Презентація до уроку: "Визначений інтеграл, його геометричний зміст"

Визначений інтеграл, його геометричний зміст21.10.2025

Мета: Навчальна: засвоїти означення площі криволінійної трапеції, навчитися знаходити площу криволінійної трапеції; розглянути означення визначеного інтеграла та навчитися знаходити визначений інтеграл; засвоїти формулу Ньютона-Лейбніца та розглянути геометричний зміст визначеного інтеграла;Розвиваюча: розвивати творче мислення, обчислювальні навички, вміння аналізувати, робити самостійні висновки; Виховна: виховувати інтерес до вивчення точних наук; почуття відповідальності, культуру діалогу, впевненість при прийнятті рішень, уміння створювати умови для цілісного сприйняття загальної картини та орієнтуватись в нестандартних ситуаціях

(№1) АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}ЗАКІНЧІТЬ РЕЧЕННЯ… ВІДПОВІДЬ1. Операція знахожендня похідної y' = f '(x) функції y = f(x)…2. Операція знаходження функції за її похідною …3. Скільки первісних має функція?4. Невизначений інтеграл - це …5. Графіки будь-яких первісних даної функції можна отримати один з одного…6. Первісною для функції f(x) = 5 є…7. Загальний вигляд первісних для функції f(x) = 𝒙𝟒…{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}ЗАКІНЧІТЬ РЕЧЕННЯ… ВІДПОВІДЬ1. Операція знахожендня похідної y' = f '(x) функції y = f(x)…2. Операція знаходження функції за її похідною …3. Скільки первісних має функція?4. Невизначений інтеграл - це …5. Графіки будь-яких первісних даної функції можна отримати один з одного…6. Первісною для функції f(x) = 5 є…Ж) диференціювання. Д) інтегрування. А) безліч. Б) сукупність усіх первіснихЄ) паралельним перенесенням уздовж осі у. Г) F(x) = 5х + 7 В) F(x)=𝒙𝟓𝟓+C style.colorstyle.colorstyle.colorstyle.colorstyle.colorstyle.colorstyle.color

Пригадаємо таблицю первісних. Функція𝒇𝒙 Первісна𝑭𝒙 𝒌 k𝒙+𝑪 𝒙𝒑 𝒙𝒑+𝟏𝒑+𝟏+𝑪 𝟏𝒙 ln𝒙+𝑪 k – стала 𝒑≠−𝟏 𝟏𝒙 2𝒙+𝑪 𝒆𝒙 𝒆𝒙+𝑪 

Пригадаємо таблицю первісних. Функція𝒇𝒙 Первісна𝑭𝒙 𝐬𝐢𝐧𝒙 −𝐜𝐨𝐬𝒙+𝑪 𝟏𝐬𝐢𝐧𝟐𝒙 −𝐜𝐭𝐠 𝒙+𝑪 𝐜𝐨𝐬𝒙 𝐬𝐢𝐧𝒙+𝑪 𝒙≠𝝅𝒏, 𝒏∈ℤ 𝟏𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙 𝐭𝐠 𝒙+𝑪 𝒙≠𝝅𝟐+𝝅𝒏, 𝒏∈ℤ 

Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед. Одного разу Архімед повернувся з риболовлі і вирішив визначити найбільш точно площу поверхні риби. МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ

Архімед розбив поверхню риби на прямокутники і знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі

Ми добре вміємо обчислювати площі прямокутника, трикутника, трапеції, паралелограма, круга та його частин. Виникає питання: як обчислити площу плоскої фігури, обмеженої будь-якою кривою? Виявляється, що розв'язування такої задачі можливе за певних умов, якщо плоска фігура, яку ми розглядаємо – КРИВОЛІНІЙНА ТРАПЕЦІЯ.

Криволінійна трапеція𝒗 𝒕 Як знайти шлях, що подолає автомобіль?Чи буде цей шлях дорівнювати площі 𝑺 прямокутника? 𝒗𝟎 𝒔=𝒗𝟎𝒕 𝒗 𝒕 𝒔−? Рівномірний рух. Нерівномірний рух. ПРОБЛЕМНЕ ПИТАННЯ: Чи можемо знайти площу такої фігури?

