Презентація "Вектори у просторі"

Метод координатв просторі

Розклад вектора за трьома некомпланарними векторами. Будь-який вектор а можна розкласти за трьома координатними векторами, тобто подати у виглядіа = хi + уj + zk ,причому коефіцієнти у розкладі x, y, z визначаються єдиним чином. Кофіцієнти x, y, z в розкладі вектора а за координатними векторами називається координатами вектора а в даній системі координат.

Координати векторарixy. A(x; y; z)11р {х; у; z}0 {0; 0; 0}1kр = хi + уj + zkjz0 = 0i + 0j + 0k

Дії над векторами. Кожна координата суми двох або більше векторів дорівнює сумі їх відповідних координат. а {х1; у1; z1}b {х2; у2; z2} а + b { х1 + x2; у1 + y2 ; z1 + z2}Кожна координата різниці двох або більше векторів дорівнює різниці їх відповідних координат. а – b { х1 – x2; у1 – y2 ; z1 – z2}

Дії над векторами. Кожна координата добутку вектора на число дорівнює добутку його відповідних координат на це число. а {х1; у1; z1}kа { kх1; kу1 ; kz1}

Прикладиа {3; -7; 2}b {-5; 4; 1}Дано: Знайти:р = 3а – 2b. Розвя'зання:3а {9; -21; 6}-2b {10; -8; -2}р {19; -29; 4}+q = -5а + 6b-5а {-15; 35; -10}6b {-30; 24; 6}q {-45; 59; -4}+

Зв'язок між координатами вектора та координатами його початку і кінця. АВOA(x1; y1; z1)В(x2; y2; z2)АВ {х2 – x1; у2 – y1; z2 – z1}OВ {х2; у2; z2}OA {х1; у1; z1}–АВ = AO + OB = – OA + OB = ОВ – ОА

Зв'язок між координатами вектора та координатами його початку і кінця Кожна координата вектора дорівнює різниці координат його відповідних координат кінця та початку. Приклади А(5; 3; –4), В(–2; 4; 1)АВ {–2 – 5; 4 – 3; 1–(–4)}АВ {–7; 1; 5}M(–3; 8; 2), N(0; –6; 5)MN {0 – (–3); –6 – 8; 5 – 2}MN {3; –14; 3}

Координати середини відрізку. МA(x1; y1; z1)В(x2; y2; z2)Сх1 + х22x =y1 + y22y =z1 + z22z =O

Довжина вектора. Oxy. A(x; y; z)|а |= √ x2 + y2 + z2аz

Відстань між двома точками. A(x1; y1; z1)В(x2; y2; z2)│АВ│= √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 АВ = √(x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2

Кут між векторамиab. ОАВα (a; b) = (ОА; ОВ) = α

Скалярний добуток векторів. Скалярним добутком двох векторів називається добуток їх довжин на косинус кута між ними.a ∙ b = │a│∙│b│cos (a; b)Скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю тогді і тільки тогді, коли ці вектори перпендикулярні.a ∙ b = 0  a  b

Скалярний добуток векторів. Скалярний квадрат вектора (тобто скалярний добуток вектора на себе) дорівнює квадрату його довжини.a ∙ a = a2 = |a|2 a · b = x1x2 + y1 y2 + z1z2 Скалярний добуток векторів a{x1; y1; z1} та b{x2; y2; z2} визначається за формулою

Скалярний добуток векторів x1x2 + y1 y2 + z1z2cos α = √x12 + y12 + z12∙ √x22 + y22 + z22α = arccos x1x2 + y1 y2 + z1z2 √x12 + y12 + z12∙ √x22 + y22 + z22 Косинус кута α між ненульовими векторами a {x1; y1; z1} и b {x2; y2; z2} обчислюється за формулою

Властивості скалярного добутоку векторівa 2 ≥ 0, причому a 2 > 0 при а ≠ 0. Для будь-яких векторів a, b, c та будь-якого числа k справедливі рівності:a· b = b· a (переставний закон).( a + b ) ·c = a· c + b· c (розподільний закон).k ( a b ) = ( ka ) b (сполучний закон).

Кут між прямими │x1x2 + y1 y2 + z1z2│cos φ = √x12 + y12 + z12∙ √x22 + y22 + z22 Нехай p {x1; y1; z1} та q {x2; y2; z2} – напрямні вектори прямих a та b. Косинус кута φ обчислюється за формулою: φ = arccos │x1x2 + y1 y2 + z1z2│ √x12 + y12 + z12∙ √x22 + y22 + z22