Презентація "Комплексне застосування арифметичної і геометричної прогресії"

Комплексне застосування арифметичної і геометричної прогресії. Розв’язування задач. Урок алгебри9 клас. Войтенко Н. М.

Мета: Сформувати практичні навички учнів щодо застосування формул розрахунку геометричної і арифметичної прогресій, в тому числі, при розв’язанні задач прикладного характеру

Основні задання уроку: Виявити сфери використання арифметичної і геометричної прогресій; Навести наочні приклади використання формул арифметичної і геометричної прогресій; Навчитися розв’язувати завдання, де комплексно використовуються і геометрична і арифметична прогресії

Повторення https://learningapps.org/display?v=pxoeys4u521

Перевірка сформованості основних навичок учнів

Для чого????Жодна математична дія, вираз чи формула не були придумані просто так. Це вимога часу до виконання певних побутових, наукових чи дослідницьких завдань, що стають перед людиною в різні етапи розвитку суспільства

Пошукова і аналітична діяльність учнів

Геометрична прогресія у токарному цеху. На токарному станку прикріплена табличка, де позначають швидкість обертання шпинделя при різних положеннях ручки. Виявляється, шпиндель обертається не з випадковими швидкостями, а цілком закономірно. Цей ряд швидкостей – геометрична прогресія.

Геометрична прогресія у токарному цеху. При конструюванні і випробовуванні часто конструктори були безпорадними при встановленні швидкості. Вибравши довільне значення вони отримували неправильну роботу коробки передач і, при цьому, ускладнення при обслуговуванні верстата. У 1876 році академік А. В. Гадолін довів, що верстати слід будувати зі ступенями швидкостей, які утворюють геометричну прогресію

Геометрична прогресія у токарному цеху. Кутова швидкість шпинделя на токарному станку коливається між 9 і 288 обертами за хвилину. Обчислити решту можливих кутових швидкостей обертання шпинделя, коли відомо, що можна ще одержати чотири кутові швидкості.

Геометрична прогресія у токарному цеху. Між числами 9 і 288 треба розмістити ще чотири члени геометричної прогресії. Використаємо формулу 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑞𝑛−1 одержимо:288=9𝑞5,Звідки 𝑞5 = 2889, q=532, q=2. Оскільки 𝑎1= 9,То 𝑎2 = 𝑎1𝑞 = 9* 2 = 18 (об/хв),𝑎3 = 𝑎2𝑞 = 18* 2 = 36 (об/хв),𝑎4 = 𝑎3𝑞 = 36* 2 = 72 (об/хв),𝑎5 = 𝑎4𝑞 =72* 2 = 144 (об/хв). Відповідь: 18 (об/хв), 36 (об/хв), 72 (об/хв), 144 (об/хв). 

Геометрична прогресія в будівельній справіТут широко використовуються колони. Виявляється вони мають форму не циліндра, а зрізаного конуса. Тому, що сила тиску в горизонтальних шарах будівельної колони зростає у напрямку до нижньої основи

Геометрична прогресія в будівельній справіДля збереження рівномірності напруги від тиску вздовж усієї довжини колони потрібно збільшувати площі її поперечних перерізів. Останні, для пропорційності і міцності, при рівновіддалені одна від одної, становлять геометричну прогресію. Враховуючи таку закономірність, колони будують не тільки красивими, а й міцними і надійними

Геометрична прогресія в будівельній справіЗнайти площу нижньої основи бетонної колони висотою 3м, коли відомо, що площа верхньої основи колони дорівнює 16 мд2, а площа перерізу, розміщеного на 2 м нижче, становить 16,29дм2

