Презентація на тему: "Задачі на перпендикулярність у просторі"

задачі на перпендикулярність у просторіКут між прямими в просторі Перпендикулярність прямої та площини. Перпендикуляр і похила. Теорема про три перпендикуляри. Кут між прямою та площиною. Двогранний кут. Кут між площинами. Перпендикулярні площини. Площа ортогональної проекції многокутника.

Кут між прямими в просторіЩо називають кутом між двома прямими, що перетинаються?Що називають кутом між двома мимобіжними прямими?Які дві прямі в просторі називають перпендикулярними?

Кут між прямими в просторіПриклад 1. На рисунку зображено куб  𝐴𝐵𝐶𝐷𝐷1𝐶1𝐵1𝐴1.   Знайдіть кут між прямими 𝐴1𝐷 і  𝐷1𝐶. Розв'язання. Сполучимо точки 𝐴1 і 𝐵.  Оскільки 𝐴1𝐷1||𝐵𝐶, то точки 𝐴1, 𝐷1, 𝐶 і 𝐵 лежать в одній площині. Ця площина перетинає паралельні площини 𝐴𝐴1𝐵 і  𝐶𝐷𝐷1 по паралельних прямих 𝐴1𝐵 і 𝐷1𝐶. Отже кут між прямими 𝐴1𝐷 і  𝐷1𝐶 дорівнює куту 𝐷𝐴1𝐵. Сполучимо точки 𝐵 і 𝐷. Відрізки 𝐴1𝐷, 𝐴1𝐵 і 𝐵𝐷 є рівними як діагоналі рівних квадратів. Отже, △𝐷𝐴1𝐵 – рівносторонній. Тоді ∠𝐷𝐴1𝐵=60°.  Відповідь: 𝟔𝟎°.  

Перпендикулярність прямої та площини. Яку пряму називають перпендикулярною до площини? Сформулюйте ознаку перпендикулярності прямої та площини. Сформулюйте теорему про дві паралельні прямі, одна з яких перпендикулярна до площини.

Перпендикулярність прямої та площини. Сформулюйте теореми про дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини. Які точки називають симетричними відносно площини?Яку фігуру називають симетричною відносно площини?

Перпендикулярність прямої та площини. Приклад 2. Діагональ 𝐵1𝐷 прямокутного паралелепіпеда 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐷1𝐶1𝐵1𝐴1 дорівнює 17 см, а діагональ 𝐴𝐵1 бічної грані 𝐴𝐴1𝐵1𝐵 дорівнює 15 см. Знайдіть ребро 𝐴𝐷 паралелепіпеда. Розв'язання. Оскільки 𝐴𝐷⊥ 𝐴𝐴1𝐵1𝐵, то △𝐷𝐴𝐵1(∠𝐴=90°):𝐴𝐷=172−152=2∙32=8 (см) Відповідь: 8 см.  

Перпендикулярність прямої та площини. Приклад 3. Дано: 𝑎⊥𝐴𝐵𝐶, △𝐴𝐶𝐵∠𝐶=90°, 𝐴𝐶=6 см,∠𝐵𝐴𝑀=60°, ∠𝐶𝐴𝐵=30°Знайти: 𝑀𝐵Розв'язання. З △𝐴𝐶𝐵∠𝐶=90°:cos30°=𝐴𝐶𝐴𝐵⇒𝐴𝐵=𝐴𝐶cos30°⇒𝐴𝐵=6∙23=43 (см)З △𝐴𝐵𝑀∠𝐵=90°:𝑡𝑔60°=𝑀𝐵𝐴𝐵⇒𝑀𝐵=𝐴𝐵∙𝑡𝑔 60°⇒𝑀𝐵=43∙ 3=12 (см) Відповідь: 12 см.  

Перпендикуляр і похила. У якому разі говорять, що фігура 𝐹1 є ортогональною проекцією фігури 𝐹 ?Який відрізок називають: 1) перпендикуляром, опущеним із точки на площину; 2) похилою, проведеною з точки до площини. Сформулюйте теорему про перпендикуляр і похилу, проведені до площини з однієї точки. Що називають відстанню від точки до площини? відстанню від прямої до паралельної їй площини?  

Перпендикуляр і похила. Що називають відстанню між двома паралельними площини? відстанню між двома мимобіжними прямими?Що називають спільним перпендикуляром двох мимобіжних прямих?

