11 серпня о 18:00Вебінар: Зберегти креативність: корисні вправи для вчителів та учнів

Презентація на тему: "Прогресії 9 клас"

Про матеріал

Пропонований матеріал призначений для вчителів, які працюють у 9 класі за новою програмою «Математика 5-9класи. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Київ. Ірпінь. 2012». Робота містить презентацію, яка може бути використана при вивченні теми «Числові послідовності».

Зміст слайдів
Номер слайду 1

Прогресії. 9 клас. Алгебра. Анотація: Пропонований матеріал призначений для вчителів, які працюють у 9 класі за новою програмою «Математика 5-9класи. Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Київ. Ірпінь. 2012». Робота містить презентацію, яка може бути використана при вивченні теми «Числові послідовності». Тип ресурсу: Презентації Автор(и): Корнієнко Н.А. Галузь освіти: Загальна освіта -> Математика Аудиторія: Учителі, учні Рік видання ресурсу: 2018 Кількість сторінок: 63 Джерело: «Загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №3 » м. Вовчанськ Мова ресурсу: українська Цінність ресурсу: 5

Номер слайду 2

Прогресії навколо нас 9 клас Алгебра Розробила вчитель математики “ЗОШ №3 ” м. Вовчанська Корнієнко Наталя Анатоліївна

Номер слайду 3

найціннішим є використання набутих знань у життєвих ситуаціях.

Номер слайду 4

Історичні відомості про прогресії

Номер слайду 5

Слово “прогресія” походить від латинського слова “progressio” і означає “рух уперед” (як і слово “прогрес”). Уперше цей термін як математичний вживається у працях римського вченого Боеція (V - VIст.).

Номер слайду 6

Прогресії як часткові види числових послідовностей, трапляються в папірусах ІІ тисячоліття до н. е.

Номер слайду 7

АНГЛІЯ XVIII століття В XVIII ст. в англійських підручниках з’явилися позначення арифметичної і геометричної прогресії. Арифметична Геометрична

Номер слайду 8

Найдавнішою задачею, пов’язаною з прогресіями, вважають задачу з єгипетського папірусу Ахмеса: “Нехай тобі сказали: розділи десять мір ячменю між 10 чоловіками так, щоб різниця між кожним чоловіком і його сусідом становила 1/8 міри ячменю ”.

Номер слайду 9

У папірусі подається не тільки текст задачі, але й пропонується правило для обчислення частки першої з десяти осіб.

Номер слайду 10

Задача із папірусу Рінда “Є 7 будинків, в кожному будинку по 7 котів, кожен кіт з’їдає 7 мишей, кожна миша з’їдає по 7 колосків ячменю, кожен колосок, якщо посіяти зерно з нього, дає 7 мір ячменю. Знайти суму загального числа будинків, котів, мишей, колосків і мір”.

Номер слайду 11

Ця стародавня задача на геометричну прогресію не раз зустрічається в різних народів з дещо зміненим текстом. Зустрічається вона і серед древньоруських народних задач. “ Іде 7 баб; у кожної баби по 7 палиць; на кожній палиці по 7 сучків; на кожному сучку по 7 кошиків; у кожному кошику по 7 горобців, у кожного горобці по 7 зерин . Скільки всього предметів?”

Номер слайду 12

З досліджень вавилонських клинописних текстів епохи Хаммурані (XVIII cт. до н. е.) бачимо, що і в стародавньому Вавилоні розв’язування деяких питань господарського і наукового характеру приводимо до арифметичної і геометричної прогресії.

Номер слайду 13

Ось одна з таких задач “10 братів; 1 2/3 міни срібла; брат над братом піднімається; на скільки піднімається, я не знаю. Частка восьмого 6 мехелів. Брат над братом на скільки піднімається?” (1 2/3 міни становлять 100 мехелів).

Номер слайду 14

У Стародавній Греції в часи Евкліда і Архімеда (ІІІ ст. до н. е.) властивості прогресій розглядались у зв’язку з теоретичними дослідженнями. Так, у книзі Евкліда “Начала” подається формула суми трьох членів геометричної прогресії.

Номер слайду 15

У нас задачі на прогресії вперше зустрічаються в одній з найдавніших пам’яток руського права, в “Руській правді”, складеній при Ярославі Мудрому в ХІ столітті.

Номер слайду 16

Там є стаття, присвячена обчисленню приплоду від 22 овець за 12 років, при умові, що кожна вівця щорічно приносить одну овечку і одного барана.

