Презентація "Теорема Вієта"

Теорема Вієта𝑥1+𝑥2=−𝑏,𝑥1∙𝑥2=𝑐; x2+bx+c=0ax2+bx+c=0𝑥1+𝑥2=−𝒃𝒂,𝑥1∙𝑥2=𝒄𝒂; 

Квадратним або рівнянням другого степеня з однією змінною називають рівняння виду ax2+bx+c=0, де x - змінна, а a,b,c - коефіцієнти квадратного рівняння, причому a≠0 .a- перший коефіцієнт,b-другий коефіцієнти, ,c- вільний член. Наприклад: 3x2+2x-7=0; x2-3x+2=0; 5x2+2x=0; x2-16=0 і т.д. Якщо коефіцієнт a=1, то квадратне рівняння називається зведеним. x2+bx+c=0 – зведене квадратне рівняння

Теорема Вієта

Запишіть суму і добуток коренів 𝒙𝟏  𝒊 𝒙𝟐    для даних рівнянь: 1) 𝑥2−2,5x+1=0 𝑥1+𝑥2=2,5,𝑥1∙𝑥2=1; 2) 𝑥2+3x+5=0 𝑥1+𝑥2=−3,𝑥1∙𝑥2=5; 3) 𝑥2−7x−4=0 𝑥1+𝑥2=7,𝑥1∙𝑥2=−4; 4) 𝑥2+23x−0,7=0 𝑥1+𝑥2=−23,𝑥1∙𝑥2=−0,7;  x1+ x2 = – b, x1x2 = c Вправа 5) 3x2 – 15x + 2 =0; | :3    𝑥2−5𝑥+23=0;  𝑥1+𝑥2=5,𝑥1∙𝑥2=23. 

Розв’яжіть рівняння: x2+4x-5=0. Вправа 2ІІ спосіб Перевіримо через дискримінантx2+4x-5=0а=1, b= 4, c=-5;𝑫=𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄= (-4)2-4·1·(-5)=16+20=36;𝑫=36>0; Х1=−𝒃+𝑫𝟐𝒂= −𝟒+𝟑𝟔𝟐·𝟏 =−𝟒+𝟔𝟐= 𝟐𝟐=1; Х2=−𝒃−𝑫𝟐𝒂=−𝟒−𝟑𝟔𝟐·𝟏 =−𝟒−𝟔𝟐= −𝟏𝟎𝟐=-5. Відповідь: Х1=1, Х2= -5. І спосіб за теоремою Вієтах2+4x-5=0а=1, b= 4, c=-5;За теоремою Вієта Х1+ Х2=-b; Х1 · Х2=c. Х1+ Х2=-4;Х1 · Х2=-5;Підбираємо два числа, які в сумі дають -4, а в добутку -5. Це 1 і -5. Х1=1; Х2=-5. Відповідь: Х1=1, Х2= -5. 

Розв’яжіть рівняння: x2-4x-32=0. Вправа 3ІІ спосіб Перевіримо через дискримінантx2-4x-32=0а=1, b= -4, c=-32;𝑫=𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄= (-4)2-4·1·(-32)=16+128=144;𝑫=144>0; Х1=−𝒃+𝑫𝟐𝒂= −(−𝟒)+𝟏𝟒𝟒𝟐·𝟏 =𝟒+𝟏𝟐𝟐= 𝟏𝟔𝟐=8; Х2=−𝒃−𝑫𝟐𝒂=−−𝟒−𝟏𝟒𝟒𝟐·𝟏 =𝟒−𝟏𝟐𝟐= −𝟖𝟐=-4. Відповідь: Х1=8, Х2= -4. І спосіб за теоремою Вієтаx2-4x-32=0а=1, b= -4, c=-32;За теоремою Вієта Х1+ Х2=-b; Х1 · Х2=c. Х1+ Х2=4;Х1 · Х2=-32;Підбираємо два числа, які в сумі дають 4, а в добутку -32. Це 8 і -4. Х1=8; Х2=-4. Відповідь: Х1=8, Х2= -4. 

