Презентація "Задачі з параметрами"

Костюкевич П. П. НВК: ЗОШ №34 –економіко-правовий ліцей «Сучасник» м. Кропивницький. Задачі з параметрами

Область визначення. Розв'язати рівняння: 𝑥2𝑥2−11−𝑥2=𝑎 Розв'язання: 𝑥≤1 – область визначення тригонометричних функцій 𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥,𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥 Підстановка: 𝒙=𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝑡∈[0;𝜋]𝑐𝑜𝑠𝑡∙2𝑐𝑜𝑠2𝑡−11−𝑐𝑜𝑠2𝑡=𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡∙𝑐𝑜𝑠2𝑡∙𝑠𝑖𝑛𝑡=𝑎 ∙4 1−𝑐𝑜𝑠2𝑡=𝑠𝑖𝑛𝑡=𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑡∈[0;𝜋]𝑠𝑖𝑛4𝑡=4𝑎⇒𝑎∈−14 ;14 

𝑎=0:𝑠𝑖𝑛4𝑡=0⇒𝑡=𝜋𝑛4,𝑛∈{0,1,2,3,4} 𝑥1=𝑐𝑜𝑠0=1; 𝑥2=𝑐𝑜𝑠𝜋4=22;𝑥3=𝑐𝑜𝑠𝜋2=0; 𝑥4=𝑐𝑜𝑠3𝜋4=−22; 𝑥5=𝑐𝑜𝑠𝜋=−1 2) 𝑎∈−14;0):𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑎<0. Необхідно: 0≤−1𝑛∙14𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑎+𝜋𝑛4≤𝜋⇒𝑛∈{1,2,3,4}3) 𝑎∈(0;14:𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑎>0. Необхідно: 0≤−1𝑛∙14𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑎+𝜋𝑛4≤𝜋⇒𝑛∈{0,1,2,3}Відповідь: якщо 𝑎∈(−∞;−14∪14;∞),то 𝑥∈∅,якщо 𝑎∈−14;0), то 𝑥=𝑐𝑜𝑠−1𝑛∙14𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑎+𝜋𝑛4,𝑛∈{1,2,3,4} ;якщо 𝑎∈(0;14то 𝑥=𝑐𝑜𝑠−1𝑛∙14𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑎+𝜋𝑛4,𝑛∈{0,1,2,3};якщо 𝑎=0, то 𝑥∈−1;−22;0;22;1 

Єдиність розв’язку𝑦2−2𝑎+1𝑦+𝑎2+𝑎−2=0𝑥−𝑎2+𝑦2+(𝑥−𝑎)2+(𝑦−3)2=3 Розглянемо точки: 𝐴𝑎;0, 𝐵𝑎;3, 𝑂(𝑥;𝑦). Перший корінь – це відстань 𝐴𝑂, другий – відстань 𝐵𝑂. 0≤𝑦≤3 В першому рівнянні: 𝑦1+𝑦2=2𝑎+1𝑦1∙𝑦2=(𝑎−1)(𝑎+2) 

Необхідно, щоб один із коренів належав відрізку [0; 3], а інший – ні.1) 0≤𝑎+2≤3𝑎−1<0;𝑎−1>3𝑎∈[−2;1) 2) 0≤𝑎−1≤3𝑎+2<0;𝑎+2>3 𝑎∈(1;4] Відповідь: 𝑎∈[−2;1)∪(1;4] 

12𝑐𝑜𝑠2𝜋−12−𝑥+𝑏31+2𝑥+2𝑥2+12+2𝑥− −52𝑏𝑥+𝑏24𝑏+12=2𝑏2+2𝑏−12−𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥2+14+𝑥Підстановка: 𝒕=𝒙+𝟏𝟐 12𝑐𝑜𝑠2𝜋2−𝑡+𝑏32𝑡+2𝑡2−5𝑏2𝑡2𝑏+3+𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑡2=2𝑏2+2𝑏−12 Функція від 𝑡 парна. Для того, щоб рівняння мало непарну кількість коренів (один – непарне число), необхідно, щоб 𝑡=0 було коренем рівняння.𝑏2+𝑏−6=0;  𝑏1=2; 𝑏2=−3 УВАГА! 𝑏≠−3 Відповідь: 𝑏=2 

Екстремальні значення функцій. Знайти всі 𝛾∈(4;16), для яких рівняння 1+𝑐𝑜𝑠2𝛾𝑥2+3𝜋8=13|𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥−𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥| має хоча б один розв'язок, який задовольняє умову 1≤𝑥≤2 .1+𝑐𝑜𝑠2𝛾𝑥2+3𝜋8≥1 (1) 13|𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥−𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥|≤130=1 (2)  

Рівняння має розв'язки коли в умовах (1) та (2) виконуються рівності. Отримаємо систему:𝑐𝑜𝑠2𝛾𝑥2+3𝜋8=0𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥−𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥=0⇒𝛾𝑥2+3𝜋8=𝜋2+𝜋𝑛,𝑛∈𝑍𝑥=14+𝑘,𝑘∈𝑍  З другого рівняння: 𝑥=54 В першому рівнянні: 𝛾=85𝜋𝑛+𝜋5, 𝑛∈𝑍При 𝑛=1:𝛾=95𝜋>4 При 𝑛=3:