновки; Виховна: виховувати інтерес до вивчення точних наук; почуття відповідальності, культуру діалогу, впевненість при прийнятті рішень, уміння створювати умови для цілісного сприйняття загальної картини та орієнтуватись в нестандартних ситуаціях

Мотивація навчання. Крилатою фразою став вислів Я́на А́моса Ко́менського — фундатора наукової педагогіки, видатного чеського мислителя: «Все, що вивчається, повинно мати багато звязків». Вектори мають численні застосування в реальному світі. Вони є ключовим поняттям у математиці, фізиці та комп'ютерних науках. Вектори дозволяють нам описувати та вимірювати фізичні величини, рухатися у просторі та вирішувати різноманітні завдання.

Навігація: вектори використовуються в навігаційних системах, таких як GPS, для обчислення відстані та напрямку між двома точками. Мотивація навчання Вектори – найкращі друзі інженерів-електриків, тому що вектори використовуються для опису резисторів, конденсаторів та редукторів, які знаходяться у ланцюзі змінного току. Вони особливо корисні для опису таких речей, як двигуни та генератори. У комп’ютерних технологіях: Векторна графіка – тип комп’ютерної графіки, у якому видиме зображення або малюнок створюються на основі математичних описів ліній, кривих, фігур і кольорів.

Мотивація навчання. У хімії: Вектори використовуються для наочного уявлення будови атома. Хімічні реакції записуються за допомогою рівнянь, у яких використовуються вектори. У молекулярній біології вектор : - це транспортний засіб (наприклад, молекула ДНК) для передачі генетичного матеріалу у клітину. Жива векторна вакцина - це вакцина, яка використовує хімічно ослаблений вірус для транспортування частинок збудника з метою стимулювання імунної відповіді

Мотивація навчання. В кліматології та метерології: Вітер - векторна величина та описується двома параметрами: швидкістю та напрямком. За допомогою векторів показують напрямок руху повітряних мас в циклонах і антициклонах. За допомогою векторів складають карти міграції птахів. Векторами зображають напрямок течії річок, океанічних вод і т.п.

Мотивація навчання. Вектор у геополітиці: напрямок спрямування геополітичних амбіцій певної держави (наприклад, Європейський вектор України)Вектори у знаках дорожного руху: Навіть у простих наказових та інформаційно-вказівних знаках дорожного руху ми бачимо стрілки, що вказують напрям, які у математиці звуться векторами

Мотивація навчання. Підсумовуючи вище сказане, можна з впевненістю сказати, що вектори постійно поряд і від них не сховатися. Їхнє використання в більшості галузях доводить, що уявити життя без них складно. То ж не треба ХОВАТИСЬ!Відкрийте своє серце і розум для математики, впустіть її у своє життя, і вона відповістьвам взаємністю!

ПОНЯТТЯ КУТА МІЖ ВЕКТОРАМИ𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 Неколінеарні вектори𝜑 ∠𝒂,𝒃=𝝋 Колінеарні вектори𝑎 СпівнапрямленіПротилежно напрямлені𝑏 𝑎 𝑏 ∠𝒂,𝒃=𝟎° 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 ∠𝒂,𝒃=𝟏𝟖𝟎° 𝜑 

СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВСкалярний добуток векторів, заданих своїми координатами𝒂𝒙𝟏;𝒚𝟏;𝒛𝟏∙𝒃𝒙𝟐;𝒚𝟐;𝒛𝟐=𝒙𝟏𝒙𝟐+𝒚𝟏𝒚𝟐+𝒛𝟏𝒛𝟐 Знайдіть скалярний добуток векторів 𝒂 і 𝒃, якщо: (№1) Наприклад:𝒂−𝟐;𝟑;−𝟓, 𝒃𝟕;𝟒;𝟏 𝒂∙𝒃= =−𝟏𝟒+𝟏𝟐−𝟓= −𝟕 −𝟐∙𝟕+ 𝟑∙𝟒+ (−𝟓)∙𝟏= 

СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВТеорема про скалярний добуток векторів𝒂∙𝒃=𝒂𝒃𝐜𝐨𝐬𝝋 Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх модулів на косинус кута між ними(№2) Наприклад:𝒂=𝟔, 𝒃=𝟖,∠𝒂,𝒃=𝟏𝟐𝟎° 𝒂∙𝒃=𝒂𝒃𝐜𝐨𝐬𝟏𝟐𝟎°=  6∙𝟖∙(−𝟏𝟐) = −𝟐𝟒 Знайдіть скалярний добуток векторів 𝒂 і 𝒃, якщо: 

СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ𝒂𝒙𝟏;𝒚𝟏;𝒛𝟏∙𝒃𝒙𝟐;𝒚𝟐;𝒛𝟐=𝒙𝟏𝒙𝟐+𝒚𝟏𝒚𝟐+𝒛𝟏𝒛𝟐 𝒂∙𝒃=𝒂𝒃𝒄𝒐𝒔𝝋 Якщо 𝒂⊥𝒃, то 𝒂∙𝒃=𝟎,і навпаки (№3) Приклад При якому значенні 𝒚 вектори 𝒂𝟐;𝟑;𝟎 і 𝒃−𝟑;𝒚;𝟒 будуть перпендикулярними? 𝒂∙𝒃= −𝟔+𝟑𝒚=𝟎; 𝟑𝒚=𝟔; 𝒚=𝟐. 𝒄𝒐𝒔𝝋=𝒂∙𝒃𝒂∙𝒃 𝟐∙−𝟑+ 𝟑∙𝒚+ 𝟎∙𝟒= 𝟎; 

СКАЛЯРНИЙ КВАДРАТ ВЕКТОРА І ВЛАСТИВОСТІ СКАЛЯРНОГО ДОБУТКУ𝒂∙𝒂=𝒙𝟏𝒙𝟏+𝒚𝟏𝒚𝟏+𝒛𝟏𝒛𝟏=𝒙𝟏𝟐+𝒚𝟏𝟐+𝒛𝟏𝟐=𝒙𝟏𝟐+𝒚𝟏𝟐+𝒛𝟏𝟐𝟐=𝒂𝟐 𝒂𝟐=𝒂𝟐 Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його модуля𝒂, 𝒃, 𝒄 - вектори, 𝝀 - число 1𝒂∙𝒃=𝒃∙𝒂 2𝝀𝒂𝒃=𝝀𝒂𝒃 3𝒂+𝒃𝒄=𝒂∙𝒄+𝒃∙𝒄 (Переставна)(Сполучна)(Розподільна)Властивості скалярного добутку

Відомо, що ∠𝒂,𝒃=𝟒𝟓°,𝒂=𝟐𝟐,𝒃=𝟑. Знайдіть: 𝒂+𝟐𝒃𝒂  (№4) Розв’язуємо гуртом: Розв’язання: 𝒂+𝟐𝒃𝒂 = 𝒂𝟐+𝟐𝒂∙ 𝒃 = 𝒂𝟐=𝒂𝟐= 𝟐𝟐𝟐=  4 ∙𝟐=  8 𝒂∙𝒃=𝒂𝒃𝐜𝐨𝐬𝝋= 𝟐𝟐∙𝟑∙𝒄𝒐𝒔 𝟒𝟓°= 6𝟐∙𝟐𝟐= 68 + 2 ∙𝟔=  8 +12 = 20

Знайдіть кут між векторами 𝒂𝟎;𝟐;−𝟐 і 𝒃𝟏;𝟎;−𝟏.   (№5) Розв’язуємо гуртом (додатково):𝒄𝒐𝒔𝝋=𝒂∙𝒃𝒂∙𝒃 𝒂𝒙𝟏;𝒚𝟏;𝒛𝟏∙𝒃𝒙𝟐;𝒚𝟐;𝒛𝟐=𝒙𝟏𝒙𝟐+𝒚𝟏𝒚𝟐+𝒛𝟏𝒛𝟐 𝒂=𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛𝟐 

У прямокутній системі координат задано точки А(-4;3;7) та В(10;1;2). Відомо, що довжина вектора 𝒄 втричі манша за довжину вектора 𝑨𝑩. Визначте скалярний добуток векторів 𝒄 та 𝑨𝑩, якщо кут між цими векторами дорівнює 60°.  (№5) Розв’язуємо гуртом (додатково):𝑨𝑩=𝒙𝟐−𝒙𝟏𝟐+𝒚𝟐−𝒚𝟏𝟐+𝒛𝟐−𝒛𝟏𝟐 𝒂∙𝒃=𝒂𝒃𝐜𝐨𝐬𝝋 

