Презентація до уроку "Нескінченна спадна геометрична прогресія"

Нескінченна спадна геометрична прогресія зі знаменником |q| < 1 та її сума. Алгебра 9 клас

Мета уроку: Познайомитися з нескінченними спадними геометричними прогресіями зі знаменником |q| < 1. Розглянути поняття суми нескінченної спадної геометричної прогресії. Вивести формулу для знаходження суми.

Означення. Геометрична прогресія називається нескінченно спадною, якщо модуль її знаменника менше одиниці. Наприклад: Легко помітити, що знаменник першої прогресії дорівнює , а другої -

Розглянемо квадрат зі стороною 1. Візьмемо його половину, потім половину частини, що залишилася, і т. д. (рис.). Площі заштрихованих прямокутників утворюють геометричну прогресію знаменник якої дорівнює q = .

Сума площ всіх заштрихованих прямокутників дорівнює 1. Переконаємося, що це твердження вірне. Натисніть на

=Сума площ всіх заштрихованих прямокутників дорівнює 1.fillcolorfill.typefill.on

=Отримали

Обгрунтування. Для надання змісту виразу в лівій частині останньої рівності розглянемо суму n перших членів: За формулою суми n перших членів геометричної прогресії маємо: Якщо n необмежено збільшується (пишуть n → ∞), то вираз наближається до нуля (записують  0) , а тоді вираз  1. Отже, , якщо n→∞.

Формула суми. Сумою нескінченної спадної геометричної прогресії називається число, до якого наближається сума n перших членів цієї прогресії, якщо n нескінченно збільшується. Виведемо формулу суми нескінченної спадної геометричної прогресії b1 + b1q + b1q2 + b1q3 + …, знаменник якої |q| < 1. За формулою суми п перших членів геометричної прогресії маємо: Якщо |q| < 1, то при необмеженому збільшенні п вираз qn прямує до нуля, при цьому вираз теж прямує до нуля. Отже, при n→∞.

Формула суми нескінченної спадної геометричної прогресії.

Наприклад: Знайдіть суму нескінченної спадної геометричної прогресії 9; 3; 1; ... . Розв'язання

І наостанок…And finally…Формули і справедливі тільки для |q| < 1.

Дякую за увагу!