Презентація "Піраміда як многогранник"

Піраміда як многогранник

Твердження: Якщо всі бічні ребра піраміди рівні або нахилені до площини основи під одним кутом, то основою висоти піраміди є центр кола, описаного навколо основи піраміди. Дано: SABC-піраміда 1) SA=SB=SC, SO-висота; 2) Довести: точка -центр кола, описаного навколо основи піраміди. (за гіпотенузою і катетом: за умовою, З рівності трикутників випливає, що Отже, точка центр кола, описаного навколо основи піраміди. (за катетом і гострим кутом: за умовою, З рівності трикутників випливає, Отже, точка 2) спільний катет). спільний катет). SO-висота; Доведення: 1) центр кола, описаного навколо основи піраміди.

Твердження: Якщо всі бічні грані піраміди нахилені до основи під одним кутом, то основою висоти такої піраміди є центр кола, вписаного в основу піраміди. Дано: SABC-піраміда Довести: точка - центр кола, вписаного в основу піраміди. піраміди висоти її бічних граней. Тоді за теоремою про три перпендикуляри . лінійні кути двогранних кутів, ребрами яких є (за катетом і гострим кутом: спільний катет, З рівності трикутників випливає Отже, точка центр кола, вписаного в основу піраміди. Доведення. Проведемо з вершини сторони основи. за умовою).

Нехай SABCD-правильна чотирикутна піраміда. При повороті навколо осі на кут правильний n-кутник(основа правильної n- кутної піраміди) кожен раз суміщається із собою , тоді суміщається із собою і правильна n- кутна піраміда. Звідси випливає, що у правильної піраміди: бічні ребра рівні; бічні грані рівні; апофеми рівні; двогранні кути при основі рівні; двогранні кути при бічних ребрах рівні; кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від всіх вершин основи; кожна точка висоти правильної піраміди рівновіддалена від усіх бічних граней. C A D B S O

Теорема. Бічна поверхня правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра основи на апофему. 1. Знайдіть площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, у якої сторона основи дорівнює 10 см, а бічне ребро -13 см. Дано: SABCD-правильна чотирикутна піраміда АВ=ВС=СD=АD=10 см SA=SB=SC=SD=13 см Знайти: S -? Розв язання : A D B C S O K рівнобедрений, (за умовою), висота, медіана і бісектриса. - середня лінія (см). прямокутний ( ) , ; (см), (см). (см). прямокутний , (см).

Чи можна піраміду назвати правильною (і чому) , якщо : а) її основа – квадрат , а основа висоти – вершина квадрата ; ні (за означенням правильної піраміди , висота піраміди проектується в точку, яка є центром квадрата); б) її основа - прямокутник , а основа висоти – точка перетину діагоналей прямокутника; ні (за означенням правильної піраміди , в її основі лежить правильний многокутник); в) її основа – рівносторонній трикутник , а основа висоти – точка перетину його медіан? так ( в основі лежить правильний многокутник , висота проектується в центр цього многокутника).

Теорема. Площина, яка паралельна основі піраміди й перетинає її , відтинає подібну піраміду. Доведення: Нехай S-вершина піраміди, А-вершина основи і А -точка перетину січної площини з бічним ребром SA. Застосуємо до піраміди перетворення гомотетії відносно вершини S з коефіцієнтом гомотетії k= . У результаті цієї гомотетії площина основи переходить у паралельну площину, яка проходить через точку А′, тобто у січну площину, а тому вся піраміда – у ту частину піраміди, яку відтинає ця площина. Оскільки гомотетія є перетворення подібності, то частина, яку відтяли від піраміди, є пірамідою, подібною даній. S A′ A

Наслідки теореми 1. Переріз піраміди площиною , яка паралельна до площини основи, є многокутник, подібний даному: 2. Бічні ребра і висота піраміди діляться площиною , яка паралельна до основи піраміди, на пропорційні відрізки: 3. Площі перерізу і основи піраміди відносяться як квадрати їх відстаней від вершини : і і звідси Оскільки , то тому Отже, ≈ A B C D O S ≈

Задача. У піраміді переріз , паралельний до основи , ділить висоту у відношенні 3:4(в напрямку від вершини до основи), а площа перерізу менша площі основи на 200 см . Знайдіть площу основи. 1 A A B C C D D B S O O 1 1 1 1 Дано : SABCD – піраміда Знайти : ? тоді 40x = 1800; x = 45. Отже,

Дано зрізану піраміду АВСА В С . Вкажіть , які з наведених тверджень правильні , а які - неправильні: а) площини АВС і А В С паралельні; (так) б) всі грані зрізаної піраміди- трикутники; (ні) в) всі грані зрізаної піраміди- трапеції; (ні) г) висота бічної грані може дорівнювати висоті зрізаної піраміди; (так) д) трикутники АВС і А В С рівні; (ні) е) трикутники АВС і А В С подібні; (так) є) довжина ребра АА може дорівнювати висоті зрізаної піраміди; (так) ж) довжини ребер АА , ВВ , СС не можуть бути рівними; (ні) з) довжина ребра АС може дорівнювати довжині ребра А С . (ні) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A A 1 1 1 B B C C