Криволінійна трапеція𝒗 𝒕 𝒔−? Нерівномірний рух𝒚 𝒙 

Криволінійна трапеція𝒚 𝒙 𝒔−? 𝒂 𝒃 𝒚=𝒇𝒙 Означення. Якщо функція 𝒚=𝒇𝒙 неперервна на проміжку 𝒂;𝒃 і 𝒚=𝒇𝒙≥𝟎, то фігура, обмежена графіком функції 𝒇 і прямими 𝒚=𝟎,𝒙=𝒂 і 𝒙=𝒃, називається криволінійною трапецією. Основа криволінійної трапеції

Приклади криволінійних трапецій

(№2) Яка із наведених фігур є криволінійною трапецією?АБВГДЕstyle.colorfillcolorfill.type

Площа криволінійної трапеціїТеорема. Площу 𝑺 криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції 𝒚=𝒇𝒙 і прямими 𝒚=𝟎, 𝒙=𝒂 і 𝒙=𝒃 𝒂<𝒃, можна обчислити за формулою 𝑺=𝑭𝒃−𝑭𝒂, де 𝑭 будь-яка первісна функції 𝒇 на проміжку 𝒂;𝒃 𝒚 𝒙 𝒂 𝒃 𝒚=𝒇𝒙 𝑺=𝑭𝒃−𝑭𝒂 

(№3) Розв’язуємо гуртом. Знайдіть площу криволінійної трапеції, обмеженої: Косинусоїдою 𝒚=𝐜𝐨𝐬𝒙 і прямими 𝒚=𝟎, 𝒙=−𝝅𝟔, 𝒙=𝝅𝟐 −𝝅𝟐 −𝝅𝟔 −𝝅 𝝅𝟐 𝝅 𝑺=𝑭𝒃−𝑭𝒂 𝑭𝒙=𝒔𝒊𝒏 𝒙 𝑺=𝑭𝝅𝟐−𝑭−𝝅𝟔 =  =𝒔𝒊𝒏 𝝅𝟐 − 𝒔𝒊𝒏 −𝝅𝟔 = = 1 + 𝟏𝟐=𝟏,𝟓 

Формула Ньютона-Лейбніца. Нехай 𝑭 – первісна функції 𝒇 на проміжку 𝑰, числа 𝒂 і 𝒃 𝒂<𝒃, належать проміжку 𝑰. Різницю 𝑭𝒃−𝑭𝒂 називають визначеним інтегралом функції 𝒇 на проміжку 𝒂;𝒃 Означення𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙=𝑭𝒃−𝑭𝒂 Межі інтегрування𝒂 і 𝒃 Нижня межа𝒂 Верхня межа𝒃 Формула Ньютона-Лейбніца

Геометричний зміст визначеного інтеграла𝑺=𝑭𝒃−𝑭𝒂 𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙=𝑭𝒃−𝑭𝒂 𝑺=𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙 Сформулюйте теорему про площу криволінійної трапеціїСформулюйте формулу Ньютона-Лейбніца. Який можемо зробити висновок?Ця формула виражає геометричний зміст визначеного інтеграла

(№4) Розв’язуємо гуртом (НМТ 2025)На рисунку зображено графік функції y=2x та прямої x=2. Укажіть формулу, за якою можна обчислити площу зафарбованої фігури. Вstyle.color

Обчислення визначеного інтеграла. Знайти будь-яку первісну 𝑭 функції 𝒇 на проміжку 𝒂;𝒃; 1 Обчислити значення первісної 𝑭 у точках 𝒙=𝒃 і 𝒙=𝒂; 2 Знайти різницю 𝑭𝒃−𝑭𝒂 3 Виконуючи обчислення визначених інтегралів, зручно використовувати такий запис:𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙=𝑭𝒙𝒂𝒃=𝑭𝒃−𝑭𝒂 

ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА1 Якщо переставити межі інтегрування, то інтеграл змінює знак на протилежний𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙=−𝒃𝒂𝒇𝒙𝒅𝒙 𝜋2𝜋𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥= −𝒄𝒐𝒔𝒙𝝅𝟐𝝅= =𝒄𝒐𝒔𝝅𝟐−𝒄𝒐𝒔𝝅= 0+𝟏=𝟏 𝒄𝒐𝒔𝒙𝝅𝝅𝟐= 2 Для будь-якого 𝒂 виконується: 𝒂𝒂𝒇𝒙𝒅𝒙=𝟎 (№5)

ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА3Інтеграл суми функцій дорівнює сумі інтегралів цих функцій𝒂𝒃𝒇𝒙+𝐠𝒙𝒅𝒙=𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙+𝒂𝒃𝐠𝒙𝒅𝒙 (№6) Приклад (НМТ 2025)𝟐𝟓𝒙𝟐+𝟒𝒙+𝟒𝒙+𝟐𝒅𝒙= 𝟐𝟓(𝒙+𝟐)𝟐𝒙+𝟐𝒅𝒙= 𝟐𝟓(𝒙+𝟐)𝒅𝒙= (𝒙𝟐𝟐+𝟐𝒙)𝟐𝟓= =𝟓𝟐𝟐+𝟐∙𝟓−(𝟐𝟐𝟐+𝟐∙𝟐)= 𝟐𝟓𝟐+𝟏𝟎−𝟒𝟐−𝟒= =𝟏𝟐,𝟓+𝟒==𝟏𝟔,𝟓 

ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА4 Сталий множник можна винести за знак інтеграла:𝒂𝒃𝒌𝒇(𝒙)𝒅𝒙=𝒌𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙 (№7) Приклад (НМТ 2025)Обчисліть:𝟏𝟓𝟑𝒇𝒙𝒅𝒙, якщо  𝟏𝟓𝒇𝒙𝒅𝒙=𝟏𝟒 АВГД11421714352 АВГД11421752 Бppt_cstyle.color

ВЛАСТИВОСТІ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА5 Нехай с – деяка точка проміжку 𝒂;𝒃,тоді 𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙=𝒂𝒄𝒇𝒙𝒅𝒙+𝒄𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙 (№8) Приклад Обчисліть:𝟐𝟕𝒇𝒙𝒅𝒙, якщо  𝟐𝟓𝒇𝒙𝒅𝒙=𝟑 і 𝟓𝟕𝒇𝒙𝒅𝒙=𝟓   АБВД53782 Гppt_cstyle.color

(№9) Розв’язуємо гуртом. Доведіть, що криволінійні трапеції, зафарбовані на рисунку, рівновеликі𝒚 𝒙 𝒚=𝟔𝒙 𝑺𝟏=𝟏𝟐𝟔𝒙𝒅𝒙= 𝑺𝟏 =𝟔𝒍𝒏 𝒙𝟏𝟐= =𝟔𝒍𝒏𝟐−𝟔𝒍𝒏𝟏= 𝑺𝟐 𝑺𝟐=𝟑𝟔𝟔𝒙𝒅𝒙= =𝟔𝒍𝒏 𝒙𝟑𝟔= =𝟔𝒍𝒏𝟔−𝟔𝒍𝒏𝟑= =𝟔(𝒍𝒏𝟔−𝒍𝒏𝟑)= =𝟔𝒍𝒏𝟐=𝒍𝒏𝟐𝟔=𝒍𝒏𝟔𝟒 =𝟔𝒍𝒏𝟔𝟑=𝟔𝒍𝒏𝟐=𝒍𝒏𝟔𝟒 𝒔𝟏=𝒔𝟐 

