Презентація " Побудова перерізів многогранників (ознайомлення)"

стереометрія Тема: Побудова перерізів многогранників методом «сліду» Мащакевич Ліана Анатоліївна, м. Київ

Січною площиною многогранника називається така площища з обох боків якої є точки даного многогранника. Перерізом многранника називається фігура, яка складається з усіх точок, які є спільними для даного многогранника та січної площини. Основнні поняття Рис.1 Рис.2

Січна площина перетинає грані многогранника по відрізках, тому перерізом многогранника є многокутник, який лежить в січній площині. Очевидно, що кількість сторін цього многокутника не повинна перевищувати кількості граней даного многогранника. Наприклад (див.рис.3),в пґятикутній призмі (всього 7 граней) в перерізі можна одержати: трикутник, 4-кутник, 5-кутник, 6-кутник чи 7-кутник. Рис.3

Дві площини перетинаються по прямій (ця аксіома дала назву методу: під «слідом» розуміють пряму перетину будь-якої грані многогранника та січної площини). Одержання «сліду» зводиться до одержання двох точок, які одночасно належать і грані многоранника і січній площині (поміркуйте, чому саме двом!?) Точки одержуємо як перетин двох прямих, які належать одній і тій самій площині. ПРИМІТКА. Не забудьте, що пряма та площина нескінченні у просторі фігури! Розглянемо на прикладі побудову перерізу куба площиною, яку задано трьома точками M, N та K.

A B C D B1 C1 D1 M N K Вибираємо точки М та N, які належать одій грані та будуємо пряму MN – «слід» перерізу грані та січної площини. A1 ПРИКЛАД 1.

A B C D B1 C1 D1 M N K A1 E Тепер, звертаємо увагу, що ребро куба В1С1 лежить в одній грані з третьою точкою перерізу К (верхньою) і в одній грані прямою MN (праворуч), яка зґявилась. Знаходимо точку перетину цих прямих – точку Е. ПРИКЛАД 1.

A B C D B1 C1 D1 M N K A1 E Точки Е та К належать верхній грані та січній площині. Отже, пряма ЕК – «слід» їх перетину і FD1C1, F EK. F Приклад 1.

A B C D B1 C1 D1 M N K A1 E F Далі бачимо, що ребро куба А1В1 лежить в одній грані (верхній) та слідом ЕК. Знаходимо точку перетину цих прямих – точку G. G ПРИКЛАД 1.

A B C D B1 C1 D1 M N K A1 E F G Одержана точка G, лежить в одній грані (в передній) з точкою М і дві точки належать січній площині – отже, пряма GM – наступний «слід»! Причому, GM∩АА1=Н. H ПРИКЛАД 1.

A B C D C1 D1 M N K A1 E F G H Залишається зґєднати відрізками всі пари точок. Які лежать в січній площині та одній з граней куба. Пґятикутник MNFKH – переріз, який ми шукали. B1 Приклад 1.

Прклад 2. M N K Побудувати переріз чотирикутної піраміди, який задано точками M,N та K. Прослідкуйте хід побудови та опишіть його.

ПРИКЛАД 3. Побудувати переріз чотирикутної піраміди, який задано точками M,N та K. Прослідкуйте хід побудови та опишіть його. M N K

M N K Розглянемо більш складні приклади. Приклад 4.

M N K Памятайте,що вершина піраміди – спільна точка для всіх бічних граней! ПРИКЛАД 5.

K M N ПРИКЛАД 6.

Площину перерізу можна задати: 1) трьома точками, які не лежать на одній прямій; 2) прямою та точкою, яка не лежить на ній; 3) двома прямими, які перетинаються; 4) двома параллельними прямими. Всі ці випадки можна звести до першого випадку, вибираючи на прямих зручні для нас точки.

Висновок Даний метод побудови перерізу многогранників можна застосувати, якщо знайдеться хоча б одна пара точок, які лежать у січній площині та в одній із граней многогранника. Після цього задача циклічно алгоритмується в одержання наступної точки та наступного «сліду». ПРИМІТКА. Якщо така пара не знайдеться. То переріз будується методом паралельних проекцій. А це вже тема нового заняття!