Презентація до уроку узагальнення та систематизації знань, умінь та навичок з розділу "Похідна та її застосування"

Урок узагальнення та систематизації знань, умінь та навичок з розділу «Похідна та її застосування»Решетник Віталій Сергійович

Зміст урокуІнтерактивна гра "Відгадай мене скоріше???"Дослідження властивостей функції за допомогою методів диференціального числення. Моделювання розв’язку. Знаходження області визначення функції;знаходження точок перетину графіка функції з осями координат;дослідження функції на парність, непарність, періодичність;дослідження функції на монотонність (диференціюємо функцію та знаходимо критичні точки);знаходження точок екстремуму функції та її значень в цих точках;дослідження функції на опуклість або увігнутість і знаходження точок перегину. Висновки та презентація результатів. Самостійне дослідження функції та побудова графіка функції. Відповіді.

Інтерактивна гра "Відгадай мене скоріше???"

Інтерактивна гра "Відгадай мене скоріше???" 6. Якщо для всіх х з даного проміжку виконується рівність f '(х)<0, то функція f _______ на даному проміжку.7. _________ точками функції називаються точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, або не існує.8. Область визначення функції – це множина значень, яких набуває ________ 

Інтерактивна гра "Відгадай мене скоріше???" 9. Функція називається _______, якщо при всіх х із області визначення функції виконується рівність: f (-х)=-f(х).10. _______ функції f у точці х0 називається число, яке дорівнює границі відношення приросту функції до приросту аргументу, при умові, що приріст аргументу прямує до нуля.11. Якщо для всіх х з даного проміжку виконується рівність f '(х)>0, то функція f ________ на даному проміжку.12. Точками __________ називаються точки максимуму і точки мінімуму функції. 

Дослідження властивостей функції за допомогою методів диференціального числення. Чи є поданий на рисунку 1.1. графік графіком функції 𝑦=𝑥𝑥2+𝑥?  

Знаходження області визначення функції𝑥2 + 𝑥 > 0 𝑥 (𝑥 + 1) > 0 𝑥1 = 0, 𝑥2 = −1 Отримуємо D(𝑦) = (−∞; −1) ∪ (0; +∞)Розглянемо межі:lim𝑥→−1𝑥𝑥2+𝑥=−11−1=−10=−∞ lim𝑥→0𝑥𝑥2+𝑥=00=lim𝑥→−1−011𝑥+1=1∞=0 Знайдемо похилі асимптоти виду y = k𝑥+ b.k = lim𝑥→∞𝑦𝑥=lim𝑥→∞1𝑥2+𝑥=0𝑏1=lim𝑥→∞𝑦−𝑘𝑥=lim𝑥→∞𝑥𝑥2+𝑥=∞∞=lim𝑥→∞11+1𝑥=1𝑏2=lim𝑥→−∞𝑦−𝑘𝑥=lim𝑥→−∞𝑥𝑥2+𝑥lim𝑥→−∞−𝑥𝑥2−𝑥=∞∞=lim𝑥→∞−11−1𝑥=−1 Таким чином, 𝑦 = 1 і 𝑦 = −1 – горизонтальні асимптоти.  

Знаходження точок перетину графіка функції з осями координат. Функція не має точок перетину з осями координат, оскільки отримані результати не належать області визначення.

Дослідження функції на парність, непарність, періодичність. Функція називається парною, якщо при всіх х із області визначення функції виконується рівність: f(−𝑥) = f(𝑥), і непарною, якщо при всіх х із області визначення функції виконується рівність: f (−𝑥) = −f(𝑥).𝑓−𝑥=−𝑥−𝑥2+−𝑥=−𝑥𝑥2−𝑥Функція не є ні парною ні непарною, ні періодичною.  

Дослідження функції на монотонність. Знайдемо першу похідну функції:𝑦′=𝑥𝑥2+𝑥′=𝑥2+𝑥−𝑥∗(2𝑥+1)2𝑥2+𝑥𝑥2+𝑥2=2𝑥2+2𝑥−2𝑥2−𝑥2𝑥2+𝑥3==𝑥2𝑥2+𝑥3=12𝑥+1𝑥2+𝑥 Прирівнюємо похідну до нуля. Отже, маємо критичні точки 𝑥 = 0 i 𝑥 = −1. Функція спадає на інтервалі (- ∞; – 1) та зростає на інтервалі (0; +∞). 

Знаходження точок екстремуму і значень функції в точках екстремуму. Функція згідно аналітичного розв’язання екстремумів не має.

Дослідження функції на опуклість або увігнутість і знаходження точок перегину Для точок перегину функції 𝑦 виконується 𝑦 ′′(𝑥) = 0 Якщо 𝑦 ′′(𝑥) < 0, то функція 𝑦(𝑥) опукла вгору, якщо 𝑦 ′′(𝑥) > 0, то функція опукла вниз (увігнута).𝑦′′𝑥2𝑥2+𝑥3′=𝑥2+𝑥3−3𝑥𝑥2+𝑥2∗2𝑥+12𝑥2+𝑥2𝑥2+𝑥6==−4𝑥2+𝑥4𝑥2+𝑥5 Прирівняємо отриману функцію до нуля і знайдемо наступні точки:𝑥1 = 0, 𝑥2 = −1, 𝑥3 = − 14 . Функція опукла на інтервалах (−∞; 1), (0; +∞), точок перегину немає. 

Висновки та презентація результатів. Отже, графік на рисунку 1.1. є графіком даної функції, оскільки всі досліджені властивості функції можна «побачити» на побудованому графіку.

Задача 2. Дослідити функцію 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 та побудувати її графік за допомогою алгоритму 

Відповіді до гри “Відгадай мене скоріше???”

Розв’язання задачі 2 (дослідити функцію 𝑦 = 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 та побудувати її графік за допомогою алгоритму) 

Домашнє завдання. Дослідити функції за алгоритмом та побудувати їх графіки: 𝑦=2𝑥3−𝑥2+5 𝑦=4−𝑥𝑥−2 Повторити геометричний та фізичний зміст похідної, повторити таблицю первісних. 

Дякую за увагу!