Презентація "Ознаки паралелограма"

Ознаки паралелограма. Урок підготувала вчитель математики. Одеської ЗОШ №92 Рязанова Галина Яківна

Мета уроку. Ознайомитися із ознаками паралелограма Навчитися застосовувати дані ознаки для розв'язування задач на доведення.

Розглянемо задачу Знайдіть кут D, якщо кут В дорівнює 110о. Які трикутники треба розглянути ?Чи будуть ці трикутники рівні ?За якою ознакою ?Чому кут D дорівнює куту В ?

Повторюємо Якій чотирикутник називається паралелограмом?Які властивості мають сторони, кути і діагоналі паралелограма?

Доведіть , що на рисунку зображено паралелограм, якщо відомо, що АВ ∥С𝐷 ?   ∠А+∠В=40°+140°=180°,отже А𝐷∥𝐵𝐶 за ознакою паралельних прямих  АВ∥𝐶𝐷 за умовою За означенням АВСD - паралелограм ADCB40° 140° Померкуємо

Дано: АD ∥𝐵𝐶,АD= 𝐵𝐶 Довести: АВСD – паралелограм. Доведення: Проведемо АС та розглянемо трикутники АВС і СDА 1) ∠1= ∠2, як внутрішні різносторонні при АD ∥𝐵𝐶, АС- січна, 2) АС- спільна, 3) АD=ВС за умовою. Отже ∆АВС = ∆СDА за двома сторонами та кутом між ними. Тоді ∠4= ∠3, вони внутрішні різносторонні при прямих АВ, СD та січній АС. За ознакою паралельності прямих АВ ∥ СD . За означенням АВСD – паралелограм. 

2. Дано: АD =BC,АВ= CD Довести: АВСD – паралелограм. Доведення: Проведемо АС та розглянемо трикутники АВС і СDА 1) АВ= CD за умовою, 2) АС- спільна, 3) АD=ВС за умовою. Отже ∆АВС = ∆СDА за трьома сторонами. Тоді ∠2= ∠1, вони внутрішні різносторонні при прямих АD, ВСта січній АС. За ознакою паралельності прямих АD ∥ ВС . Отже, в чотирикутнику АВСD протилежні сторони АD і ВС паралельні і рівні. За доведеною ознакою 1 АВСD – паралелограм. 

3. Дано: АО=ОС, ВО=ОD Довести: АВСD – паралелограм. Доведення: Розглянемо трикутники АОВ та СОD 1) ∠2= ∠1, як вертикальні, 2) АО=ОС за умовою, 3) ВО=ОD за умовою. Отже ∆ АОВ = ∆ СОD за двома сторонами та кутом між ними. Тоді АВ=СD, як відповідні сторони, ∠3= ∠4, як відповідні кути в рівних трикутниках. За ознакою паралельності прямих АВ ∥ СD, АВСD – паралелограм за першою ознакою.  

Розглянемо два твердження: Якщо даний чотирикутник – паралелограм, то у нього протилежні сторони рівні. Якщо у чотирикутника протилежні сторони рівні, то він – паралелограм. Чим відрізняються ці твердження?Умова і висновок помінялися місцями. Якщо умову позначити літерою А, а висновок літерою В, то наші твердження будуть виглядати так: А ⇒ В В ⇒ Аде А – достатня умова для В, а В – необхідна умова для А. Ці записи можна об’єднати в один, який буде виглядати так: А⇔ВЗнак ⇔ означає такі зв’язки між твердженнями: З твердження А випливає твердження В, і з твердження В випливає твердження А. Знак ⇔ можна замінити такими словами: тоді і тільки тоді або необхідно і досить. 

Чотирикутник буде паралелограмом тоді і тільки тоді, коли його протилежні сторони рівні.або. Щоб чотирикутник був паралелограмом, необхідно і досить, щоб його протилежні сторони були рівні. Даний чотирикутник - паралелограм. Протилежні сторони попарно рівніДві протилежні сторони паралельні і рівніПротилежні сторони паралельніДіагоналі точкою перетину діляться навпіл. Дані твердження є необхідною і достатньою умовою, щоб даний чотирикутник був паралелограмом.

