Презентація на тему "Паралельні прямі в просторі"

Паралельні прямі в просторі

Teорема 1. Через дві паралельні прямі можна провести площину, і до того ж тільки одну. Доведення:1. Якщо прямі a і b паралельні, із визначення випливає, що через них можна провести площину α.2. Щоб довести, что така площина тільки одна, на прямій a позначаємо точки B і C, а на прямій b — точку A.3. Оскільки через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести тільки одну площину (2 аксіома), то α — єдина площина, якій належать прямі a і b.

Теорема 2. Через будь-яку точку простору поза даною прямою можна провести пряму, паралельну даній прямій, і до того ж тільки одну. Доведення:1. Через дану пряму a і точку M, що не лежить на прямій, проводимо площину α.2. Така площина тільки одна, оскільки через пряму і точку, що не лежить на прямій, можна провести площину, до того ж тільки одну.3. А в площині α через точку M можна провести тільки одну пряму b, що паралельна прямій a.

Теорема 3. Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає дану площину, то й інша пряма перетинає цю площину.1. рис.2. рис.

Доведення: Розглянемо дві паралельні прямі a і b і припустимо, що пряма b перетинає площину α в точці M (1. рис.). З 1-ої теореми відомо, що через паралельні прямі a і b можна провести тільки одну площину β. Оскільки точка M розташована на прямій b, то M також належить площині β(2. рис.). Якщо площини α і β мають спільну точку M, то у цих площин є спільна пряма c, яка є прямою перетину цих площин (4 аксіома). Прямі a, b і c розміщені в площині β. Якщо в цій площині одна з паралельних прямих b перетинає пряму c, то друга пряма a також перетинає c. Точку перетину прямих a і c позначимо за K. Оскільки точка K розміщена на прямій c, то K розміщена в площині α і буде єдиною спільною точкою прямої a і площини α. Отже, пряма a перетинає площину α в точці K.

Теорема 4. Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою. Нехай a∥c і b∥c. Доведемо, що a∥b

Доведення: Оберемо точку M на прямій b. Через точку M і пряму a, яка не містить цю точку, можна провести тільки одну площину α (Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести тільки одну площину). Можливі два випадки:1) пряма b перетинає площину α ;2) пряма b лежить у площині α. Нехай пряма b перетинає площину α. Отже, пряма c, що паралельна прямій b, також перетинає площину α. Оскільки a∥c, то виходить, що a також перетинає цю площину. Але пряма a не може одночасно перетинати площину α і лежати у площині α. Маємо суперечність, отже, припущення, що пряма b перетинає площину α, є неправильним. Отже, пряма b лежить у площині α. Тепер треба довести, що прямі a і b паралельні. Нехай прямі a і b мають спільну точку L. Це означає, що через точку L проведено дві прямі a і b, паралельні прямій c. Але відповідно до другої теореми це неможливо. Тому припущення неправильне, і прямі a і b не мають спільних точок. Оскільки прямі a і b містяться в одній площині α і не мають спільних точок, то вони паралельні.

Уся множина прямих у просторі, які паралельні даній прямій, називається пучком паралельних прямих.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Висновки:1) Будь-які дві прямі з пучка паралельних прямих паралельні між собою.2) Паралельності прямих у просторі притаманна транзитивність: якщо a∥b і b∥c, то a∥c.

Приклад: Одна сторона параллелограма перетинає площину. Доведіть, що пряма, що містить протилежну сторону паралелограма, також перетинає цю площину. Припустимо, що у паралелограма ABCD сторона AD перетинає площину α в точці K. Оскільки протилежні сторони паралелограма паралельні, то, відповідно до третьої теореми, пряма, що містить сторону CD, також перетинає площину α.