Презентація "Квадратний тричлен та його корені"

Квадратний тричлен та його корені

ПОДУМАЙ І СКАЖИРозкладіть на множники вираз: а) х2 – 144; б) 7 – у2; в) а3 + 2а2 +а;г) т3 + 1; д) b2 – 10b + 25; е) b2 – а2 + b – а; ж) (m – 1)2 – 4.2. Чи має квадратне рівняння корені? Якщо має, то скільки: a) x2 – 2x + 1 = 0; б) x2 – 5 = 0; в) х2 + 1 = 0; г) 3x – x2 = 0; д) x2 – 2x + 5 = 0; е) x2 – 5x + 6 = 0. Які ви знаєте способи розкладання на множники?Винесення спільного множника за дужки. Використання формул скороченого множення. Групування

Означення: Квадратним тричленом називають многочлен виду 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 ,  де x- змінна, а, в і с – деякі числа, причому а≠0.  Означення: Квадратним рівнянням називають рівняння виду 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 ,  де x- невідоме, а, в і с – деякі числа, причому а≠0.  Наприклад: 3x2+2x-7=0; x2-3x+2=0; 5x2+2x=0; x2-16=0, -x2+5x-7=0, 3x2=0 і т.д. Наприклад: 3x2+2x-7; x2-3x+2; 5x2+2x; x2-16, -x2+5x-7, 3x2, -5x2+3x+2; 15x2-5x і т.д.

Назвіть квадратні тричлени та їх коефіцієнти12а2+6а-4х2-2х3х+ 4а-47у-2у2-584- 3а25+х+ 3х2а=12,в=6, с=-4а=1, в=-2, с=0а=-2, в=7, с=-58а=-3, в=0, с=4а=3, в=1, с=5

Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення тричлена дорівнює нулю. Щоб знайти корені квадратного тричлена 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, потрібно розв’язати відповідне квадратне рівняння 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0. Яким способом будете розв’язувати не має значення. Головне аби правильно!!!

Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення тричлена дорівнює нулю. Приклад: Число 2 є коренем х2−6х+8, бо 22−6·2+8=4-12+8=0. Число -4 не є коренем х2−6х+8, бо −42−6·(−4)+8=16+24+8=48 ≠ 0.  Щоб знайти корені квадратного тричлена 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, потрібно розв’язати відповідне квадратне рівняння 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0. Приклад. Знайти корені квадратного тричлена 3x2 + 2x - 16. Р о з в' я з а н н я. Розв'яжемо рівняння 3x2 + 2x - 16 = 0.а=3, b= 2, c=-16;𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐= 22-4·3·(-16)=4+192=196;𝐷=196>0; Х1=−𝑏+𝐷2𝑎= −2+1962·3 =−2+146= 126=2; Х2=−𝑏−𝐷2𝑎=−2−1962·3 =−2−146= −166=-83=-223. Отже, квадратний тричлен 3x2 + 2x - 16 має корені 2 і -223. Відповідь. 2 і -223. Приклад 1. Вираз х2+2х-3 є квадратним тричленом, у якого а = 1, b = 2, с = -3. Приклад 2. Розглянемо квадратний тричлен bх - 3х - 8. Якщо х = -1, то значення квадратного тричлена дорівнює нулю (справді 5 ∙(-1)2 - 3∙(-1) -8 = 0). Число -1 є коренем цього квадратного тричлена. 

Якщо 𝑥1 та 𝑥2 - корені квадратного тричлена 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐  (𝑎≠0), то його можна розкласти на множники за формулою 𝑎𝑥−𝑥1𝑥−𝑥2.𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐),де 𝒂≠𝟎,     𝒙𝟏, 𝒙𝟐- корені тричлена 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄  Розкладання квадратного тричлена на множники

Алгоритм розкладання квадратного тричлена 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄  (𝒂≠𝟎), на лінійні множники. Знайдіть корені квадратного тричлена 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, тобто розв’яжіть відповідне квадратне рівняння 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑎≠0. Якщо рівняння має два корені 𝑥1 та 𝑥2, то при 𝒙𝟏≠𝒙𝟐 маємо: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=    𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐);Якщо рівняння має один корінь, то маємо: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝒂(𝒙−𝒙𝟎)𝟐. Якщо рівняння не має коренів, то квадратний тричлен неможливо розкласти на лінійні множники. 

