Презентація до уроку: Найпростіші тригонометричні рівняння

26.02.202426.02.2024 Найпростіші тригонометричні рівняння. Тригонометричні функції та їх властивості

Мета: навчальна: ввести поняття арксинуса, арккосинуса, арктангенса; сформувати поняття про найпростіші тригонометричні рівняння sin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x = a; та різні способи запису множини їх коренів; формувати вміння розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння; розвиваюча: розвивати творче мислення, обчислювальні навички, вміння аналізувати, робити самостійні висновки; виховна: виховувати інтерес до математики, почуття відповідальності, культуру діалогу, впевненість при прийнятті рішень, уміння створювати умови для цілісного сприйняття загальної картини та орієнтуватись в нестандартних ситуаціях

: предметна компетентність: сформувати вміння розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння, зокрема такі, що зводяться до найпростіших, шляхом застосування формул додавання для тригонометричних функцій та наслідків із них;ключові компетентності: інформаційно-цифрова компетентність — діяти за алгоритмом та складати алгоритми; визначати достатність даних для розв'язання задачі;уміння вчитися впродовж життя — організовувати та планувати свою навчальну діяльність; соціальна та громадянська компетентності — висловлювати власну думку, слухати і чути інших. Формування компетентностей

ЗНАЙДІТЬ ВІДПОВІДНІСТЬ (№1){5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A} ВІДПОВІДЬ1. sinα - це …2. 𝒄𝒐𝒔𝜶𝒔𝒊𝒏𝜶=…3. сosα - це…4. tgα = …5. Множина значень sinx, сosx …6. Найменший додатній період для функцій tgx, ctgx…7. Серед тригонометричних функцій парною є…8. Найменший додатній період для функцій sinx, сosx… {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A} ВІДПОВІДЬ1. sinα - це …3. сosα - це…4. tgα = …5. Множина значень sinx, сosx …6. Найменший додатній період для функцій tgx, ctgx…7. Серед тригонометричних функцій парною є…8. Найменший додатній період для функцій sinx, сosx… Ж) ордината точки Рα (х; у) одиничного кола. Е) ctgα А) абсциса точки Рα (х; у) одиничного кола. Б) 𝒔𝒊𝒏α𝒄𝒐𝒔α Є) [-1;1] Д) 𝝅 В) сosα Г) 𝟐𝝅 style.colorstyle.colorstyle.colorstyle.colorstyle.colorstyle.colorstyle.colorstyle.color

Варто тільки повірити, що ви можете – і ви вже на півдороги до ціліТеодор Рузвельт американський політик, 26-й президент США

Мова алгебри – рівняння! Рівняння – це золотий ключик, який відкриває всі математичні сезами! Без них не обходяться сьогодні такі предмети як фізика, хімія, астрономія, біологія, економіка. І хоч краса і багатство тригонометрії – це її формули, але всі вони використовуються при розв’язуванні тригонометричних рівнянь. Тригонометричні функції застосовуються в науці та техніці, а розв’язання тригонометричних рівнянь є невід’ємною складовою багатьох технічних та економічних процесів, які відбуваються навколо нас, тому питання про розв’язування тригонометричних рівнянь досить актуальне . Найпростіші тригонометричні рівняння досить часто зустрічаються в завданнях ЗНО та НМТ. Мотивація навчальної діяльності

Розв’язування будь-якого тригонометричного рівняння зводиться до розв’язування найпростіших рівнянь, тому дуже важливо мати навички розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь. Тригонометричними називають рівняння, в яких невідома (змінна) входить лише під знак тригонометричної функції. Особливістю розв’язків тригонометричних рівнянь є:вони або не мають розв’язків, або мають їх безліч внаслідок властивості періодичності тригонометричних функцій.

До найпростіших тригонометричних рівнянь належать рівняння виду:sin x = a cos x = atg x = actg x = a

Сьогодні на уроці навчимося знаходити розв’язки найпростіших тригонометрічних рівнянь, для чого спочатку ознайомимося з оберненими тригонометричними функціями та поняттями арксинуса, арккосинуса, арктангенса і арккотангенса

уt01-1arcsin a - це число (кут) із проміжку −𝝅𝟐;𝝅𝟐,синус якого дорівнює а. Причому, | а |≤ 1 arcsin а𝝅𝟐 - 𝝅𝟐 аarcsin (-a)= - arcsin a-а -arcsin а. Обчисліть: (№ 2)𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛−22+𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛12 =  = - 𝜋4 + 𝜋6=  - 𝜋12  Обернені тригонометричні функції

уt𝝅𝟐 0π1-1-ааarccos а arccos(-а)arccos a – це число (кут) із проміжку [0;π], косинус якого дорівнює а. Причому, | а |≤ 1. arccos(- а) = π- arccos а. Обернені тригонометричні функціїЗнайдіть помилку:arcсо𝑠−22+arccos22 = - 𝜋4 + 𝜋4 = 0   arcсо𝑠−22+arccos22=               Вірно:= 𝜋 - 𝜋4 + 𝜋4 = 𝜋  

arctg a– це число (кут) з інтервалу 𝝅𝟐;− 𝝅𝟐, тангенс якого дорівнює а. a ∈ R уt01-1arctg aаarctg (-a)= - arctg a-а-arctg a−𝝅𝟐 (як і для синуса)𝝅𝟐 Обчисліть (усно): Обернені тригонометричні функції arctg ( - 1) = -  𝜋4  