Перпендикуляр і похила. Приклад 4. Дано: AD⊥𝐴𝐵𝐶, △𝐴𝐶𝐵∠𝐶=90°, 𝐴𝐵=10 см, ∠𝐵𝐴𝐶=45°Знайти:   𝑑(𝐴𝐷, 𝐵𝐶)Розв'язання. Оскільки AD⊥𝐴𝐵𝐶 ⇒ AD⊥𝐴𝐶 ⇒ 𝑑𝐴𝐷, 𝐵𝐶=𝐴𝐶З △𝐴𝐶𝐵∠𝐶=90°:cos45°=𝐴𝐶𝐴𝐵⇒𝐴𝐶=𝐴𝐵·cos45°⇒𝐴𝐶=102=52 (см) Відповідь: 52 см.  

Перпендикуляр і похила. Приклад 5. Дано: 𝐵, 𝐶, 𝐷∈𝛼,  𝐴∉𝛼,  𝐴𝐶⊥𝛼,        𝐶𝐷= 66 см,   ∠𝐴𝐵𝐶=60°, 𝐴𝐷=18 см. Знайти: 𝐴𝐵Розв'язання.△𝐴𝐶𝐷∠𝐶=90°:𝐴𝐶=182−662=324−216=108=63 (см)З △𝐴𝐶𝐵∠𝐶=90°:sin60°=𝐴𝐶𝐴𝐵⇒𝐴𝐵=𝐴𝐶sin60°=63∙23=12 (см)  Відповідь: 12 см.  

Перпендикуляр і похила. Приклад 6. Дано:  𝑀∉𝐴𝐵𝐶,  𝑀𝐴=𝑀𝐵=𝑀𝐶, △𝐴𝐵𝐶,                  𝑂=Пр𝐴𝐵𝐶(𝑀)Довести: 𝑂 – центр описаного кола △𝐴𝐵𝐶  //Оскільки 𝑀𝑂⊥𝐴𝐵𝐶⇒∠𝑀𝑂𝐴=∠𝑀𝑂𝐵= =∠𝑀𝑂𝐶=90°△𝑀𝑂𝐴 ∠𝑂=90°=△𝑀𝑂B ∠𝑂=90°== △𝑀𝑂C ∠𝑂=90° за гіпотенузою і катетом ⇒ 𝑂𝐴=𝑂𝐵=𝑂𝐶⇒ 𝑂 – центр описаного кола △𝐴𝐵𝐶. 

Теорема про три перпендикуляри. Сформулюйте теорему про три перпендикуляри.

Теорема про три перпендикуляри. Приклад 7. Дано:  𝑀∉𝐴𝐵𝐶,  𝑀𝐸=𝑀𝐾=𝑀𝑁, △𝐴𝐵𝐶,  𝑂=Пр𝐴𝐵𝐶(𝑀)Довести: 𝑂 – центр вписаного кола △𝐴𝐵𝐶 . Оскільки 𝑀𝑂⊥𝐴𝐵𝐶⇒∠𝑀𝑂𝐸=∠𝑀𝑂𝐾= ∠𝑀𝑂𝑁=90°;За теоремою про три перпендикуляри ⇒ 𝑂𝐸⊥𝐴𝐶, 𝑂𝐾⊥𝐵𝐶,𝑂𝑁⊥𝐴𝐵;△𝑀𝑂𝐸 ∠𝑂=90°=△𝑀𝑂K ∠𝑂=90°= △𝑀𝑂N ∠𝑂=90° за гіпотенузою і катетом ⇒ 𝑂𝐸=𝑂𝐾=𝑂𝑁⇒ 𝑂 – центр вписаного кола △𝐴𝐵𝐶. 

Теорема про три перпендикуляри. Приклад 8. Дано:  𝐴𝐵𝐶𝐷 −паралелограм,  𝑀∉𝐴𝐵𝐶, 𝑎⊥𝐴𝐵𝐶, 𝑀∈𝑎, 𝐴𝐵=12 см, 𝐵𝐶=30 см, ∠𝐵𝐶𝐷=30°,               𝑀𝐵=8 см Знайти: відстань від точки 𝑀 до прямих 𝐴𝐷 і 𝐷𝐶 Розв'язання. Проведемо висоти 𝐵𝐾 і 𝐵𝑁 паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷;За теоремою про три перпендикуляри ⇒ 𝑀𝐾⊥𝐴𝐷, 𝑀𝑁⊥𝐶𝐷 ⇒𝑑𝑀,𝐴𝐷=𝑀𝐾, 𝑑𝑀,𝐷𝐶=𝑀𝑁;Знайдемо площу паралелограма 𝐴𝐵𝐶𝐷: 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐶∙𝐶𝐷∙𝑠𝑖𝑛30°=12∙30∙0,5=180 см;𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐷∙𝐵𝐾⇒𝐵𝐾=𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐷=18030=6 см;𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐶𝐷∙𝐵𝑁⇒𝐵𝑁=𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷𝐶𝐷=18012=15 см;△MBK (∠𝐵=90°) – єгипетський ⇒𝑀𝐾=10 (см);△MBN (∠𝐵=90°): 𝑀𝑁=82+152=289=17 см. Відповідь: 10 cм, 17 см. 