Приклад 1. Розкладіть на множники квадратний тричлен 𝒙𝟐−𝟔𝒙−𝟕. Розв’язання:𝑥2−6𝑥−7 Визначимо коефіцієнти даного тричлена:𝑎=1,  𝑏=−6,   𝑐=−7. 2) Знайдемо корені квадратного тричлена 𝑥2−6𝑥−7: 𝑥2−6𝑥−7=0,За теоремою Вієта 𝑥1+𝑥2=6,𝑥1𝑥2=−7,     𝑥1=−1,𝑥2=7.3) Розкладемо тричлен на множники, скориставшись формулою 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2):𝑥2−6𝑥−7=𝑥−7𝑥+1 Відповідь:  (𝑥−7)(𝑥+1). 

Приклад 2. Розкладіть на множники квадратний тричлен −𝟐𝒙𝟐+𝟑𝒙+𝟓. Розв’язання:−2𝑥2+3𝑥+5 Визначимо коефіцієнти даного тричлена:𝑎=−2,  𝑏=3,   𝑐=5.2) Знайдемо корені квадратного тричлена −2𝑥2+3𝑥+5: −2𝑥2+3𝑥+5=0,За теоремою Вієта 𝑥1+𝑥2=−3−2,𝑥1𝑥2= 5−2;   𝑥1+𝑥2=1,5,𝑥1𝑥2=−2,5;        𝑥1=−1,𝑥2=2,5.3) Розкладемо тричлен на множники, скориставшись формулою 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2):−2𝑥2+3𝑥+5=−2𝑥+1𝑥−2,5. Помноживши перший у розкладі множник −2 на двочлен 𝑥−2,5. −2𝑥−2,5=2х+5 Матимемо: (x+1)(5-2x). Відповідь: 𝑥+15−2𝑥. Або через дискримінант -2x2+3x+5=0;а=-2, b= 3, c=5;𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐= 32-4·(-2)·5=9+40=49;𝐷=49>0; Х1=−𝑏+𝐷2𝑎= −3+492·(−2) =−3+7−4= -44=-1; Х2=−𝑏−𝐷2𝑎=−3−492·(−2) =−3−7−4= −10−4=2,5. 

Приклад 3. Розкладіть на множники квадратний тричлен 𝟑𝒙𝟐−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐. Розв’язання:3𝑥2−12𝑥+121) Визначимо коефіцієнти даного тричлена:𝑎=3,  𝑏=−12,   𝑐=12.2) Знайдемо корені квадратного тричлена 3𝑥2−12𝑥+12: 3𝑥2−12𝑥+12=0,За теоремою Вієта 𝑥1+𝑥2=−−123,𝑥1𝑥2= 123,   𝑥1+𝑥2=−4,𝑥1𝑥2=4.     𝑥1=2,𝑥2=23) Розкладемо тричлен на множники, скориставшись формулою𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝒂(𝒙−𝒙𝟎)𝟐 3𝑥2−12𝑥+12=3𝑥−22. Відповідь:    3(𝑥−2)2. Або через дискримінант 𝟑𝒙𝟐−𝟏𝟐𝒙+𝟏𝟐=0;а=3, b= -12, c=12;𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐= (-12)2-4·3·12=144-144=0;𝐷=0; Х1= Х2= −𝑏2𝑎= −(−12) 2·3 =126= 2;  Можна розкласти на множники, скориставшись і формулою 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑎(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2): у нас Х1= Х2= 2;3𝑥2−12𝑥+12=3𝑥−2𝑥−2=3𝑥−22. 

