Презентація "Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій".

Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій.

Функція у = 𝑓(х) називається періодичною, якщо існує таке число 𝑇≠0, що для будь-якого 𝑥 з області визначення функції числа х + Т і х– Т також належать області визначення 𝑓 виконуються рівності:  𝑇 – період функції 𝑓𝑥+𝑇=𝑓𝑥=𝑓𝑥−𝑇 Найменший період 2𝜋 Найменший період 𝜋 sin 𝑥+2𝜋= sin𝑥= sin 𝑥−2𝜋 cos 𝑥+2𝜋=cos𝑥=cos𝑥−2𝜋 Інші періоди, кратні 2𝜋:−2𝜋; ±4𝜋; ±6𝜋… tg 𝑥+𝜋=tg𝑥=tg𝑥−𝜋 ctg 𝑥+𝜋=ctg𝑥=ctg𝑥−𝜋 Інші періоди, кратні 𝜋:−𝜋; ±2𝜋; ±3𝜋… ОЗНАЧЕННЯ

 Побудова графіка функції 𝑦=sin𝑥 𝑥 𝑦 1-1𝜋 𝜋2 2𝜋 3𝜋2 −𝜋 −𝜋2 −2𝜋 −3𝜋2 𝜋 𝑥 𝑦 𝜋2 3𝜋2 2𝜋 𝑂 𝐴cos𝑥;sin𝑥 𝑘∈ℤ 

 Побудова графіка функції 𝑦=sin𝑥 𝑥 𝑦 1-1𝜋 𝜋2 2𝜋 3𝜋2 −𝜋 −𝜋2 −2𝜋 −3𝜋2 𝜋 𝑥 𝑦 𝜋2 3𝜋2 2𝜋 𝑂 𝐴cos𝑥;sin𝑥 𝑘∈ℤ 

 Пообудова графіка функції 𝑦=sin𝑥  𝑥 𝑦 1-1𝜋 𝜋2 2𝜋 3𝜋2 −𝜋 −𝜋2 −2𝜋 −3𝜋2 𝜋 𝑥 𝑦 𝜋2 3𝜋2 2𝜋 𝑂 𝐴cos𝑥;sin𝑥 𝑘∈ℤ 

Функція у = sin х. Графік функції у=sin x називається синусоїдою.

 Графік функції 𝑦=sin𝑥 та її властивості 𝜋 𝑥 𝑦 𝜋2 3𝜋2 2𝜋 𝑂 𝐴cos𝑥;sin𝑥 𝐷𝑓: −∞;+∞ 𝐷𝑓: 𝐸𝑓: −1;1 𝐸𝑓: Парність:непарна. Парність: Найменший додатний період: 2𝜋 Найменший додатний період: Нулі функції: 𝜋𝑘 Нулі функції: Знакосталість, 𝑦>0:2𝜋𝑘; 𝜋+2𝜋𝑘 Знакосталість, 𝑦>0: Проміжки зростання:−𝜋2+2𝜋𝑘;𝜋2+2𝜋𝑘 Проміжки спадання:𝜋2+2𝜋𝑘;3𝜋2+2𝜋𝑘 Проміжки зростання: Проміжки спадання: Найбільше значення функції:1 при 𝑥=𝜋2+2𝜋𝑘 Найбільше значення функції: Найменше значення функції:−1 при 𝑥=−𝜋2+2𝜋𝑘 Найменше значення функції: Знакосталість, 𝑦<0:−𝜋+2𝜋𝑘;2𝜋𝑘 Знакосталість, 𝑦<0: 𝑘∈ℤ 

Функція у = соs х. Графік функції у=cos x називається косинусоїдою.

𝑥 𝑦 1-1𝜋 𝜋2 2𝜋 3𝜋2 −𝜋 −𝜋2 −2𝜋 −3𝜋2 Косинусоїда Графік функції 𝑦=cos𝑥 та її властивості 𝐷𝑓: −∞;+∞ 𝐷𝑓: 𝐸𝑓: −1;1 𝐸𝑓: Парність:парна. Парність: Найменший додатний період: 2𝜋 Найменший додатний період: Нулі функції: 𝜋2+𝜋𝑘 Нулі функції: Знакосталість, 𝑦>0:−𝜋2+2𝜋𝑘; 𝜋2+2𝜋𝑘 Знакосталість, 𝑦>0: Проміжки зростання:−𝜋+2𝜋𝑘; 2𝜋𝑘 Проміжки спадання:2𝜋𝑘;𝜋+2𝜋𝑘 Проміжки зростання: Проміжки спадання: Найбільше значення функції:1 при 𝑥=2𝜋𝑘 Найбільше значення функції: Найменше значення функції:−1 при 𝑥=𝜋+2𝜋𝑘 Найменше значення функції:cos𝑥=sin𝑥+𝜋2 𝜋2 Знакосталість, 𝑦<0:𝜋2+2𝜋𝑘; 3𝜋2+2𝜋𝑘 Знакосталість, 𝑦<0: 𝑘∈ℤ 

ух0π2х1х2х3 А0 А1 А2 А4 А301

 Графік функції 𝑦=tg𝑥 та її властивості 𝑥 𝑦 𝜋 𝜋2 3𝜋2 −𝜋 −𝜋2 −3𝜋2 Тангенсоїда𝑂 𝑘∈ℤ 

 Властивість періодичних функцій. Найменший додатний період функцій 𝑦=sin𝑘𝑥+𝜑 і 𝑦=cos𝑘𝑥+𝜑 дорівнює 2𝜋𝑘 𝑦=sin𝒌𝑥+𝜑𝑦=cos𝒌𝑥+𝜑 𝑇=2𝜋𝒌 Приклад𝑦=sin8𝑥−𝜋5 𝑇=2𝜋8=   𝜋4 𝑦=cos2−17𝑥 𝑇=2𝜋−17=2𝜋· 7=14𝜋 Найменший додатний період функцій 𝑦=tg𝑘𝑥+𝜑 і 𝑦=ctg𝑘𝑥+𝜑 дорівнює 𝜋𝑘 𝑦=tg𝒌𝒙+𝜑𝑦=ctg𝒌𝑥+𝜑 𝑇=𝜋𝒌 

𝑥 𝑦 1-1𝜋 𝜋2 2𝜋 3𝜋2 𝑘∈ℤ 

Поясніть, які функції називаються періодичними. Як побудувати графік функції 𝒚=𝐜𝐨𝐬𝒙, використовуючи її періодичність? Як побудувати графік функції 𝒚=𝐬𝐢𝐧𝒙, використовуючи її періодичність? Як знайти найменший додатний період функцій𝒚=𝒔𝒊𝒏𝒌𝒙+𝝋 і 𝒚=𝒄𝒐𝒔𝒌𝒙+𝝋? Як знайти найменший додатний період функцій𝒚=𝒕𝒈𝒌𝒙+𝝋 і 𝒚=𝒄𝒕𝒈𝒌𝒙+𝝋? fillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.onfillcolorfill.typefill.on