Презентація "Теорема синусів"

𝑨𝑩𝒔𝒊𝒏𝑪=𝑩𝑪𝒔𝒊𝒏𝑨=𝑨𝑪𝒔𝒊𝒏𝑩 𝒄𝒔𝒊𝒏γ=𝒂𝒔𝒊𝒏α=𝒃𝒔𝒊𝒏β 𝒂 :𝒃 :𝒄=𝒔𝒊𝒏α :𝒔𝒊𝒏β :𝒔𝒊𝒏γ Теорема синусів

№ 512 Дано: ∆АВСAВ: ВС = 5 : 8В = 60°Р = 60 см. Знайти: АВ, ВС, АС -? Розв'язання: Нехай х – коефіцієнт пропорційності, тоді АВ = 5х см, ВС= 8х см, АС = Р – (АВ + ВС) = 60 – 13х. Запишемо теорему косинусівдля сторони АС трикутника АВС: АВС5х8х60-13х60°

3600-1560х+169х2=25х2+64х2–2·40х2·0,5(60-13х)2 = (5х)2 + (8х)2 – 2·5х·8х· cos60° АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 АВ·ВСcos. В 3600-1560х+169х2=25х2+64х2–40х2 3600-1560х+169х2 –25х2–64х2+40х2 = 0 120х2-1560х+3600 = 0 /120х2-13х+30 = 0 За теоремою Вієта: х₁ = 10; х₂ = 3 (см) Не підходить

АВ = 5·3 = 15 (см) ВС = 8·3 = 24 (см) АС = 60 – 13·3 = 60 – 39 =21 (см) Відповідь: 15 см, 24 см, 21 см.

№ 516 Дано: □АВСD;АВ : AD = 2 : 3;AС = 19 см, ВD = 17 см. Знайти: АВ, ВС -? Розв'язання: Нехай х – коефіцієнт пропорційності, тоді АВ = 2х см, АD = ВС = 3х см. Запишемо наслідок з теореми косинусівдля паралелограма АВСD: САВD2х3х17193х2х

АС2 + ВD2 = 2(АВ2+ВС2) 192 + 172 = 2((2х)2+(3х)2) 361 + 289 = 2(4х2 +9х2) 26x2 = 650 x = 5x2 = 25 АВ= 2·5 = 10 (см) ВС= 3·5 = 15 (см) Відповідь: 10 см, 15 см.

Друге лютого. Класна робота. Теорема синусів

Теорема синусів. Сторони трикутників пропорційні синусам протилежних кутів. САВDаbcαβγ𝑨𝑩𝒔𝒊𝒏𝑪=𝑩𝑪𝒔𝒊𝒏𝑨=𝑨𝑪𝒔𝒊𝒏𝑩 𝒄𝒔𝒊𝒏γ=𝒂𝒔𝒊𝒏α=𝒃𝒔𝒊𝒏β Проведемо висоту СD.Із ∆АСD знайдемо: СD = АС·sin. A. Із ∆BСD знайдемо: СD = BС·sin. B. Прирівняємо: АС·sin. A = BС·sin. B. Тоді:𝑨𝑪𝒔𝒊𝒏𝑩=𝑩𝑪𝒔𝒊𝒏𝑨 Аналогічне співвідношення отримаємо і для інших висот.𝑨𝑩𝒔𝒊𝒏𝑪=𝑩𝑪𝒔𝒊𝒏𝑨=𝑨𝑪𝒔𝒊𝒏𝑩 Отже,𝒂 :𝒃 :𝒄=𝒔𝒊𝒏α :𝒔𝒊𝒏β :𝒔𝒊𝒏γ 

Наслідки з теореми синусів. Н 1 У будь-якому трикутнику відношення сторони до синуса протилежного кута дорівнює діаметру кола, описаного навколо цього трикутника𝒄𝒔𝒊𝒏γ=𝒂𝒔𝒊𝒏α=𝒃𝒔𝒊𝒏β=𝟐𝑹 𝒄=𝟐𝑹𝒔𝒊𝒏γ;𝒂=𝟐𝑹𝒔𝒊𝒏α; 𝒃=𝟐𝑹𝒔𝒊𝒏β Н 2 У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута лежить більша сторона

Наслідки з теореми синусів. Н 3 Бісектриса кута трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам𝑩𝑫𝑫𝑪=𝑨𝑩𝑨𝑪 АВСD𝑩𝑫𝑨𝑩=𝑫𝑪𝑨𝑪 𝑨𝑪𝑨𝑩=𝑫𝑪𝑩𝑫 𝑨𝑪𝑫𝑪=𝑨𝑩𝑩𝑫 

80°80°70°70°

АВСа =10b - ?𝒂𝒔𝒊𝒏𝑨=𝒃𝒔𝒊𝒏𝑩 𝒃=𝒂·𝒔𝒊𝒏𝑩𝒔𝒊𝒏𝑨 𝒃=𝟏𝟎·𝟎,𝟒𝟎,𝟐=𝟐𝟎 (см) № 545 Відповідь: 20 см.

№ 547 АВС45°60°𝑩𝑪𝒔𝒊𝒏𝑨=𝑨𝑪𝒔𝒊𝒏𝑩 𝑩𝑪𝑨𝑪=𝒔𝒊𝒏𝑨𝒔𝒊𝒏𝑩 𝑩𝑪𝑨𝑪=𝒔𝒊𝒏𝟔𝟎°𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓°=𝟑𝟐:𝟐𝟐=𝟑𝟐 𝑩𝑪𝑨𝑪=𝟑·𝟐𝟐·𝟐=𝟔𝟐=𝟔 :𝟐 Відповідь: 𝟔 :𝟐. 

№ 549𝑶𝑷𝒔𝒊𝒏𝑲=𝑶𝑲𝒔𝒊𝒏𝑷 𝟑𝟐𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎°=𝑶𝑲𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓° 𝑶𝑲=𝟑𝟐·𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓°𝒔𝒊𝒏𝟑𝟎°=𝟑𝟐·𝟐𝟐·𝟎,𝟓=𝟔 (СМ) Відповідь: 6 см. КРО45°30°3𝟐 ?

№ 553𝑨𝑩𝒔𝒊𝒏𝑪=𝟐𝑹 𝟕𝟑𝒔𝒊𝒏𝟏𝟐𝟎°=𝟐𝑹 𝑹=𝟕𝟑𝟐𝒔𝒊𝒏𝟏𝟐𝟎°=𝟕𝟑𝟐𝒔𝒊𝒏𝟔𝟎°=𝟕𝟑·𝟐𝟐·𝟑=𝟕 (СМ) Відповідь: 7 см.

Вивчити § 12. Знати формули (теорему, наслідки 1 і 3). Розв’язати письмово: №№ 546, 548, 550, 554.