Дано вектори 𝒎𝟏;𝒚;𝟕 і 𝒏−𝟐;𝟑;𝟐. При якому значенні 𝑦 буде виконуватись рівність 𝒎∙𝒏=𝟏𝟐?  (№4) Розв’язуємо гуртом(додатково):𝒂𝒙𝟏;𝒚𝟏;𝒛𝟏∙𝒃𝒙𝟐;𝒚𝟐;𝒛𝟐=𝒙𝟏𝒙𝟐+𝒚𝟏𝒚𝟐+𝒛𝟏𝒛𝟐 

Осмислення нового матеріалу. Тест-контроль (вірна відповідь на:1-ше питання – 1 бал,2-ге питання – 2 бали, 3-тє питання – 2 бали, 4-те питання – 2 бали, 5-те питання – 2 бали, 6-те питання – 3 бали) Якщо ви набираєте 1 - 3 бали, то рівень засвоєння низький, 4-6 – середній, 7-9 – достатній, 10-12 – високий

Тест-контроль. Скалярний добуток перпендикулярних векторів дорівнює … (1 бал){5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД-1102-3{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД-204-42 Знайдіть скалярний добуток векторів 𝒂(𝟑;𝟎;−𝟒)та 𝒃(−𝟐;𝟓;−𝟏) … (2 бали) 

Тест-контроль3) Знайдіть скалярний квадрат вектора 𝒂(𝟓;−𝟑;−𝟏) … (2 бали) {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД5025𝟐50𝟐-2525{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД50-2525{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД1535𝟏𝟓𝟑𝟓23{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД1535234) Кут між векторами 𝒂 і 𝒃 дорівнює 30°. Знайдіть скалярний добуток векторів, якщо 𝒂=𝟓,𝒃=𝟏𝟎 (2 бали) 

Тест-контроль5) Чи перпендикулярні вектори 𝒂(𝟏;−𝟐;−𝟒) та 𝒃(𝟐;𝟑;−𝟏) … (2 бали) {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД𝟐𝟕𝟏𝟎𝟕𝟑𝟎- 𝟐𝟕𝟏𝟐𝟓𝟕{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГтакнінедостатньо данихнеможливо визначити6) Знайдіть косинус кута між векторами 𝒂 (𝟓;−𝟏;−𝟐) і 𝒃 (𝟐;𝟔;−𝟑). (3 бали) 

ПЕРЕВІРКА 123456 ВАГДАБ1б.2б.2б.2б.2б.3б.

Підбиття підсумків уроку. Роз’яснення незрозумілих питань. Самооцінювання робіт здобувачами освіти. Оголошення оцінок за урок. 

ВЕКТОР ЖИТТЯРефлексія. У просторі часу, де мрії летять, Я креслю свій вектор – дорогу життя. Початок від серця напрямком вгору. До світла, минувши проблеми та горе. Наш вектор життя – це вибір щодня. Вперед до мети через віру й знання. ШІ

О. С. Істер(2018)Опрацювати §14 Виконати: № 14.2 початковий рівень; № 14.6 середній рівень; № 14.8 достатній рівень;№ 14.21 високий рівень. Домашнє завдання

Створіть власний "векторний" малюнок або дизайн, використовуючи виключно вектори. Це може бути логотип, абстрактна композиція, анімація або навіть частина візуалізації вашого хобі (наприклад, спортивне спорядження, музичний інструмент тощо). Творче завдання: Векторне мистецтво: Завдання: Намалюйте малюнок, використовуючи лише вектори, розташовуючи їх в просторі. Використовуйте різні операції з векторами (додавання, віднімання, множення на скаляр) для створення складних форм. Опишіть, як ви створювали зображення, і які вектори були використані для створення певних елементів.

Доповніть речення. Це ледь не класичний прийом рефлексії, тож ми не могли «пройти повз нього». Наприкінці заняття педагог пропонує своїм вихованцям в усній чи письмовій формі доповнити наступні речення (викладач може вигадати свої варіанти речень): На сьогоднішньому занятті я зрозумів(-ла)/дізнався(-лась)/розібрався(-лась)... Я хочу похвалити себе за те, що на сьогоднішньому занятті ... На занятті мені особливо сподобалося ... Знання із сьогоднішнього заняття мені знадобляться ... На сьогоднішньому уроці мене здивувало ...