Проте ознаками паралелограма є твердження, які дають відповідь на питання: Коли даний чотирикутник буде паралелограмом? Наступна схема ілюструє ознаки паралелограма: Протилежні сторони попарно рівніДві протилежні сторони паралельні і рівніДіагоналі точкою перетину діляться навпіл. Даний чотирикутник - паралелограм. Протилежні сторони паралельніДаний чотирикутник - паралелограмза означенням

Робота за готовими рисунками. Про який чотирикутник можна сказати, що він паралелограм? Чому?За ознакою 3 :діагоналі поділяються навпіл, але на цьому рисунку ця умова не виконується. АВСD не є паралелограмом. За ознакою 1: дві протилежні сторони паралельні і рівні. На цьому рисунку AD=ВС, але вони не паралельні. Отже, АВСD не є паралелограмом. За ознакою 2: протилежні сторони попарно рівніАВ=СD, АD=ВС. Отже АВСD - паралелограм3355 АВСDОАВСD45° 145° 1212 АВСDА)Б)В)151599

Письмові вправи( Зауваження: В задачах 1 і 2 спочатку необхідно довести, що дані чотирикутники - паралелограми)У чотирикутнику ABCD AB = CD, AD = BC. Знайдіть кути чотирикутника, якщо кут А втричі більший за кут В. Діагоналі чотирикутника MNPQ в точці перетину діляться навпіл. Одна з його сторін дорівнює 4 см. Чому дорівнює протилежна їй сторона?3. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці О. Точки В1 і D1 — середини відрізків ВО і DO відповідно. Доведіть, що чотирикутник AB1 CD1 — паралелограм.

Перевірте себе АВСDУ чотирикутнику ABCD AB = CD, AD = BC. Знайдіть кути чотирикутника, якщо кут А втричі більший за кут В. Розв’язання. Так як AB = CD, AD = BC, то ABCD – паралелограм за ознакою 2. Нехай ∠В=х, тоді ∠А=3х.∠В+∠А=180°. Маємо рівняння х+3х=180, 4х=180, х=45. ∠В=45°, ∠А=3∙45°=135°. ∠С=∠А, ∠𝐷= ∠В за властивістю паралелограма. Відповідь: ∠А= 135°, ∠В=45°, ∠С= 135°, ∠𝐷= 45°.  

2. Діагоналі чотирикутника MNPQ в точці перетину діляться навпіл. Одна з його сторін дорівнює 4 см. Чому дорівнює протилежна їй сторона?Перевірте себе. MNPQAРозв’язання. Так як MA=AP, NA=AQ, то MNPQ – паралелограм за ознакою 3. Тоді, якщо MN=4 см, то PQ=MN= 4 см, як протилежні сторони паралелограма. Відповідь: 4 см.

Перевірте себе3. Діагоналі паралелограма ABCD перетинаються в точці О. Точки В1 і D1 — середини відрізків ВО і DO відповідно. Доведіть, що чотирикутник AB1 CD1 — паралелограм. АВСDОв1 𝐷1 Доведення. Так як точка В1- середина відрізка ВО, то ВВ1=В1 О=12 ВО, точка D1 - середина відрізка ОD, то О𝐷1=D1 D=12 О𝐷. За умовою АВСD – паралелограм. За властивістю діагоналей паралелограма АО=ОС, ВО=ОD. Звідси В1 О=ОD1. У чотирикутнику AB1 CD1 діагоналі В1 D1  і АС діляться навпіл. Отже, за ознакою 3 чотирикутник AB1 CD1 – паралелограм. 

У чотирикутнику ABCD АD ∥𝐵𝐶,АD= 𝐵𝐶, ∠А=60° Чому дорівнює кут С ? А) 90°  Б) 120°  В) 60°  Г)Визначити неможливо2. У чотирикутнику ABCD АD =BC, АB= CD, ∠D=120°. Чому дорівнює кут В ?А) 60°  Б) 120°  В) 30°  Г)Визначити неможливо3. У чотирикутнику ABCD АВ=9 см, ВС= 12 см, СD = 9 см. Чи правильно, що ABCD – паралелограм, якщо периметр ABCD дорівнює 42 см ? Відповіді: 1). В) 60° 2). Б) 120°  3) Так, ABCD – паралелограм  ВАСDПідведемо підсумки уроку

Домашнє завдання. Вивчити всі ознаки паралелограма2. Розв’язати задачі Накресліть трикутник АВС і проведіть його медіану ВО. На промені ВО промені ВО побудуйте відрізок ОD, що дорівнює ВО. Сполучить точку D з точками А і С. а) Поясніть, чому чотирикутник АВСD є паралелограмом? б) Позначте точку М так, щоб чотирикутник АВDМ був паралелограмом. Чи лежать точки М,С і D на одній прямій ?

Бажаю успіхів!