уt01𝝅 0arcctg a – це число (кут) з інтервала (0;𝝅), котангенс якого дорівнює а. a ∈ R -аarcctg aarcctg (-a) = 𝝅-arcсtg a а𝝅-arcctg a Обернені тригонометричні функції(як і для косинуса)Обчисліть (усно): arcctg ( - 3) =  𝝅-  𝜋6 =  5 𝜋6  

|а| ≤ 1 Корені, симетричні відносно Оу, записують так : x = arcsin a + 2𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 x = 𝝅− arcsin a + 2𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁  x = (−𝟏)𝒌arcsin a + 𝝅𝒌,𝒌𝝐𝒁 Рівняння sin x = at. Ці розв’язки рівняння можна об’єднати в одну формулу:aarcsin a𝝅− arcsin a 

sin x = 0 x = 𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 sin x = 1 x = 𝝅𝟐+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 sin x = -1 Часткові випадки: x = −𝝅𝟐+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 Рівняння sin x = at

t Iа. I >1 Немає точок перетину з колом. Рівняння не має коренів Рівняння sin x = ax 𝝐 ∅ 

Розвʼяжіть рівняння:(№ 4) Розвʼязуємо разом1) sin𝑥=12  x =−1𝑘𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛12 + 𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍  x =−1𝑘  𝜋6  + 𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍 2) sin5𝑥=−3       x∈∅ 3) sin2𝑥=0  2x =𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍  x =𝜋𝑛2 , 𝑛∈𝑍 

aarccos a-arccos acos x = a, |а| ≤ 1 x = ± arccos a+2𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 cos x = 0 x = 𝝅𝟐+𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 cos x = 1 x = 𝟐𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁 cos x = -1 x = 𝝅+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝝐𝒁  Часткові випадки: Рівняння cos x = at

𝒕  Ia. I>1 Немає точок перетину з колом. Рівняння не має коренів. Рівняння cos x = ax 𝝐 ∅ 

Скільки коренів рівняння 2cos x = 2 належить проміжку [0; 𝝅]? (№ 5) Розвʼязуємо разом (керована практика) c𝑜𝑠𝑥=22  x =± 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠22 + 2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍  x =  ± 𝜋4 + 2𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍 Завдання НМТ: x1 = 𝜋4 + 2𝜋∙0=𝜋4  ∈[0; 𝝅] n = 0, x2 =− 𝜋4 + 2𝜋∙0=−𝜋4  ∉[0; 𝝅]  x1 = 𝜋4 + 2𝜋∙1=9𝜋4  n = 1,∉[0; 𝝅]  x2 =− 𝜋4 + 2𝜋∙1=7𝜋4  ∉[0; 𝝅] Відповідь: один

ty101–10лінія тангенсівatg x = a, a – будь−яке число –1 Коренями рівняння tg x = a є числа, які потрапляють у дві точки тригонометричного кола t = arctga+πРівняння tg x = a𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡g𝑎+𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ  t = arctg a

(№ 6) Розвʼязуємо разом (керована практика) Завдання НМТ: tg 𝝅𝑥=1 Укажіть корені рівняння А) 𝜋4 Б) 0 В) 1 Г) 14 Д) 1𝜋  Розвʼязання:𝝅𝑥=arctg 1+ π𝑛, 𝑛∈ℤ 𝝅𝑥=𝜋4+ π𝑛, 𝑛∈ℤ 𝑥=𝜋4𝜋+ 𝜋𝑛𝜋, 𝑛∈ℤ 𝑥=14+ 𝑛, 𝑛∈ℤ  n = 0𝒙=𝟏𝟒 Відповідь: Г

ty101–10лінія котангенсівactg x = a, a – будь−яке число –1t = arcctg a + πt = arcctg a. Коренями рівняння ctg x = a є числа, які потрапляють у дві точки тригонометричного кола. Рівняння ctg x = a𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡g𝑎+𝜋𝑛, 𝑛∈ℤ 

Розвʼяжіть рівняння:(№ 7) Розвʼязуємо разом1) ctg(𝑥− 𝜋6)=− 3  x - 𝜋6= arcctg ( - 3 ) + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍  x - 𝝅𝟔 = 𝜋 - 𝜋6 + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍  x = 𝜋 - 𝜋6 + 𝜋6 + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍  x = 𝝅 + 𝝅𝒏, 𝒏∈𝒁 

Розвʼяжіть рівняння:1) sin𝑥=− 32 2) cos𝑥2=−12 3) 3tg𝑥−1=0 Розвʼязуємо разом (додатково)

