Презентація "Теорема Піфагора"

Каравелівська гімназія. Мішково-Погорілівської громади. Миколаївської області Миколаївського району. Теорема Піфагора Урок геометрії у 8 класі Вчитель Лопуга Ганна Адамівна

Тема. Теорема Піфагора. Мета: ознайомитися зі змістом і доведенням теореми Піфагора та наслідків з неї; показати застосування теореми при розв'язуванні, задач; формувати вміння правильно і чітко висловлювати власні думки, формулювати математичні твердження; виховувати дисциплінованість, позитивне ставлення до знань. Очікувані результати: учні знають доведення теореми Піфагора, вміють застосовувати її для розв’язування задач на знаходження сторін прямокутного трикутника. Повідомлення теми уроку та мотивація навчально-пізнавальної діяльності учнів

1. Організація класу21 січня

Теорема Піфагора здавна застосовується в різних областях науки, техніки та практичного життя. Про неї писали в своїх творах давньоримський вчений Вітрувій, математик V століття Прокл і багато інших. Як пояснити таку увагу з боку математиків до теореми Піфагора? Чому багато хто з них не були незадоволені уже відомими доведеннями, а шукали свої? За кілька тисячоліть накопилося понад 150 доказів. Коли мова заходить про теорему Піфагора, незвичайне починається вже з її назви. Прокл пише: «Якщо слухати тих, хто любить повторювати стародавні легенди, то можна сказати, що ця теорема належить Піфагору. Розповідають, що на честь цього відкриття він приніс у жертву бика».

Але виявляється, як кажуть сучасні дослідження, теорема Піфагора була відома ще задовго до нього. Вона зустрічається у вавилонських текстах, написаних за 1200 років до Піфагора. Про те, що трикутник зі сторонами 3, 4, 5 - прямокутний, знали єгиптяни ще за 2000 років до нашої ери і користувалися цією властивістю для побудови прямих кутів. У Китаї теорема про квадрат гіпотенузи була відомою принаймні за 500 років до Піфагора, була вона відома і найдавнішим математикам Індії.

Єгипетський трикутникЄгипетський трикутник — прямокутний трикутник зі співвідношенням сторін 3 : 4 : 5. Особливістю такого трикутника, відомою ще з античних часів, є те, що всі його сторони цілочисельні, а згідно з теоремою, оберненою до теореми Піфагора, він є прямокутним.

2. Вивчення навчального матеріалу. Теорема Піфагора У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів. Доведення. Нехай АВС — довільний прямокутний трикутник, у якого ∠C = 90°. Доведемо, що AB2 = AC2 + BC21) Проведемо висоту CD.2) За теоремою про середні пропорційні відрізки в прямокутному трикутнику маємо: AC2 = AB ∙ AD, BC2 = AB ∙ BD .3) Додамо почленно ці дві рівності. Матимемо: AC2 + BC2 = AB ∙ AD + AB ∙ BD = AB (AD + BD) = AB ∙ AB = AB2 4) Отже, AB2 = AC2 + BC2.

2. Вивчення навчального матеріалу. Теорема Піфагора. Якщо позначити в трикутнику АВС (∠C = 90°) BC = a, AC = b, АВ = с (мал.), то теорему Піфагора можна записати формулою:

2. Вивчення навчального матеріалу. Обернена теорема. Якщо в трикутнику АВС має місце рівність AB2 = AC2 + BC2 то кут С цього трикутника прямий. Доведення. Нехай у трикутнику АВС AB2 = AC2 + BC2 Доведемо, що ∠C = 90°Розглянемо ∆ А1 В1 С1, у якого ∠C = 90° A₁C₁ = AC, B₁С₁ = ВС. Тоді, за теоремою Піфагора, A1 B12 = A1 C12 + B1 C1 2 а отже, A1 B12 = AC2 + BC2 .2) Але за умовою: AB2 = AC2 + BC2 , тому AB2 = A1 B12 , тобто AB = A1 B1.3) Отже, ∆АВС=∆А1 В1 С1 (за трьома сторонами), звідки ∠C = ∠C1= 90°

Математичний довідник. Невід'ємне значення квадратного кореня з числа а називають арифметичним квадратним коренем із числа а. Знак називають радикалом. Він замінює термін «арифметичний квадратний корінь». У виразі √а число а називають підкореневим виразом. Дію знаходження арифметичного квадратного кореня з числа а називають добуванням квадратного кореня з числа а. Щоб добути арифметичний квадратний корінь із числа а, потрібно знайти таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а. Наприклад, щоб добути арифметичний квадратний корінь із числа 4, потрібно знайти таке невід'ємне число, квадрат якого дорівнює 4. Це число 2, оскільки 22 = 4. Коротко записують: 4 =2 

Таблиця квадратів. Наприклад:4 = 29 = 316 = 425 = 536 = 649 = 764 = 881 = 9100 = 10121 = 11 

Чи правильно вказано довжини сторін прямокутних трикутників на малюнках?Відповідь поясніть.

3. Закріплення вивченого. Усні завдання. Яке з наведених тверджень є правильним?У прямокутному трикутнику:1) квадрат гіпотенузи дорівнює різниці квадратів катетів;2) гіпотенуза дорівнює сумі квадратів катетів;3) квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

3. Закріплення вивченого. Завдання 1 Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють: 1) 6 см і 8 см; 2) 12 см і 35 см. Розв’язання: 1) 6 см і 8 см; 𝐜𝟐=𝐚𝟐+𝐛𝟐,або 𝐜=𝐚𝟐+𝐛𝟐. 1) c= 62+82 = =36+64 = = 100 = 10 см. 2) 12 см і 35 см. 2) с = 122+352 = 144+1225 == 1369 = 37 см. 

3. Закріплення вивченого. Завдання № 530 Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють:3 см і 4 см;6 см і 9 см. Розв’язання: c2 = a2 + b2; c2 = 32 + 42; c2 = 25; с=25; с = 5 см. Відповідь: с = 5 см. 2) c2 = a2 + b2; c2 = 62 + 92; c2 = 36 + 81; c2 = 117; с = 117 = 13∙9 = 313 см. Відповідь: с = 313 см. 

3. Закріплення вивченого№ 531 Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза та другий катет відповідно дорівнюють:15 см і 12 см; 7 см і 13 см. Розв’язання: c2 = a2 + b2; b2 = c2 – a2; b2 = 152 – ; b2 = 225 – 144 = 81; b = 81; b = 9 см. Відповідь: b = 9 см. 2) c2 = a2 + b2; b2 = c2- a2; b2 = 72 – 132; b2 = 289 – 13 = 276; b = 276; b = 69∙4 ; b = 269 см. Відповідь: b = 269 см. 

3. Закріплення вивченого. Завдання № 533 Розв’язання: Нехай АВСD — даний прямокутник, АВ = 9 см, ВС = 40 см, АС — діагональ. Знайдемо АС. Розглянемо ∆АВС, ∠В = 90° (АВСD — прямокутник), за теоремою Піфагора: AC2 = AB2 + BC2; AC2 = 92+ 402; AC2 = 81 + 1600; AB2 = 1681; АС = 1681 = 41 см. Відповідь: АС = 41 см. Сторони прямокутника дорівнюють 9 см і 40 см. Чому дорівнює його діагональ?

3. Закріплення вивченого. Завдання № 535 Бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 29 см, а висота, проведена до основи, — 21 см. Чому дорівнює основа трикутника?Розв’язання: Нехай дано ∆АВС, АВ = ВС = 29 см, ВК — висота, ВК = 21 см. Знайдемо АС. Оскільки до основи рівнобедреного трикутника проведено висоту, то вона є медіаною, АК=КС. Розглянемо ∆АВК, ∠K = 90°, за теоремою Піфагора: AB2 = AK2 + BK2; AK2 = AB2 – BK2; AK2 = 292 – 122; AK2 = (29 – 21)(29 + 21); AK2 = 8 ∙ 50; AK2 = 400; АК = 20 см. АС = 20 + 20 = 40 см. Відповідь: АС = 40 см. 

3. Закріплення вивченого. Завдання № 537 У колі, радіус якого дорівнює 10 см, проведено хорду завдовжки 16 см. Знайдіть відстань від центра кола до даної хорди. Розв’язання: Нехай дано коло (О; R), R = 10 см, АВ — хорда, АВ = 16 см, ОК ⊥ АВ. Знайдемо ОК. Розглянемо ∆АОВ — рівнобедрений (АО = ОВ як радіуси). ОК — висота, проведена до основи, є медіаною, тоді АК = ВК = 12 АВ =16 : 2 = 8 (см). Розглянемо ∆АОК, ∠АКО = 90°, за теоремою Піфагора: AO2 = AK2 + KO2; OK2 = AO2 – AK2; OK2 = 102 – 82; OK2 = 100 – 64; OK2 = 36; ОК = 6 см. Відповідь: ОК = 6 см. 

3. Закріплення вивченого. Завдання № 539 Сторона ромба дорівнює 26 см, а одна з діагоналей — 48 см. Знайдіть другу діагональ ромба. Розв’язання: Нехай дано ромб АВСD, АВ = ВС = СD = DА = 26 см, ВD і АС — діагоналі, ВD = 48 см. Знайдемо АС. Розглянемо ∆АОВ, ∠АОВ = 90° (АС ⊥ ВО), ВО = 12 ВD = 48 : 2 = 24 см. За теоремою Піфагора: AB2 = AO2 + BO2; AO2 = AB2 – BO2; AO2 = 262 – 242; AO2 = 100; АО = 10 см. АС = 2 ∙ АО = 2 ∙ 10 = 20 см (властивість діагоналей ромба). Відповідь: АС = 20 см. 

3. Закріплення вивченого. Завдання № 540 Один із катетів прямокутного трикутника дорівнює 21 см, а другий катет на 7 см менший від гіпотенузи. Знайдіть периметр трикутника. Розв’язання: Нехай дано ∆АВС, ∠С = 90°, АС = 21 см, ВС < АВ на 7 см. Знайдемо P∆ABC. P∆ABC = АВ + ВС + АС. Нехай ВС = х (см), тоді АВ = х + 7 (см). За теоремою Піфагора: AB2 = AC2 + BC2; (x+7)2 = 212 + x2; x2 + 14x + 49 = 441 + x2; 14х = 441 – 49; 14х = 392; х = 392 : 14; x = 28. ВС = 28 (см), АВ = 28 + 7 = 35 (см). P∆ABC = 35 + 28 + 21 = 84 (см). Відповідь: P∆ABC = 84 см. 

3. Закріплення вивченого. Життєва математика Потрібно пофарбувати стелю у двох тренажерних залах: один з них квадратної форми зі стороною 3,5 м, а другий прямокутної, його розміри 4,5 х 4 м. Для фарбування 1 м² стелі витрачають 240 г фарби. Фарба продається в банках по 2,5 кг. Яку найменшу кількість банок фарби потрібно придбати?

Життєва математика. Розв’язання. Площа стелі кожного залу. Площа квадратної стелі: S1 = 3,5 ∙ 3,5 =12,25 м2 Площа прямокутної стелі: S2= 4, 5 ∙ 4 = 18 м22) Загальна площа стелі: S = S1 + S2 = 12,25 + 18 = 30,25 м23)Загальна кількість фарби, яка необхідна для фарбування всієї стелі. Витрати фарби на 1 м² - 240 г: m = 30,25 ∙ 240 = 7260 г = 7,26 кг4)Мінімальна кількість банок фарби(2,5 кг в банці): n = 7,26 : 2,5 =2, 904  3 банки. Відповідь: 3 банки.

6. Підсумок. Усне опитування Сформулюйте й доведіть теорему Піфагора. Сформулюйте теорему, обернену до теореми Піфагора. Який трикутник називають єгипетським? Які трійки чисел і трикутники називають піфагоровими?

7. Рефлексія. Вправа «5 сходинок успіху

7. Рефлексія. Опрацювати сторінки підручника с. 138-146, п. 16 Виконати завдання № 532, 534, 536.