Розв’яжіть рівняння: Вправа 4 Розв’яжемо за теоремою Вієтаx2-5x+6=0а=1, b= -5, c=6;Х1+ Х2=5;Х1 · Х2=6;Підбираємо два числа, які в сумі дають 5, а в добутку 6. Це 2 і 3. Х1=2; Х2=3. Відповідь: Х1=2, Х2= 3. 1) x2-5x+6=0.2) x2-x-6=0. Розв’яжемо за теоремою Вієтаx2-x-6=0а=1, b= -1, c=-6;Х1+ Х2=1;Х1 · Х2=-6;Підбираємо два числа, які в сумі дають 1, а в добутку -6. Це -2 і 3. Х1=-2; Х2=3. Відповідь: Х1=-2, Х2= 3. 

Розв’яжіть рівняння: 2x2+5x+3=0. Вправа 5ІІ спосіб Перевіримо через дискримінант2x2+5x+3=0;а=2, b= 5, c=3;𝑫=𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄= 52-4·2·3=25-24=1;𝑫=1>0; Х1=−𝒃+𝑫𝟐𝒂= −𝟓+𝟏𝟐·𝟐 =−𝟓+𝟏𝟒= −𝟒𝟒=-1; Х2=−𝒃−𝑫𝟐𝒂=−𝟓−𝟏𝟐·𝟐 =−𝟓−𝟏𝟒= −𝟔𝟒=-1,5. Відповідь: Х1=-1, Х2= -1,5. І спосіб за теоремою Вієта2x2+5x+3=0а=2, b= 5, c=3;За теоремою Вієта Х1+ Х2=−𝒃𝒂; Х1 · Х2=𝒄𝒂. Х1+ Х2=−𝟓𝟐=-2,5;Х1 · Х2=𝟑𝟐=1,5;Підбираємо два числа, які в сумі дають -2.5, а в добутку 1,5. Це -1 і -1,5. Х1=-1; Х2=-1,5. Відповідь: Х1=-1, Х2= -1,5. 

Розв’яжіть рівняння: Вправа 6а=1, b= 6, c=8;Х1+ Х2=-6;Х1 · Х2=8;Підбираємо два числа, які в сумі дають -6, а в добутку 8. Це -2 і -4. Х1=-2; Х2=-4. Відповідь: Х1=-2, Х2=-4. 1) x2+6x+8=0.2) x2-15x+56=0.а=1, b= -15, c=56;Х1+ Х2=15;Х1 · Х2=56;Підбираємо два числа, які в сумі дають 15, а в добутку 56. Це 7 і 8. Х1=7; Х2=8. Відповідь: Х1=7, Х2= 8. 𝑥2+6𝑥+8=0 𝑥1+𝑥2=−6, 𝑥1∙𝑥2=8;Відповідь: -2; -4. 𝑥1=−2,𝑥2=−4. 𝑥2−15𝑥+56=0 𝑥1+𝑥2=15, 𝑥1∙𝑥2=56;Відповідь: 7; 8. 𝑥1=7,𝑥2=8. Зверніть увагу!!! Оформлення в зошиті може бути і таким:𝑥2+6𝑥+8=0 𝑥1+𝑥2=−6, 𝑥1∙𝑥2=8;Відповідь: -2; -4. 𝑥1=−2,𝑥2=−4. 𝑥1+𝑥2=15, 𝑥1∙𝑥2=56;Відповідь: 7; 8. 𝑥1=7,𝑥2=8. 𝑥2−15𝑥+56=0 𝑥1+𝑥2=15, 𝑥1∙𝑥2=56;Відповідь: 7; 8. 𝑥1=7,𝑥2=8. 𝑥2+6𝑥+8=0 𝑥1+𝑥2=−6, 𝑥1∙𝑥2=8;Відповідь: -2; -4. 𝑥1=−2,𝑥2=−4. 𝑥1+𝑥2=15, 𝑥1∙𝑥2=56;Відповідь: 7; 8. 𝑥1=7,𝑥2=8. 