Номер слайду 17

Значна кількість задач на прогресії міститься в чудовій пам’ятці математичної літератури початку XVIII cт. “Арифметиці” Л. П. Магніцького.

Номер слайду 18

Зі знаходженням суми членів арифметичної прогресії пов’язана така цікава історія. Відомий німецький математик Карл Гаусс (1777 - 1875) ще у школі виявив блискучі математичні здібності. Якось учитель запропонував учням знайти суму перших ста натуральних чисел. Маленький Гаусс розв’язав цю задачу за хвилину. Зміркувавши, що суми 1+100, 2+99 і т. д. рівні, він помножив 101 на 50, тобто число таких сум. Інакше кажучи, він помітив закономірність, яка властива арифметичній прогресії.

Номер слайду 19

Складемо послідовність чисел 1, 2, 4, 8, 16 … Дана послідовність є геометричною b1 = 1, q = 2, n = 64. S64 - ? Загальна кількість зерен, яку попросив винахідник, дорівнює S64=264-1

Номер слайду 20

Багатий раджа був приголомшений, коли дізнався, що він не в змозі задовольнити це “скромне” бажання. Справа в тому, що значення виразу 264-1 дорівнює 18446744073709551615. Для того, щоб зрозуміти, наскільки величезним є це число, уявимо, що зерно зберігають у коморі площею 12 га. Її висота була б більшою за відстань від Землі до Сонця.

Номер слайду 21

Означення і властивості (аn)-арифм. прогресія аn+1 = аn + d; (аn)-n-й член арифметичної прогресії є середнім арифметич- ним двох сусідніх з ним членів. аn = Якщо (аn)- скінченна арифметич- на прогресія, то Будь-яка арифм. прогресія (аn) може бути записана формулою аn = kn+b, де k i b – числа. (вn)-геометр.прогресія вn+1 = вn . q (вn)- n-й член геометричної прогресії є середнім геометрич- ним двох сусідніх з ним членів. вn = Якщо (вn)- скінченна геометрична прогресія, то

Номер слайду 22

Формула n-го члена арифметичної та геометричної прогресії та їх суми (аn)-арифм. прогресія аn = а1 + d (n – 1). (аn)- арифм. прогресія Sn = n; Sn = (вn) - геометр.прогресія bn = b1 . qn-1; (вn) - геометр.прогресія 1) 2) 3)

Номер слайду 23

Усні вправи 1. Відгадати число: 55 59 63 ?

Номер слайду 24

Обчислити: 33 – 7 = (22 + 6) . 22 = 24 . 5 = 23 . 20 = 25 . 10 = (20 + 210) – 404 = Яку залежність ви побачили? Усні вправи

Номер слайду 25

Знайди помилку. 1) аn = 2n + 1; 6) Sn = . n; 2) хn= n2 – 8n; 7) xn+1 = xn + d; 3) bn = b1 + d . (n – 1); 8) Sn = ; 4) an = a1 + 8d; 9) yn = 2n; 5) cn = c1 . qn-1; 10) zn = n2. Назвати номер неправильної формули, якщо така є. Усні вправи

Номер слайду 26

Чи будуть всі написані послідовності арифметичними прогресіями? 5, 7, 9, 11, … 20, 10, 0 , -10, … 2, 4, 6, 8, … 1, 2, 6, 8, … 15, 3, -9, … Вказати номер послідовності, яка не є арифметичною прогресією. Усні вправи

Номер слайду 27

Чи будуть всі написані послідовності геометричними прогресіями? 2, 4, 8, 16, … 200, 20, 2, … 3, -6, 12, … 1, 4, 16, 64, … 8, 4, 0, -4, … Вказати номер послідовності, яка не є геометричною прогресією. Усні вправи

Номер слайду 28

Знайти невідомі елементи в даній прогресії: (аn) - арифметична прогресія, а1 = 3, а2 = 10. 1) d - ?; 2) a4 - ? (аn) - арифметична прогресія, а1 = 3, d = 2. 3) а7 - ?, 4) а9 -?, 5) а12 - ?. (вn) - геометрична прогресія, в1 = 40, q = . 6) в2 -?, 7) в3 - ?, 8) в4 -?.