Функція F(x)= 4𝒙𝟑−𝟑𝒙𝟐+𝟗 є первісною для функції f(x) на проміжку (−∞;+∞). Обчисліть:  (№10) Розв’язуємо гуртом (НМТ 2025) (додатково)𝟎𝟐𝒇𝒙𝒅𝒙 𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙=𝑭𝒙𝒂𝒃=𝑭𝒃−𝑭𝒂 𝟎𝟐𝒇𝒙𝒅𝒙=𝑭𝒙𝟎𝟐=𝑭𝟐−𝑭𝟎= = 𝟒∙𝟐𝟑−𝟑∙𝟐𝟐+𝟗−𝟒∙𝟎𝟑+𝟑∙𝟎𝟐−𝟗= = 𝟒∙𝟖−𝟑∙𝟒−𝟎+𝟎= = 𝟑𝟐−𝟏𝟐=𝟐𝟎 

Розв’язуємо гуртом (додатково)Обчисліть визначений інтеграл:𝟏) 𝟏𝟑𝟒𝒙𝟑−𝟒𝒙+𝟑𝒅𝒙 𝟐) 𝝅𝟒𝝅𝟑𝒅𝒙𝐜𝐨𝐬𝟐𝒙 

Осмислення нового матеріалу. Тест-контроль (вірна відповідь на:1-ше питання – 1 бал,2-ге питання – 1 бал, 3-тє питання – 2 бали, 4-те питання – 2 бали, 5-те питання – 3 бали, 6-те питання – 3 бали) Якщо ви набираєте 1 - 3 бали, то рівень засвоєння низький, 4-6 – середній, 7-9 – достатній, 10-12 – високий

Тест-контроль. На якому рисунку зображена фігура, що НЕ є криволінійною трапецією… (1 бал){5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГДусі фігури – криволінійні трапеції{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГДпервісну функціїплощу криволінійної трапеціїневизначений інтегралпохіднукоефіцієнт дотичноїЗа формулою Ньютона-Лейбніца обчислюють … (1бал)

Тест-контроль3) Відомо, що Знайдіть (2 бали){5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД1-15-54{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД24161456284) Обчисліть (2 бали)𝒂𝒃𝟐𝒇𝒙𝒅𝒙=𝟖.   𝟕∙𝒂𝒃𝒇𝒙𝒅𝒙.   −𝟏𝟎𝟓𝒙𝟒𝒅𝒙.   

Тест-контроль5) Знайдіть площу заштрихованої фігури… (3 бали){5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД2014 15 1112 {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}АБВГД 0- 21426) Функція F(x)= 5𝒙𝟐−𝟒𝒙+𝟑 є первісною для функції f(x) на проміжку (−∞;+∞). Обчисліть: … (3 бали) 𝟏𝟐𝒇𝒙𝒅𝒙 

ПЕРЕВІРКА 123456 ВБДАДГ

Підбиття підсумків уроку. Роз’яснення незрозумілих питань. Самооцінювання робіт здобувачами освіти. Оголошення оцінок за урок. 

Плюс  мінус  життя. Таблиця  розмноження. Квадратний  корінь  із  мрій  романтика. Два  пишем,  три  помічаєм. Розношенащоденнапростаматематика. Душа  підіймається  до  вищої. Душа  обчислює  суму  площ:минуле  -  майбутнє  -  живі  і  знищені  -правда  -  поезія  -  атомний  дощ. Дракон  -  Атлант  -  телефон  -  калина  -віра  -  вірус  -  мільярди  -  нулі... Життя  оперує  безконечно  малими. Ми  всі  поодинці  -  також  малі. ЗОРЯНИЙ ІНТЕГРАЛ (Уривок з поеми) Ліна Костенко Рефлексія. Але  з  усмішки,з  потиску  рук,з  брехні,  убитої  наповал,історія  -  найскладніша  з  наук  -обчислює  ЗОРЯНИЙ  ІНТЕГРАЛ.Із  найдрібніших  зоряних  крихт!Вища  математика  світу!З  СУМИ  НЕСКІНЧЕННО  МАЛИХВИНИКАЄ  НЕСКІНЧЕННО  ВЕЛИКЕ.

21.10.2025 Домашнє завдання{2 D5 ABB26-0587-4 C30-8999-92 F81 FD0307 C}Опрацювати §10 Виконати № 10.4; 10.6; 10.10; 10.12Істер О. С.