Теорема про три перпендикуляри. Приклад 9. Дано:  𝐴𝐵𝐶𝐷 −трапеція (𝐴𝐷=𝐵𝐶),  𝑀∉𝐴𝐵𝐶, 𝑎⊥𝐴𝐵𝐶, 𝑀∈𝑎, 𝐴𝐵=16 см, 𝐶𝐷=9 см, 𝑀𝐸=10 см,О − центр кола, вписаного в трапецію 𝐴𝐵𝐶𝐷 Знайти:  𝑀𝑂 Розв'язання. Проведемо OE – радіус кола, вписаного в рівнобічну трапецію 𝐴𝐵𝐶𝐷;За теоремою про три перпендикуляри ⇒ 𝑀𝐸⊥𝐴𝐷 ⇒𝑑𝑀,𝐴𝐷=𝑀𝐸;Знайдемо OE: r=12𝐴𝐵∙𝐷𝐶=1216∙9=6 см;△EOM (∠O=90°) – єгипетський ⇒𝑀𝑂=8 см. Відповідь: 8 cм. 

Кут між прямою та площиною. Що називають кутом між прямою та площиною?Що називають кутом між відрізком та площиною?

Кут між прямою та площиною. Приклад 10. Дано:   𝑀∉𝛼, 𝐴,𝐵,𝑂∈𝛼,𝑀𝑂⊥𝛼,  ∠𝑀𝐵𝑂=∠𝑀𝐴𝑂≠90°Довести:  𝑂𝐴=𝑂𝐵  Проведемо OB,OA – проекції похилих MA, MB на площину 𝛼;△MOB (∠O=90°) = △MOA (∠O=90°) за катетом і протилежним кутом ⇒ 𝑂𝐴=𝑂𝐵. 

Кут між прямою та площиною. Приклад 11. Дано:   𝑀∉𝐴𝐵𝐶, 𝑀𝐴⊥𝐴𝐵𝐶, O – центр правильного △ABC , AB = 6 cм, MA = 2 cм. Знайти:  ∠(𝑀𝑂,𝐴𝐵𝐶)  Розв'язання. Оскільки 𝑀𝐴⊥𝐴𝐵𝐶, то ∠𝑀𝑂,𝐴𝐵𝐶=∠𝑀𝑂𝐴;Знайдемо АO – радіус кола, описаного навколо △ABC : 𝐴𝑂=𝐴𝐵33=633=23 (см);△MAO (∠𝐴=90°): 𝑡𝑔∠𝑀𝑂𝐴=𝑀𝐴𝐴𝑂⇒𝑡𝑔∠𝑀𝑂𝐴=223⇒𝑡𝑔∠𝑀𝑂𝐴=13⇒∠𝑀𝑂𝐴=30°. Відповідь:   30°. 

Двогранний кут. Кут між площинами. Опишіть, яку фігуру називають двогранним кутом. Яку фігуру називають лінійним кутом двогранного кута?Що називають величиною двогранного кута?Що називають кутом між двома площинами, які перетинаються?Що називають кутом між многокутником і площиною, якій многокутник не належить?

Двогранний кут. Кут між площинами. Приклад 12. Дано: △ABC , △ABD – рівнобедрені, AB = 6 cм, AB – основа, 𝐷∉𝐴𝐵𝐶, 𝐷𝐵=17 см, 𝐵𝐶=10 см, DC = 339 cм. Знайти:  ∠(𝐴𝐵𝐷,𝐴𝐵𝐶) Розв'язання. Проведемо DM, CM – висоти △ABD , △ABC відповідно. Оскільки △ABC , △ABD – рівнобедрені, то DM, CM - медіани;Оскільки 𝐷𝑀⊥𝐴𝐵,  𝑀𝐶⊥𝐴𝐵, то ∠(𝐴𝐵𝐷,𝐴𝐵𝐶)=∠𝐷𝑀𝐶;△DMB (∠𝑀=90°): 289−64=225=15 см;△CMB (∠𝑀=90°): 100−64=36=6 см;△DMC: за теоремою косинусів знайдемо ∠𝐷𝑀𝐶 𝐷𝐶2=𝐷𝑀2+𝐶𝑀2−2𝐷𝑀∙𝐶𝑀∙𝑐𝑜𝑠∠𝐷𝑀𝐶 351=225+36−180∙𝑐𝑜𝑠∠𝐷𝑀𝐶⇒𝑐𝑜𝑠∠𝐷𝑀𝐶=−12⇒∠𝐷𝑀𝐶=120°. Відповідь:   120°. 