1) 𝑥2+7𝑥+10=0 𝑥1+𝑥2=−7,𝑥1∙𝑥2=10;Відповідь: -5; -2. 𝑥1=−5,𝑥2=−2. Розв’яжіть рівняння:3𝑥2−15𝑥+18=0 |:3 𝑥2−5𝑥+6=0 ; 𝑥1+𝑥2=5,𝑥1∙𝑥2=6;Відповідь: 2; 3. 𝑥1=2,𝑥2=3. 

Запам’ятайте!!! Якщо добуток коренів додатній, тобто Х1 · Х2>0 , то корені Х1 і Х2 обоє або додатні або ж від’ємні: Х1 >𝟎  і Х2>0 або ж Х1 <𝟎  і Х2<0.   Якщо добуток коренів від’ємний, тобто Х1 · Х2<0 , то корені Х1 і Х2 мають різні знаки, тобто один додатній а другий - від’ємний: Х1 >𝟎, Х2<0 або ж Х1 <𝟎 , Х2>0.  

Якщо сума коренів від’ємна, Х1 + Х2<0 , а добуток Х1 · Х2>0 , то корені Х1 і Х2 мають однакові знаки, Х1 і Х2 обоє або додатні або ж від’ємні. Але оскільки Х1 + Х2<0, то Х1 <𝟎  і Х2<0. Тобто Х1   і Х2-від’ємні   Якщо сума коренів додатна, Х1 + Х2>0 , а добуток Х1 · Х2>0 , то корені Х1 і Х2 мають однакові знаки, Х1 і Х2 обоє або додатні або ж від’ємні. Але оскільки Х1 + Х2>0, то Х1 >𝟎  і Х2>0. Тобто Х1   і Х2-додатні   Якщо сума коренів додатна, Х1 + Х2>0 , а добуток Х1 · Х2<0 , то корені Х1 і Х2 мають різні знаки, бо Х1 · Х2<0 . Отже, Х1 і Х2 , один додатній, а другий від’ємний: Х1 >𝟎  і Х2<0 або ж Х1 <𝟎  і Х2>0 .   Якщо сума коренів додатна, Х1 + Х2>0 , а добуток Х1 · Х2>0 , то корені Х1 і Х2 мають однакові знаки, бо Х1 · Х2>0 і Х1 + Х2>0, то Х1 і Х2 – обоє додатні. Х1 >𝟎  і Х2>0 

Вправа 8

Складіть квадратне рівняння корені якого дорівнюють 8 і −𝟑. Нехай x1 = 8 і x2 =−3 . Тоді −𝑏=x1 + x2 = 8+−3=5; c=𝑥1∙𝑥2=8∙−3=−24. Отже, дане рівняння матиме такий вигляд: 𝒙𝟐−𝟓𝒙−𝟐𝟒=𝟎. Вправа 9

Складіть квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами , корені якого дорівнюють 4 і −𝟓𝟕. 1)Нехай x1 = 4 і x2 =−57 . Тоді −𝑏=x1 + x2 = 4+−57=237 c=𝑥1∙𝑥2=4∙−57=207 Отже, дане рівняння мало би мати такий вигляд: 𝒙𝟐−𝟐𝟑𝟕𝒙+𝟐𝟎𝟕=𝟎.2) Помноживши обидві частини цього рівняння на 7, матимемо 𝒙𝟐−𝟐𝟑𝟕𝒙+𝟐𝟎𝟕=𝟎 | ∙7𝟕𝒙𝟐−𝟐𝟑∙7𝟕𝒙+𝟐𝟎∙7𝟕=𝟎∙7; Отже, отримуємо квадратне рівняння з цілими коефіцієнтами: 7x2 – 23x – 20 = 0. Вправа 10