Презентація з теми: "Лінійні рівняння з двома змінними"

Урок 1. Лінійні рівняння з двома змінними. Що таке лінійне рівняння з двома змінними. Що є розв’язком лінійного рівняння з двома змінними. Окремі випадки лінійних рівнянь з двома змінними. Алгоритм розв’язування лінійного рівняння з двома змінними

Лінійне рівняння з двома змінними. Задача. Для озеленіння та збагачення краси проспекту Гагаріна в місті Харкові було посаджено 70 дерев сакури та магнолії. Скільки дерев кожного виду було посаджено у Харкові? Розв’язання. Позначимо кількість дерев сакури через х, а кількість дерев магнолії – у. Всього посадили (х + у) дерев, що за умовою задачі дорівнює 70. Одержуємо рівняння: х + у = 70.

Маємо проблему: В РІВНЯННІ ДВА НЕВІДОМИХ. Розв’язати х + у = 70 звичайним способом ми не можемо, але можемо підібрати кілька пар таких чисел, які у сумі дають 70: 13 і 57; 42 і 28; 60 і 10 тощо. Що за рівняння ми одержимо?Як розв’язати це рівняння?Скільки розв’язків має рівняння?

Definition (далі – def.) – визначенняdef. Лінійним рівнянням з двома змінними називають рівняння виду ax+by=c, де x та y – змінні, a, b, c – числа (a, b – коефіцієнти при змінних, с – вільний член). Наприклад: 2х – 3у = 6; −4х+23у=112 

Розв’язок лінійного рівняння із двома зміннимиdef. Розв’язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, за яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність. Наприклад, пара чисел х = – 1 і у = 9 задовольняє рівнянню 5х + 3у = 22, оскільки 5(– 1) + 3 * 9 = 22. 22 = 22 – істинна рівність. А пара чисел х = 1 і у = 2 це рівняння не задовольняє, оскільки 5 * 1 + 3 * 2=22 11 ≠ 22 – не є істинною рівністю. Скорочено розв’язок записуючи (–1; 9), на І місці знаходиться х, а на ІІ – у.

Як розв’язати рівняння з двома змінними?Щоб знайти розв’язок лінійного рівняння з двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї змінної і розв’язавши одержане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення іншої змінної.

Наприклад. 3х – 5у = 1 Нехай х= 7, то 3* 7 – 5у = 1 21 – 5у = 1 –5у = –20 у=4 Отже, (7; 4) – розв’язок. Нехай х= –3, то 3*(–3) –5у = 1 –9 – 5у = 1 –5у = 10 у= –2 Отже, (–3; –2) – розв’язок. Ми знайшли 2 розв’язки. І вони не вичерпують всіх розв’язків. Надаючи змінній х інших значень одержимо різні розв’язки рівняння, отже рівняння 3х – 5у = 1 має безліч розв’язків.

Взагалі, лінійне рівняння із двома змінними або має безліч розв’язків, або не має жодного.a ≠ 0, b ≠ 0рів-ня І степеня. Безліч розв'язківb ≠ 0, a i c - будь-які числа. Безліч розв'язківb = 0, a ≠ 0, с - будь-яке. Безліч розв'язківa = b = с = 0 Безліч розв'язківa = b = 0, c ≠ 0 Немає розв'язків

def. Рівняння з двома змінними називають рівносильними, якщо вони мають одні і ті ж розв’язки або обидва рівняння не мають розв’язків. Властивості рівнянь з двома змінними. Якщо:в рівнянні розкрити дужки і звести подібні доданки;до обох частин рівняння додати (або відняти від них) той самий вираз;члени рівняння перенести з однієї частини в іншу, змінивши при цьому їх знаки на протилежні; обидві частини рівняння помножити (або розділити на одне й те ж саме відмінне від нуля число); то одержимо рівняння рівносильне даному.