Осмислення нового матеріалу. Тест-контроль (вірна відповідь на:1-ше питання – 1 бал,2-ге питання – 1 бал, 3-тє питання – 2 бали, 4-те питання – 2 бали,5-те питання – 2 бали,6-те питання – 2 бали;7-ме питання – 2 бали) Якщо ви набираєте 1 - 4 бали, то рівень засвоєння низький, 5-6 – середній, 7-9 – достатній, 10-12 – високий

Тест-контроль. Скільки коренів має рівняння: ctg x = 𝝅𝟐 ? (1 бал) {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГДтільки одинжодногоодин або жодногобезлічбезліч або жодного{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД𝝅𝒏, 𝒏 ∈ 𝒁𝝅𝟐+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝛜𝐙𝝅𝟐+𝝅𝒏,𝒏𝛜𝐙−𝝅𝟐+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝛜𝐙2𝝅𝒏, 𝒏 ∈ 𝒁{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД𝝅𝒏, 𝒏 ∈ 𝒁2𝝅𝒏, 𝒏 ∈ 𝒁Розв’яжіть рівняння: sin x = 1 (1бал)

Тест-контроль3) Рішенням якого з нижче перерахованих рівнянь є така відповідь x = 2𝝅𝒏 (2 бали){5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГДcos x = 1 sin x = 0ctg x = 1tg x = 1sin x = 1{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД− 𝟏𝒏𝝅𝟔+𝝅𝒏, 𝒏 ∈ 𝒁+ 𝝅𝟔+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝛜𝐙−𝝅𝟐+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝛜𝐙− 𝟏𝒏+𝟏𝝅𝟔+𝝅𝒏, 𝒏 ∈ 𝒁+ 𝝅𝟔+𝝅𝒏,𝒏𝛜𝐙{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД4) Розв’яжіть рівняння: cos x = 𝟑𝟐 (2 бали) 

Тест-контроль5) Яке з рівнянь не має розв’язків ? (2 бали){5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГДcos x = 1 sin x = 𝝅𝟑tg x = 3,5cos x = 𝝅𝟔ctg x = - 8{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГДcos x = 1 tg x = 3,5ctg x = - 8{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД− 𝟏𝒏𝝅𝟔+𝝅𝒏, 𝒏 ∈ 𝒁+ 𝝅𝟔+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝛜𝐙− 𝟏𝒏𝝅𝟒+𝟐𝝅𝒏, 𝒏 ∈ 𝒁− 𝟏𝒏+𝟏𝝅𝟒+𝝅𝒏, 𝒏 ∈ 𝒁− 𝟏𝒏𝝅𝟒+𝝅𝒏, 𝒏 ∈ 𝒁{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД6) Розв’яжіть рівняння: sin x = 𝟐𝟐 (2 бали) 

Тест-контроль{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД−𝝅𝟔+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝛜𝐙𝝅𝟑+𝝅𝒏,𝒏𝛜𝐙𝝅𝟒+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝛜𝐙𝝅𝟔+𝝅𝒏,𝒏𝛜𝐙𝝅𝟔+𝟐𝝅𝒏,𝒏𝛜𝐙{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД7) Розв’яжіть рівняння: 3tg x - 𝟑 = 0 (2 бали) 

ПЕРЕВІРКА 1234567 ГБАББДГ1 б.1 б.2 б.2 б.2 б.2 б.2б.

Підбиття підсумків уроку. Самооцінювання робіт здобувачами освіти. Оголошення оцінок за урок.

 Синквейн - це уміння виділити найбільш суттєві елементи, робити висновки і коротко їх формулювати. Рефлексія з використанням дидактичного сенкана (Синквейна):1. Іменник (ключеве слово):2. Опис (два прикметники):3. Дія (три дієслова), пов’язана з темою:4. Ставлення (фраза - чотири слова), почуття з приводу обговореного:5. Перефразування сутності (одне слово – синоніми, узагальнююче слово):рівняння Сенкан (Синквейн) – це короткий неримований вірш, що складається з п’яти рядків найпростіші, тригонометричні оцінюємо, підставляємо, розв’язуємо розв’язуються за певними формулами вирази

Рефлексія емоційного стану: Виберіть картинку відповідно вашому емоційному настрою на уроці:«Я все зрозумів і задоволений своєю роботою на уроці» «Набув певну суму знань, але дещо незрозуміло» «Мені складно було зрозуміти і я не задоволений собою на окремих етапах уроку»САМООЦІНКА

26.02.2024 Домашнє завдання{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A} Опрацювати §16, опрацювати конспект Виконати: № 16.6 (початковий рівень); 16.8 (середній рівень); 16.10 (1-4) (достатній рівень) 16.18 (високий рівень) *Часткові випадки для рівнянь: tg x = – 1, tg x = 0, tg x = 1; ctg x = – 1, ctg x = 0, ctg x = 1 Підручник: Математика: (алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту) для 10 кл.\ О. С. Істер

рактивна гра «Незакінчене речення»1. Тригонометричними називають рівняння, в яких змінна входить … (під знак тригонометричної функції)2. Особливістю розв’язків тригонометричних рівнянь є: …(VI. НЕЗАЛЕЖНА ПРАКТИКАЦілком самостійна практика класі