Номер слайду 29

bn = b1. qn – 1 Sn = аn = 2n + 1

Номер слайду 30

Шахову гру винайшли в Індії. Ознайомившись з нею, індійський принц Сирам, захоплений дотепністю і різноманітністю можливих ситуацій, покликав до себе її винахідника, ученого Сету, і сказав йому: “Я хочу гідно нагородити тебе, Сета, за прекрасну гру, яку ти придумав. Я досить багатий, і можу виконати будь – яке твоє бажання”.

Номер слайду 31

“Володарю,- відповів Сета,- накажи видати мені за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, за другу – дві, за третю – чотири і далі за кожну клітинку вдвічі більше, ніж за попередню .” Принц здивувався, що винахідник так мало запросив. Але обіцянку не зміг виконати. Після ретельних підрахунків вияснилося, що кількість зерен, що бажає одержати Сета, така велика, що її не знайдеться на всьому просторі Землі. Для того, щоб видати нагороду, треба перетворити всі царства в поля, висушити всі річки, озера, розтопити кригу і сніги. Увесь цей простір засіяти пшеницею й усе, що виросте на ньому за 5 років, віддати Сеті. Зі здивуванням слухав принц слова вчених. “Напишіть же мені це дивовижне число,”- сказав він.

Номер слайду 32

Задача 1. (Легенда про винахід шахів) Розв’язання. Маємо геометричну прогресію (вn), в якій в1=1, в2=2, в3= 4…. q = 2. В шахівниці 64 клітинки. Тому S64= 18 446 744 073 709 551 615. Таку кількість зернин можна зібрати з площі, яка приблизно у 2000 разів більша від площі усієї поверхні Землі.

Номер слайду 33

Задача 2 . (Забавна арифметика, 1910 р.) Одного разу розумний бідняк попросив у скупого багатія притулку на 2 тижні на таких умовах: «За це я тобі першого дня заплачу 1 крб., другого – 2 крб., третього 3 крб., збільшуючи щоденну плату на 1 крб. Ти ж будеш давати мені милостиню: Першого дня – 1 коп., другого дня – 2 коп., третього – 4 коп., і т.д. збільшуючи щодня милостиню вдвічі». Багатій з радістю погодився, вважаючи, що умови вигідні для нього. Скільки грошей отримав багатій?

Номер слайду 34

Розв'язання: Сума, яку має сплатити бідняк за 14 днів, складає арифметичну прогресію, в якій а1 = 1 і d =1, S14= 105, тобто 105 крб., а багатій сплачує суму, яка складає суму геометричної прогресії, в якій а1 = 1, q = 2. Тому S14 =214-1= 16383 коп. або 163 крб.83 коп. Отже, багатій, отримавши від бідняка 105 крб., заплатив йому 163 крб.83 коп., тобто, за те, що бідняк у нього проживав 2 неділі, багатій заплатив йому 58 крб.83 коп. (вернувши при цьому і ті гроші, які одержав від бідняка).

Номер слайду 35

Воїну, що служив, дано винагороду: за першу рану –1 коп., за другу – 2 коп., за третю – 4 коп. і т.д. Виявилося, що він одержав винагороду 655руб. 35 коп. Скільки ран було у воїна?

Номер слайду 36

Розв'язання: Маємо геометричну прогресію, в якій в1= 1, в2 = 2, в3 = 4, в4=8 і т.д., q = 2, Sn = 65535. Тоді 1+2+4+ 8+ ….+2n-1 = 65535. 65535 = 2n - 1 = 65535, n = 16. Тобто за такої великодушної системи нагородження воїн повинен одержати 16 ран і залишитися живим, щоб «удостоїтися» винагороди 655руб. 35 коп.

Номер слайду 37

1,3,6,10,15…… 1,4,9,16…n2

Номер слайду 38

Задача 4. Кулі розміщено у формі трикутника так, що в першому ряду –1 куля, у другому - 2 кулі, у третьому – 3 кулі і т.д. У скільки рядів розміщено кулі, якщо всього їх 120? Розв’язання. Маємо арифметичну прогресію, в якій а1 =1, а2= 2, а3= 3, d = 1, Sn = 120, n - ? Sn = n(n+1) = 2 .120, n2 + n - 240 = 0, n1 = 15, n2=-16 – не задовольняє умови задачі. Тому 120 куль можна розмістити в 15 рядах.