Чи можна іншим способом розв’язати рівняння з двома змінними?Розглянемо рівняння 5х + 4у = 16. Використовуючи властивості рівнянь, виразимо одну змінну через іншу.4у =16 – 5х | ÷4y = 16−5х4у = 4 – 54х Надаючи змінній х різних значень можна знайти відповідні значення у.х = 4, то у = 4 −5∗44∗1=4−5=−1 х = 8, то у=4−5∗84∗1=4−10=−6х= – 4, то у=4−54−4=4+5∗44∗1=9 Отже, (4; –1); (8; –6); (–4; 9) – розв’язки рівняння

Розв’яжемо разом

Завдання 1 Які з пар чисел (4; 1); (8; 2) є розв’язком рівняння 3х + 4у = 16?Якщо (4;1) – розв’язок рівняння, то х = 4, у = 1, задовольняє рівняння. Підставимо: 3 * 4 + 4 * 1 = 16 12 + 4 = 16 16 = 16 – істинна рівність, отже (4; 1) – розв’язок рівняння. Якщо (8; 2) – розв’язок рівняння, то х = 8, у = 2, задовольняє рівняння. Підставимо: 3 * 8 + 4 * 2 = 16 24 + 8 = 16 32 ≠ 16 – не є істинною рівністю, отже (8; 2) – не є розв’язком.

Завдання 2 Вирази змінну у через х та змінну х через у.1) x – y = 2х через уx – y = 2x = 2 + yy через xx – y = 2x – 2 = y2) x – 2y = 5x – 2y = 5x = 5 + 2yx – 2y = 5x – y = 2y | ÷ 20,5x – 2,5 = y

Завдання 3 Визначіть за якого значення b пара чисел (–4; 6) є одним із розв’язків лінійного рівняння х + by = 20. Підставимо,–4 + 6b = 206b = 24b = 4 Відповідь: Якщо b = 4, то (–4; 6) – розв’язок рівняння. Якщо (–4; 6) – розв’язок рівняння, то значення –4 та 6 задовольняють рівнянню.

Завдання 4 Знайдіть таке число n, щоб пара чисел (n; – n) була розв’язком рівняння 5х + 4у = 3.5n +4(– n)= 35n – 4n = 3n = 3 Якщо (n;– n) – розв’язок рівняння, то підставивши в рівняння, одержимо. Отже, (3; – 3) – розв’язок рівняння

Задача. На танцювальний фестиваль приїхав ансамбль «Натхнення» із 18 школярів. Їх потрібно розмістити в кімнати або по 3, або 4 дитини. Скільки кімнат потрібно виділити для цього?

Розв’язання. Позначимо кількість тримісних кімнат через х, а чотиримісних – y. Тоді в них розміститься 3х + 4у дітей, що за умовою задачі дорівнює 18. Одержимо рівняння 3х + 4у = 18. Виразимо х через у: 3х = 18 – 4у, x = 18−4у 3  Перевіримо, за яких натуральних значень х набуває натурального значення у. якщо у = 1, то x = 423 – не задовольняє умові задачіякщо у = 2, то x = 313 – не задовольняє умові задачі. якщо у = 3, то x = 2; якщо у = 4, то x = 23 – не задовольняє умові задачі. При x ˃ 4 змінна у набуває від’ємних значень. Отже, умову задовольняє одна пара натуральних чисел (2; 3). Відповідь: Потрібно виділити 2 тримісних кімнати та 3 – чотиримісних.

Отже: Рівняння виду ax + by = c, де x та y – змінні, a, b, c – числа називають лінійним рівнянням з двома змінними ( a, b – коефіцієнти при змінних, с – вільний член) Розв’язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, за яких рівняння перетворюються у правильну числову рівність. Лінійне рівняння із двома змінними або має безліч розв’язків, або не має жодного розв’язку.

Алгоритм розв’язування лінійного рівняння з двома змінними :1. підставити в рівняння довільне значення однієї змінної;2. розв’язавши одержане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення іншої змінної;АБО1. виразити одну змінну через іншу;2. надаючи змінній х різних значень, знайти відповідні значення у;Одержимо пару чисел яка є розв’язком рівняння.

Побачимось на наступному уроці!