Знайти площу нижньої основи бетонної колони висотою 3м, коли відомо, що площа верхньої основи колони дорівнює 16 мд2, а площа перерізу, розміщеного на 2 м нижче, становить 16,29дм2 Розглянемо перерізи колони через кожний метр висоти. Тоді перший член геометричної прогресії а1 = 16, а третій – а3=16.29. Потрібно знайти четвертий член прогресії. Оскільки 𝑎3=𝑎1 𝑞2, то𝑞= 𝑎3𝑎1,    𝑞= 16,2916, 00 ≈1,009. Тоді 𝑎4= 𝑎3 𝑞≈16,29 ·1,009≈16,44 (дм3). Відповідь: ≈16,44 (дм3) 

Задачі на комплексне застосування арифметичної і геометричної прогресіїВідомо, що 1-й, 7-й і 25 члени арифметичної прогресії з ненульовою різницею складають геометричну прогресію. Знайти q.. РОЗВ’ЯЗАННЯ: Якщо розділимо друге рівняння на перше, то отримаємо q + 1 = 4, q = 3. Відповідь: 3.

Задачі на комплексне застосування арифметичної і геометричної прогресіїЧотири числа становлять арифметичну прогресію. Якщо від них відняти відповідно 10, 11, 9 і 1, то нові числа становитимуть геометричну прогресію. Знайдіть ці числа. РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Нехай     𝑎1 ,   𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4   – члени арифметичної прогресії або  𝑎1 , 𝑎1 +d, 𝑎1 +2d, 𝑎1 +3d,        де d – різниця прогресії. За умовою  𝑎1  -10, 𝑎1  +d –11, 𝑎1  +2d-9 і   𝑎1 +3d-1 – члени геометричної прогресії. За властивістю будь якого члена геометричної прогресії складемо систему рівнянь: 

,  * (-1)Віднявши від першого рівняння останньої системи друге рівняння, отримаємо  − 3𝑎1 =−39; ,  .𝑎1 =13. 

ТодіЗвідси або Якщото числа 13, 11, 9 і 7 – члени арифметичної прогресії, а числа 3, 0, 0, 6 – не є членами геометричної прогресії. Відповідь: 13, 17, 21 і 25.то числа 13, 17, 21 і 25 – члени арифметичної прогресії, а числа 3, 6, 12, 24 – члени геометричної прогресіїЯкщо

Дано: a, b, c - шукані числа, арифметична прогресія {a, b, c}, геометрична прогресія {а - 1, b - 3, с - 1}. Знайти: a, b, c. Розв’язання. Сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 27. Якщо від цих чисел відняти відповідно 1; 3; 2, то отримані числа будуть утворювати геометричну прогресію. Знайти вихідні три числа.

Шукані числааbс. Арифметична прогресіяа b = а + d с = а + 2d Геометричнапрогресіяа - 1 (а + d) – 3а + 2d – 2 За даними складемо таблицю За умовою сума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 27, то можна записати: а + а + d + а + 2d = 27, 3а + 3d = 27, а + d = 9 (1). За даними таблиці отримали при вирішенні b = 9, так як b = а + d.

2) Використовуємо властивість членів геометричної прогресії. Одержимо рівняння: Складемо систему рівнянь з рівнянь (1) і (2) вирішимо її.

d2 – d – 20 = 0 За теоремою, оберненою до теореми Вієта знайдемо корені отриманого рівняння:

Умова задачіСума трьох чисел, що утворюють арифметичну прогресію, дорівнює 27. Якщо від цих чисел відняти відповідно 1; 3; 2, то отримані числа будуть утворювати геометричну прогресію. Знайти вихідні три числа. Знайдемо шукані числа:1) а = 9 - (- 4) = 13, b = 9, с = 9 - 4 = 5.2) а = 9 - 5 = 4, b = 9, с = 9 + 5 = 14. Відповідь: 13, 9, 4 або 4, 9, 14.

Для тих, хто хоче знати більше Сума трьох чисел, які утворюють геометричну прогресію, дорівнює 26. Якщо до цих чисел відповідно додати 1, 6, 3, то одержані числа утворять арифметичну прогресію

Сходинки успіху