Номер слайду 39

Задача 4. Поливання грядок У городі 30 грядок, кожна довжиною 16м і шириною 2,5м. Поливаючи грядки, городник приносить відра з водою з колодязя, розташованого в 14м від краю городу, і обходить грядки вздовж межі, причому води, принесеної за один раз, вистачає для поливання лише однієї грядки. Якої довжини шлях проходить городник, поливаючи весь город? (Шлях починається і закінчується біля колодязя.)

Номер слайду 40

Розв'язання: Для поливання першої грядки городник проходить шлях 14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 14 = 65 (м). Для поливання другої грядки він проходить шлях 14 + 2,5 + 16 + 2,5 + 16 + 2,5 + 2,5 + 14 = 70 (м). Для кожної наступної грядки потрібно пройти шлях, на 5м довший за попередній. Маємо арифметичну прогресію: 65, 70, 75, … S30 = 30 = 4125 (м). Відповідь: Городник, поливаючи город, проходить шлях 4,125 км.

Номер слайду 41

Трохи гумору Один з учнів, викликаний до дошки, має йти від свого місця до дошки по прямій. Перший крок він робить довжиною 1 м, другий Ѕ м, третій 1/4 м і и т. д. так, що довжина наступного кроку в два рази менша довжини попереднього. Чи дійде учень до дошки, якщо відстань місця учня до дошки по прямій 3 м?

Номер слайду 42

Розв’язок Запишемо послідовність чисел За формулою Маємо Висновок: не дійде! Звідки

Номер слайду 43

Спадщина Джентльмен отримав спадщину. За перший місяць він витратив 100$,а кожного наступного місяця він витрачав на 50$ більше, ніж попередній місяць. Скільки $ він витратив за другий місяць? За третій місяць? Який розмір спадщини, якщо грошей вистачило б на рік такого безбідного життя?

Номер слайду 44

Роз’язання Застосовуємо формлу ,отримуємо Застосував формулу

Номер слайду 45

Задача 6. Бактерія, потрапивши в організм, до кінця 20–ї хвилини ділиться на дві, кожна з них до кінця 20-ї хвилини знов ділиться на дві і т.д. Скільки бактерій стане в організмі через добу? Розв’язання. Маємо геометричну прогресію, в якій в1 = 1, в2 = 2, в3 = 4, q =2 . За добу бактерія поділиться 72 рази (24год.=1440хв., 1440хв : 20хв = 72). Тому S72= бактерій.

Номер слайду 46

Амфітеатр складається з 10 рядів, в кожному наступному ряду на 20 місць більше, ніж у попередньому, а в останньому ряду 280 місць. Скільки людей вміщує амфітеатр? Архітектура

Номер слайду 47

Отже,перед нами арифметична прогресія. Нехай х місць в першому ряду, (х+20) місць в другому ряду, (х+20+20), тобто. (х+40) місць у третьому ряду і т. д. Отже, 100 місць у першому ряду . Відповідь:1900 Розв`язування задачі

Номер слайду 48

При збереженні колод будівельного лісу, їх укладують так ,як показано на малюнку. Скільки колод знаходиться в одній кладці, якщо в її основу покласти 12 колод. Будівництво

Номер слайду 49

Перед нами арифметическая прогрессия: Розв`язування задачі

Номер слайду 50

Задача: Вертикальні стовпи ферми мають такі довжини: найменший 5 дм, а кожний наступний - на 2 дм довший. Знайдіть довжину семи таких стовпів. Роз’язання: Перед нами арифметична прогресія 5, 7, 9, 11, …. Відповідь: 77 дм

Номер слайду 51

Прогресія в літературі Навіть у літературі ми зустрічаємося з математичними поняттями. Згадаємо із “Евгения Онегина”. …Не мог он ямба от хорея, Как мы не бились отличить… Ямб – двоскладова стопа з наголосом на другому складі 2; 4; 6; 8;… Номери наголошених складів утворюють арифметичну прогресію с першим членом 2 та різницею арифметичної прогресії 2. Хорей – двоскладова стопа з наголосом на першому складі. Номера наголошених складів утворюють арифметичну прогресію 1; 3; 5; 7…; Перший член прогресії 1, різниця 2.