Приклад 4. Розкладіть на множники квадратний тричлен 𝒙𝟐−𝟐𝒙+𝟓. Розв’язання:𝑥2−2𝑥+51) Визначимо коефіцієнти даного тричлена:𝑎=1,  𝑏=−2,   𝑐=5.2) Знайдемо корені квадратного тричлена 𝑥2−2𝑥+5: 𝑥2−2𝑥+5=0, 3) Обчислимо дискримінант і визначимо кількість коренів:𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐𝐷=(−2)2−4∙1∙5=4−20=−16,оскільки, 𝐷<0 , то рівняння 𝑥2−2𝑥+5=0 коренів не має. Отже, квадратний тричлен 𝑥2−2𝑥+5 на множники розкласти не можна. Відповідь: квадратний тричлен 𝑥2−2𝑥+5 на множники розкласти не можна 

Приклад 5. Скоротіть дріб 4𝑥2−2𝑥−2𝑥2−1. Розв’язання:4𝑥2−2𝑥−2𝑥2−1 Розкладемо на множники квадратний тричлен 4𝑥2−2𝑥−2:4𝑥2−2𝑥−2=0 За теоремою Вієта 𝑥1+𝑥2=−−24,𝑥1𝑥2= −24;  𝑥1+𝑥2=0,5,𝑥1𝑥2=−0,5;   𝑥1=1,𝑥2=−0,5. 4𝑥2−2𝑥−2=4𝑥−1𝑥+0,5.2) Отже,4𝑥2−2𝑥−2𝑥2−1=4(𝑥−1)(𝑥+0,5)(𝑥−1)(𝑥+1)=4(𝑥+0,5)𝑥+1=4𝑥+2𝑥+1. Відповідь: 4𝑥+2𝑥+1. 

Приклад 6: Скоротіть дріб 6𝑎2−𝑎−19𝑎2−1 𝟏) Розкладемо чисельник і знаменник на множники 6𝑎2−𝑎−1=0, а=6, b=-1, c=1;𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐= (-1)2-4·6·(-1)=1+24=25;𝐷=25>0; а1=−𝑏+𝐷2𝑎= −(−1)+252·6 =1+512= 612=12; а2=−𝑏−𝐷2𝑎=−(−1)−252·6 =1−512= −412=-13;6𝑎2−𝑎−1=6𝑎+13𝑎−12=3𝑎+13∙2𝑎−12=3𝑎+12𝑎−1. Тоді отримуємо: 6𝑎2−𝑎−19𝑎2−1=(3𝑎+1)(2𝑎−1)(3𝑎+1)(3𝑎−1) = 2𝑎−13𝑎−1. Відповідь: 2𝑎−13𝑎−1 

Під час розв’язування деяких задач, пов’язаних з квадратним тричленом 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄 буває зручно подати його у такому вигляді 𝒂(𝒙−𝒎)𝟐+𝒏, де m і n - деякі числа. Таке перетворення називають виділенням квадрата двочлена з квадратного тричлена.  Приклад 7. Виділіть з тричлена 𝑥2−8𝑥+15 квадрат двочлена. Розв’язання:𝑥2−8𝑥+15=𝑥2−2∙𝑥∙4+42−42+15 =𝑥2+2∙𝑥∙4+42−42+15==𝑥+42−16+15=𝑥+42−1. Відповідь:𝑥+42−1.. 8𝑥 подали у вигляді добутку 2∙𝑥∙42.    додали і відняли  +42−423.   𝑥2+2∙𝑥∙4+42 складається у формулу  𝑥+424. −42+15=-16+15=-15.𝑥2−8𝑥+15=𝑥+42−1 𝑥+42=𝑥2+2∙𝑥∙4+42 

Під час розв’язування деяких задач, пов’язаних з квадратним тричленом 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄 буває зручно подати його у такому вигляді 𝒂(𝒙−𝒎)𝟐+𝒏, де m і n - деякі числа. Таке перетворення називають виділенням квадрата двочлена з квадратного тричлена.  Приклад 8. Виділіть з тричлена 2𝑥2+16𝑥−7 квадрат двочлена. Розв’язання:2𝑥2+16𝑥−7=2𝑥2+8𝑥−3,5==2(𝑥2+2∙𝑥∙4+42−42−3,5)==2𝑥+42−19,5=2𝑥+42−39. Відповідь: 2𝑥+42−39. 2 винесли за дужки 2𝑥2+16𝑥−7=2𝑥2+8𝑥−3,52.   8𝑥 подали у вигляді добутку 2∙𝑥∙43.    додали і відняли  +42−424.   𝑥2+2∙𝑥∙4+42 складається у формулу  𝑥+425. −42−3,5=-19,5розкрили велику дужку2𝑥+42−19,5= 2𝑥+42−39 

Під час розв’язування деяких задач, пов’язаних з квадратним тричленом 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄 буває зручно подати його у такому вигляді 𝒂(𝒙−𝒎)𝟐+𝒏, де m і n - деякі числа. Таке перетворення називають виділенням квадрата двочлена з квадратного тричлена.  Приклад 9. Дано квадратний тричлен −4𝑥2+24𝑥−20 . При якому значенні x набуває найбільшого значення? Знайдіть це значення. -4 винесли за дужки −4𝑥2+24𝑥−20=−4𝑥2−6𝑥+52.   6𝑥 подали у вигляді добутку 2∙𝑥∙33.    додали і відняли  +32−324.   𝑥2−2∙𝑥∙3+3 складається у формулу  𝑥−325. −32+5=-4розкрили велику дужку−4𝑥−32−4=−4𝑥−32+167. Якщо х=3,то вираз −4𝑥−32 дорівнює 0 , при всіх інших значеннях х він від’ємний, тому вираз −4𝑥−32+16 може набувати найбільшого значення 16 при х=3.  Розв’язання:−4𝑥2+24𝑥−20=−4𝑥2−6𝑥+5=−4𝑥2−2∙𝑥∙3++32−32+5=−4𝑥−32−4=−4𝑥−32+16. −4(𝑥−3)2≤0, при 𝑥=3. Тому при x=3 значення даного в умові тричлена дорівноє 16 і є для нього найбільшим. Отже, квадратний тричлен −4𝑥2+24𝑥−20 набуває найбільшого значення, що дорівнює 16, якщо 𝑥=3. Відповідь: 16, якщо x=3. 

Тепер Ви знаєте такі 4 способи розкладання многочлена на множники Винесення спільного множника за дужки. Використання формул скороченого множення. Групування Розкладання квадратного тричлена на множники. Якщо 𝑥1 та 𝑥2 - корені квадратного тричлена 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐  (𝑎≠0), то його можна розкласти на множники за формулою 𝑎𝑥−𝑥1𝑥−𝑥2.𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐),де 𝒂≠𝟎,     𝒙𝟏, 𝒙𝟐- корені тричлена 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄  

1. Розкладiть на множники многочлен: б) в) г) 2. Скоротiть дрiб: б) Виконання усних вправа) а)

3. Знайдiть коренi квадратного тричлена: б) в) г) 4. Заповнiть пропуски: б) а) а)

5. Розкладiть на множники:6. Закiнчiть розв’язання прикладу. Виконання усних вправ. Скоротити дрiб:

1. Скорочення дробiв. б) в) г) д) е) ж) з) и) Скоротiть дрiб: а) Виконання письмових вправ

2. Розкладання на множники (вираз, який зводиться до квадратного тричлена шляхом замiни змiнних). б) в) г) а) Скоротiть дрiб:

3. Логiчнi вправи та завдання пiдвищеного рiвня складностi для учнiв, якi мають достатнiй та високий рiвнi знань.б) в) г) а) 1) Скоротiть дрiб: