Відкритий урок на тему: "Теорема Піфагора"

Клас: 8 клас (поглиблений рівень),

вчитель спеціаліст Стадник Л.О.

Предмет: геометрія

 

 

 

 

 

 

Сценарій відкритого уроку 

учителя

Стадник Л. О.

Тема: «Теорема Піфагора »

Засвоєння нових знань та вмінь

STEM-STEAM-STREAM – освіта

 

 

 

 

 

 

 

Епіграф до уроку

Геометрія володіє двома скарбами:

один з них — це теорема Піфагора…

Йоганн Кеплер

 

 

 

 

Мета уроку:

1) Навчальна: Підвести учнів до висновку теореми Піфагора шляхом вимірювальних робіт і логічних міркувань. Познайомити учнів із змістом та різними доведеннями теореми Піфагора.

Формувати вміння застосовувати теорему Піфагора до розв’язування задач.

2) Розвиваюча: Створити умови для розширення загального кругозору учнів, використовуючи історичний і літературний матеріал. Розвивати логічне мислення, пізнавальний інтерес, навички аргументованої мови, акуратність при побудові рисунків.

3) Виховна: Виховувати в учнів відповідальне ставлення до навчання через вивчення життєдіяльності Піфагора.

Тип уроку: засвоєння нових знань та вмінь.

Обладнання: креслярські інструменти.

Підручник: А.Г. Мерзляк, Д.А. Номіровський, В.Б. Полонський, М.С.Якір. Геометрія 8.

Унаочнення: Портрет Піфагора, рисунки для доведення теореми, картки-завдання (задачі, кросворд)

Методи і прийоми: пояснювально-ілюстративний метод, метод запитань і відповідей, наочний метод, словесний метод (бесіда, розповідь, діалог), постановка проблемних запитань, пошуковий метод, евристичний, диференційований підхід.

Форми організації діяльності учнів: колективна форма роботи (фронтальне опитування, усна робота), індивідуальна робота (картки, кросворд).

 

План уроку

1. Організаційний момент.

2. Перевірка домашнього завдання.

3. Підготовча робота за готовими кресленнями.

4. Про життя Піфагора. Історична довідка про теорему Піфагора.

5. Пояснення нового матеріалу.

6. Різні способи доведення теореми Піфагора.

7. Первинне закріплення матеріалу.

8. Розв’язування задач на застосування теореми Піфагора.

9. Розв’язування задач підвищенної складності.

10. Математичний диктант

11. Підведення підсумків уроку.

12. Постановка домашнього завдання.

Очікувані результати:  засвоєння учнями теореми Піфагора; вироблені вміння розв’язувати найпростіші задачі з теми; викликаний інтерес до біографії Піфагора як легенди і джерела дискусії; навчання учнями робити власні висновки.

Хід уроку

І. Організаційний момент.

Добрий день, діти! Я пропоную вам, перед тим як сідати, назвати не повторюючись, суттєве для геометрії слово – своєрідний пароль: (теорема, доведення, трикутник, медіана, …). Назвавши пароль, учень сідає.

Світ, що нас оточує, - це світ геометрії. Тому запрошую вас до його пізнання. І нехай сьогоднішній урок стане ще одним віконцем у дивовижний і цікавий математичний простір.

Я cподіваюсь на нашу співпрацю, свідоме засвоєння матеріалу уроку.

Сьогодні на уроці я пропоную вивчити: теорему нареченої, теорему німфи, теорему метелика.

У вас може виникнути запитання: чому так багато теорем на один урок? Цілком вірно: ці назви стосуються всього однієї теореми.

Щоб дізнатися про неї, ви повинні розгадати кросворд і у виділеній частині прочитати закодоване слово.

 

ІІ. Актуалізація опорних знань

Кросворд

				1
			2
				3
			4
		5
	6
			7

 

1. Як називаються трикутники, сторони яких відповідно пропорційні?

2. Як називається відрізок, що виходить з вершини кута трикутника і ділить його навпіл?

3. Ім’ям якого вченого названо теорему: якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки і на другій його стороні?

4. Сторона прямокутного трикутника.

5. Трикутник – це …

6. Як називається сторона трикутника, що лежить проти прямого кута?

7. Як називається чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, а дві інші - ні?

Відповіді. 1. Подібні. 2. Бісектриса. 3. Фалес. 4. Катет. 5. Фігура. 6. Гіпотенуза. 7. Трапеція.

Закодоване слово: Піфагор.

(кожна правильна відповідь оцінюється в 1 б)

Отже, ми сьогодні вивчимо теорему Піфагора.

Мабуть, ви вже чули ім’я Піфагора, чули про те, що існує така теорема. Давайте спробуємо сформулювати, чим ми будемо сьогодні на уроці займатися, тобто поставимо мету нашого уроку.

Урок ми побудуємо таким чином: спочатку познайомимося з самим Піфагором, дізнаємося, що це була за людина, потім разом доведемо саму теорему і розв’яжемо декілька задач на її застосування.

 

ІІІ. Про життя Піфагора. Історична довідка про теорему Піфагора.

Теорема Піфагора – це, напевно, єдина теорема, яку пам’ятають усі учні. Ті, що добре вчилися, знають формулювання, доведення, а інші – назву. Напевно немає на землі людини, яка б не знала про Піфагора. Проте найбільше, що відомо зараз людству про цього шанованого грека, вкладається в одну фразу: «Піфагорові штани рівні як не поверни».

Давайте і ми згадаємо про нього.

•      перегляд презентації

Деяких учнів я просила підготувати інформацію про постать грецького математика Піфагора та застосування теореми Піфагора  у архітектурі, фізиці, біології, мистецтві.

Виступи:

1. Оксана: постать грецького математика Піфагора та застосування т. Піфагора в архітектурі.
2. Олег та Тимофій: застосування теореми Піфагора у електроніці та техніці, у фізиці, медицині та біології.

Виступ оцінюється в  3 б

Піфагор народився в 570 році до нашої ери на острові Самос. Це один з найвідоміших вчених, а також найбільш загадкова особистість, людина – символ, філософ і пророк.

Піфагору приписується багато чудових відкриттів і доведень.

У географії і астрономії – уявлення про те, що Земля – куля і що існують інші, схожі на неї світи. В музиці – залежність між довжиною струни арфи і звуком, який вона видає.

В геометрії - теорема про суму кутів трикутника, геометричні способи розв’язування квадратних рівнянь, побудова правильного п’ятикутника (зірка) циркулем і лінійкою, який став символом піфагорійців.

Піфагор був не лише великим математиком, а й філософом. Його вислови актуальні і в наш час.

Вінчала геометрію теорема Піфагора, якій присвячений сьогоднішній урок.

Перед тим як безпосередньо перейти до цієї чудової теореми, перевіримо домашнє завдання, яке згодиться нам для сьогоднішнього уроку.

 

ІV. Перевірка домашнього завдання.

Вдома ви повинні були побудувати прямокутні трикутники за відомими катетами, виміряти гіпотенузу і заповнити таблицю.

Давайте перевіримо, як ви справились. (Під диктовку учнів заповнюється таблиця на дошці).

№	катет	катет	гіпотенуза
1	3	4	5
2	5	12	13
3	6	8	10
4	8	15	17

 

V. Пояснення нового матеріалу

Побудуємо нову таблицю і заповнимо її:

1) піднесемо всі результати до квадрата, тобто знайдемо величини а², b² і с².

№	а2 (катет)	b2 (катет)	а2 + b2	с2 (гіпотенуза)
1	9	16	25	25
2	25	144	169	169
3	36	64	100	100
4	64	225	289	289

2) Додамо квадрати катетів (а² + b²) і порівняємо з квадратом гіпотенузи.

3) У всіх вийшло, що a² + b² = с² ?

(кожна правильна відповідь оцінюється в 1 б)

Цю закономірність і виражає теорема Піфагора, якій присвячений наш урок.

Стародавні геометри не володіли алгебраїчним апаратом, тому теорему Піфагора формулювали так: «Площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на його катетах».

 

По сучасному ця теорема звучить так: «Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів».

Отже, теорема Піфагора – це теорема, яка відображає зв’язок між катетами і гіпотенузою в прямокутному трикутнику.

Проте ми не можемо назвати будь-яке твердження теоремою лише за допомогою вимірювань і обчислень, не довівши його логічно.

Зараз ми доведемо цю теорему.

 

VІ. Доведення теореми Піфагора.

1. Для доведення теореми способом 1 пропоную переглянути відео, яке виконав Ярослав на доведення теореми Піфагора.

 

•      Перегляд відео

2. Тепер спробуємо довести теорему самостійно, спираючись на метричні співвідношення у прямокутному трикутнику.

 

Дано: ∆АВС, С=90º.

Довести: AB²=АС² + BC²

Доведення

Проведемо висоту CD. Застосувавши теорему про метричні співвідношення для катетів АС і ВС, отримаємо:

АС² = AB  АD

BC²= AB  DВ

 АС² + BC² = AB  АD + AB  DВ= AB (АD + DВ) = AB  AB = AB²

Якщо в прямокутному трикутнику довжини катетів дорівнюють a і b, а довжина гіпотенузи с, то т. Піфагора можна виразити такою рівністю

 

Цю теорему називають вічною. Їй понад 2 тисячі років. Відомо більше, ніж 370 різних доведень цієї теореми. За кількістю доведень теорема Піфагора занесена до Книги рекордів Гінеса. Можете.

Та вважають, що Піфагор дав перше повноцінне доведення.

3. Виступ Андрія з проєктом «Піфагорові штани рівні, як ти не крути» - Виступ оцінюється в 3 б
4. Значення теореми Піфагора.

Так за 1500 років до Піфагора землеміри Стародавнього Єгипту для побудови прямого кута використовували такий спосіб: брали мотузку, ділили її вузликами на 12 рівних частин і кінці зв’язували. Потім мотузку натягували на кілки, щоб отримати трикутник зі сторонами 3, 4 і 5. Такий трикутник називався єгипетським. Інформацію про прямокутний трикутник також знали люди, коли будували ще до Піфагора чудові храми в Єгипті, Вавилоні, Китаї, Мексиці. Ще раніше теорема була відома в Індії.

Так стародавні єгиптяни, вавилоняни та інші народи Стародавнього Сходу ще за 2000 років до нашої ери знали, що трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 – прямокутний.

Як бачимо, Піфагор не відкрив сформульовану в теоремі властивість прямокутного трикутника, а помітив, узагальнив і довів, перевів з практичної галузі в наукову.

Цікаво, що саме такі пропорції 3 : 4 : 5 археологи знаходять в розмірах тесаних плит піраміди Херфена в Єгипті.

 

Теорема Піфагора є тим золотим ключиком, який дозволяє відкрити двері до багатьох загадок і задач, дає можливість виконувати наукові розрахунки траєкторій польоту літаків і ракет, руху небесних тіл, розрахунки можливих відстаней до доступних і недоступних точок, визначати висоту будівель, знаходити площі фігур. Без теореми Піфагора геометрію уявити собі дуже важко.

 

VІІ. Первинне закріплення матеріалу.

Оскільки на уроці розпочинається робота із формування вмінь застосовувати теорему Піфагора, то слід одразу виробляти в учнів навички математичної культури, тобто застосуванню теореми Піфагора для деякого прямокутного трикутника мають передувати такі міркування:

Теорема Піфагора має велике практичне значення: вона застосовується в геометрії  і в житті буквально на кожному кроці.

Пойа казав: „Вміння розв’язувати задачі – це практичне

мистецтво, подібне до плавання чи катання на лижах, чи грі на

фортепіано. Навчитися цьому можна лише постійно тренуючись ...”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Ескалатор метрополітену має 170 сходинок від підлоги наземного вестибюлю до підлоги підземної станції. Ширина сходинок 40 см, висота 30 см. Визначте: довжину сходів та довжину ескалатора.
2.  

3. 

Кожна розв’язана задача оцінюється в 2 б

VІІІ. Розв’язування задач на застосування теореми Піфагора.

Робота в парах: Задачі за готовими рисунками (3 учні розв’язують на дошці задачі, поки учні розв’язують на місцях: 1 -ий ряд – 1 задача, 2 ряд – 2 задача, 3 ряд – 3 задача).

 

 

 

Кожна розв’язана задача оцінюється в 2 б

IX. Розв’язування задач підвищенної складності

Задача із збірника ЗНО-2014, №24

 

Задача 23.22 , 23.32 підручника.

Кожна розв’язана задача оцінюється в 4 б

 

Х. Математичний диктант

Закріплення ознак та властивостей паралелограма проводимо у вигляді математичного диктанту з подальшою взаємною перевіркою (кожна правильна відповідь оцінюється у 1 бал). У дошки працюють два учні .

 

1) У прямокутному трикутнику сторони називаються...

2) За малюнком С²=

 

 

 

3) СВ² =

4) Прямокутник зі сторонами 3, 4, 5 називається...

5) Чи існує прямокутник зі сторонами 4:5:6?

6) Обчисліть ВС =

 

 

 

7) Сторона квадрата 13см. Тоді діагональ = ... см.

8) Сторона прямокутника 8 см. Діагональ 12см, тоді друга сторона прямокутника ...?

9) У рівнобедреному трикутнику АВС основа 10см. Висота проведена до основи 12см. Знайти бічну сторону.

10) Сторони ромба 13см, а  одна з діагоналей 10см. Знайти другу діагональ.

11) Знайти невідому сторону.

                                  

 

 

 

ХІ. Підведення підсумків уроку.

Перевірка знань за допомогою програми Plicers.

(використання QR-кодів)

Кожна розв’язана задача оцінюється в 1 б

Вправа «Знайти зашифроване слово» (УСПІХ) Кожна правильна відповідь оцінюється в 1 б

1. Використайте теорему Піфагора для трикутника KLM, у якого = 90°.

А) КМ² = КL² + МL²;  У) КL² = КМ² + МL²;  В) МL² =КL² + КМ².

2.  Використайте наслідок з теореми Піфагора для трикутника АВС, у якого = 90°. 

О) АВ = ;   К) ВС = ;  С) АВ =

3. Якщо в трикутнику PRS виконується рівність PS² = PR² + RS², то прямим кутом є:

А) П) ;  Л)

4. Знайдіть гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо катети дорівнюють см і 1 см.

Б) 3;  В) 1;  І) 2.

5. Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо гіпотенуза і другий катет відповідно дорівнюють см і 1 см.

Л) 1;  Х) 2;  М) 3. 

Яке відкриття ми сьогодні зробили? Хто зможе нагадати, як формулюється теорема Піфагора? Яку практичну користь дає нам теорема Піфагора?

Отже, сьогодні ви познайомилися з найвідомішою теоремою планіметрії – теоремою Піфагора. Тому люди пам'ятають Піфагора дві з половиною тисячі років.

Діти, попереду у вас ще багато різних теорем життєвих та геометричних. Можливо, з часом теорема Піфагора буде здаватися вам дуже простою. Але сьогодні ви подолали певний рубіж, ви стали розумнішими на цілу теорему – теорему Піфагора, – цікаву, могутню, вічну. Дякую всім за урок!

Пропонується учням оцінити свою роботу яка

включала:

- Кросворд – максимальна оцінка 7 балів

- підготовку презентацій - застосування теореми Піфагора у різних галузях,

проєкт «Піфагорові штани» (3 бали)

- математичний диктант ( 11 балів)

- розв’язування практичних задач ( по 2 бали)

- завдання підвищеної складності ( 4 бали)

-плікерс (5 балів)

Для переводу у дванадцятибальну систему – обчислюємо відсоток від

найкращої оцінки.

XІI. Домашнє завдання:

1. Опраюцвати п. 23 підручника; вивчити т. Піфагора та її доведення;
2. Скласти задачу практичного змісту, яку можна розв'язати за допомогою теореми Піфагора.
3. Виконати № 23.2; 23.4; 23.16; 23.23.