Презентація "Властивість бісектриси трикутника"

Вчитель математики Іржавецького ЗЗСО І-ІІІ ступенів Осадчий О. В. 2021р. ВЛАСТИВІСТЬ БІСЕКТРИСИ ТРИКУТНИКА

Вчитель математики Іржавецького ЗЗСО І-ІІІ ступенів Осадчий О. В. 2021р. ВЛАСТИВІСТЬ БІСЕКТРИСИ ТРИКУТНИКА

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони. В будь-якому трикутнику бісектриси перетинаються в одній точці(її називають інцентром). На малюнку точка I-інцентр трикутника АВСBCАIL1 L2 L3

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони. В будь-якому трикутнику бісектриси перетинаються в одній точці(її називають інцентром). На малюнку точка I-інцентр трикутника АВСBCАIL1 L2 L3

АCBLТеорема (властивість бісектриси трикутника). Бісектриса трикутника ділить сторону, до якої вона проведена,на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐿𝐿𝐶 

Доведення. Нехай AL− бісектриса △АВС. Доведемо, що 𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐿𝐿𝐶.1) Проведемо через точку С пряму, паралельну АВ, та продовжимо бісектрису. AL до перетину із цією прямою в точці К. Тоді ∠LKC=∠BAL (як внутрішні різностороннікути при паралельних прямих AB і CK тасічній С. 

Доведення. Нехай AL− бісектриса △АВС. Доведемо, що 𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐿𝐿𝐶.1) Проведемо через точку С пряму, паралельну АВ, та продовжимо бісектрису. AL до перетину із цією прямою в точці К. Тоді ∠LKC=∠BAL (як внутрішні різностороннікути при паралельних прямих AB і CK тасічній С. 

2) Трикутник АКС − рівнобедрений (оскільки ∠BAL=∠LAC і ∠BAL=∠LKC, а тому ∠KAC=∠AKC ), а отже, AC=KC.3) ∠BLA=∠CLK ( як вертикальні). Тому △ABL∾△KCL (за двома кутами). Отже 𝐴𝐵𝐾𝐶=𝐵𝐿𝐿𝐶. Але KC=AC, тому 𝐴𝐵𝐴𝐶=𝐵𝐿𝐿𝐶. 

Розв’язування задач. Розв’язання. За теоремою провластивість бісектриси трикутника: 𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐵𝐶𝐶𝐷. Тому 𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐴𝐷𝐶𝐷,  𝐴𝐵𝐵𝐶=39=13. Відповідь. 13. АCBD3 см9 см

АCBL18 см12 см. Розв’язання. За умовою △АВС-рівнобедрений, тому АВ=ВС. Нехай АВ=х (см), тоді BL=x−12 (см). За теоремою про властивість бісектриси трикутника: 𝐴𝐵𝐴С=𝐵𝐿𝐶𝐿. Маємо рівняння: 𝑥18=𝑥−1212, 12𝑥=18𝑥−12,12𝑥−18𝑥=−216,6𝑥=216.𝑥=36.𝑃=2𝐴𝐵+𝐴𝐶,𝑃=2⋅36+18=90 см. Відповідь.  90 см. 

АВСО15 см21 см24 см

Розв’язання. За властивістю дотичної 𝐴𝐵⊥𝑂𝐹, 𝐵𝐶⊥𝑂𝐾. 𝑂𝐹=𝑂𝐾, як радіуси кола.△𝑂𝐹𝐵=△𝑂𝐾𝐵  за гіпотенузою і катетом. Нехай 𝐴𝑂=𝑥, тоді 𝑂𝐶=24−𝑥. За теоремою про властивість бісектриси трикутника: 𝐴𝐵𝐴𝑂=𝐵𝐶𝐶𝑂. Маємо: 21𝑥=1524−𝑥, звідки 𝑥=14 см.  𝑂𝐶=24−𝑥=24−14=10 см. Відповідь.  10 см, 14 см. АВСОFK

Домашнє завдання. Вивчити § 16. Властивість бісектриси трикутника. Виконати письмово № 566, 570.