Перпендикулярні площини. Які площини називаються перпендикулярними?Сформулюйте ознаку перпендикулярності площин. Сформулюйте властивість перпендикулярних площин.

Перпендикулярні площини. Приклад 13. Дано:  𝐴𝐵𝐷⊥𝐴𝐵𝐶, 𝐶𝐵𝐷⊥𝐴𝐵𝐶,  AD = 20 cм,         𝐶𝐷=13 см, 𝐵𝐷=12 см, ∠𝐴𝐵𝐷,𝐷𝐵𝐶=120°Знайти:   𝑑(𝐵𝐷,  𝐴𝐶) Розв'язання. Оскільки 𝐴𝐵𝐷⊥𝐴𝐵𝐶, 𝐶𝐵𝐷⊥𝐴𝐵𝐶, то 𝐵𝐷⊥𝐴𝐵𝐶;Оскільки 𝐵𝐷⊥𝐴𝐵𝐶, то 𝐵𝐷⊥𝐴𝐵,𝐵𝐷⊥𝐵𝐶.   Отже ∠𝐴𝐵𝐶 −лінійний  кут двогранного кута ⇒∠𝐴𝐵𝐷,𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐶 = 120°;Проведемо висоту BE △ABC.  Оскільки 𝐵𝐷⊥𝐴𝐵𝐶, то 𝐵𝐷⊥𝐵𝐸⇒𝐵𝐸 −спільний перпендикуляр мимобіжних прямих 𝐵𝐷 і 𝐴𝐶⇒𝑑𝐵𝐷,  𝐴𝐶=𝐵𝐸;△ABD (∠𝐵=90°): 𝐴𝐵=400−144=256=16 см;△DBC (∠𝐵=90°): 𝐵𝐶=169−144=25=5 см;△ABC: за теоремою косинусів знайдемо 𝐴𝐶: 𝐴𝐶2=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2−2𝐴𝐵∙𝐵𝐶∙𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐶 𝐴𝐶2=256+25−160∙𝑐𝑜𝑠120°=361⇒𝐴𝐶=19 cм. S△ABC=12𝐴𝐵∙𝐵𝐶∙ 𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐵𝐶=12𝐴𝐶∙𝐵𝐸⇒𝐵𝐸=40319 см. Відповідь: 40319 см. 

Площа ортогональної проекції многокутника. Сформулюйте теорему про площу ортогональної проекції многокутника

Площа ортогональної проекції многокутника. Приклад 14. Многокутник 𝐹1 - проекція многокутника F на деяку площину. Заповніть таблицю. Розв'язання. SF1=SF∙cos60°=12∙12=6 (см2);SF=S𝐹1𝑐𝑜𝑠45°=8∙22=82 (см2); 𝑐𝑜𝑠𝛼=𝐹1𝐹=16332=32⇒𝛼=30°. Відповідь:  6 см2,82 см2,30°. 

Площа ортогональної проекції многокутника. Приклад 15. Дано:  𝐴𝐵𝐶𝐷𝐷1𝐶1𝐵1𝐴1 - куб AB = 2 cм. Знайти: 𝑆 𝐴𝐵1𝐶1𝐷 Розв'язання.△𝐴𝐵𝐵1(∠𝐵=90°):𝐴𝐵1=2𝐴𝐵2=𝐴𝐵2=22 (см); 𝑆 𝐴𝐵1𝐶1𝐷=𝐴𝐷∙𝐴𝐵1=2∙22=42(см2);Відповідь:  42 см2. 

ТРЕНУВАЛЬНІ ВПРАВИТочка М лежить поза площиною АВС.

ТРЕНУВАЛЬНІ ВПРАВИАА1− перпендикуляр до площини 𝛼, АВ і АС −похилі. Знайти 𝑥 і 𝑦. 567

ТРЕНУВАЛЬНІ ВПРАВИПряма 𝑎 перпендикулярна до площини АВС. 10111213

Потрібно пам’ятати

Потрібно пам’ятати

Потрібно пам’ятати

Потрібно пам’ятати

Домашнє завдання Пряма а перпендикулярна до площини АВС.

Домашнє завдання 𝐴𝐴1−перпендикуляр до площини 𝛼, 𝐴𝐵 і 𝐴𝐶−похилі. Знайти x . 5678

Домашнє завдання Пряма а перпендикулярна до площини АВС.9101112

Домашнє завдання Площини 𝛼 і 𝛽 перпендикулярні. 13141516

Домашнє завдання Пряма а перпендикулярна до площини АВС. Знайти відстань між прямими a і AC (рис. 1 – 3). 17181920

Дякую за співпрацю