Номер слайду 52

Наприклад Ямб “Мой дЯдя сАмых чЕсных прАвил…” Прогресія: 2; 4; 6;…; Хорей “Я пропАл, как звЕрь в загОне” Прогресія: 1; 3; 5;…;

Номер слайду 53

Знайти суму нескінченної геометричної прогресії Розв'язання: В даній нескінченній геометричній прогресії в1 = 1, q = . Тому шукана сума S =

Номер слайду 54

Задача з єгипетського папірусу Розділи 10 мір хліба на 10 чоловік так, щоб кожний одержав на міри більше, ніж попередній. Розв'язання. Треба знайти перші 10 членів арифметичної прогресії (аn ), в якій n=10, Sn=10, d= . Тоді використовуючи формулу суми n перших членів арифметичної прогресії отримуємо звідки і . Тоді

Номер слайду 55

Розв'язування задач І рівень (вn ) - геометрична прогресія, в1 = 3, q = 2. в5 - ? ІІ рівень (вn ) - геометрична прогресія, в2 = 6, в4 = 24, в6 - ? ІІІ рівень Знайти суму 20 перших членів арифметичної прогресії (аn), якщо а7=18,5, а17 = -26,5.

Номер слайду 56

Перевірка результатів І рівень. b5= b1. q4, b5= 3 . 24 = 48, b5= 48. ІІ рівень. b4= b2. q2, q = 2 . b6= b4 . q2, b6= 96 III рівень. а17=а7+10d; d= ; d=-4,5. a7= a1+6d, a1= a7 - 6d, a1= 45,5. S20= = 55, S20=55.

Номер слайду 57

Рефлексія Тест. Результатом своєї роботи вважаю, що я .. А. Разібрався в теорії. В. Навчився розвязувати задачі. С. Повторив весь раніше вивчений матеріал. Що вам не вистачало на уроці при розвязуванні задач? А. Знань. Б. Часу. С. Бажання. Д. Розвязував нормально. Хто допомагав вам в подоланні труднощів на уроці? А. Однокласники. Б. Учитель. С. Підручник. Д. Ніхто.

Номер слайду 58

Задачі на прогресію - це не абстрактні формули. Вони беруться із самого нашого життя, пов’язані з нею і допомагають розв’язувати деякі практичні питання. 

Номер слайду 59

Домашня контрольна робота Завдання середнього рівня 1. Знайдіть суму нескінченної геометричної прогресії: 12; -6; 3. 2. Чому дорівнює сума п'яти перших членів геометричної прогресії, перший член якої b1=6, а знаменник q= 2. 3. Знайдіть перший член арифметичної прогресії, різниця якої дорівнює 15, а сума її перших тринадцяти членів дорівнює 1326. Завдання достатнього рівня 1. Знайдіть суму десяти перших членів арифметичної прогре­сії (an), якщо a6=46, a14=-43. 2. Знайдіть суму чотирьох перших членів геометричної прогресії (bп), якщо b5=16, b8=1024. Завдання високого рівня 1. Знайдіть суму всіх від'ємних членів арифметичної прогресії: -5,2; -4,8; -4,4; ... . 2. Знайдіть перший член і знаменник геометричної прогре­сії (bп), якщо b4-b1=-9, b2+b3+b4=-6.

Номер слайду 60

ПІДСУМКИ «Я сьогодні був вражений.....» « Я вже вмію....» « Ще треба навчитися....»

Номер слайду 61

Досягнення успішного результату під час розв’язання задач – зовсім не привілей математики. Усе людське життя – це не що інше, як постійна постановка та бажання досягти успіху під час розв’язування все нових питань та проблем. Є.Ільєнкова

Номер слайду 62

Дякую за співпрацю і до зустрічі !

Номер слайду 63

Література Програма для загальноосвітніх навчальних закладів. Математика. 5-9 класи.- К.: Ірпінь, 2012. Підручник для 9 кл./За ред. А.Г.Мерзляк,В.Б.Полонський. М.С.Якір.- Харків,Гімназія 2017. Бевз Г.П. Алгебра: Проб. підруч. Для 7-9 кл. – К.:Освіта, 2000. Мальований Ю.І., Литвиненко Г.М., Возняк Г.М. Алгебра: Підруч. для 9 кл. – Тернопіль: навчальна книга - Богдан, 2009. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з алгебри. 9 клас/ А.Г.Мерзляк, В.Б .Полонський, М.С.Якір, - Х.:Гімназія, 2017. Журнал « Все для вчителя» № 22-23, 2003. Газета « Математика» № 2, 3 2002; № 2,3 ;2003, № 6, 2004 ; № 2, 14, 2005; № 6 2007.

ppt
Додано
8 березня 2018
Переглядів
3290
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку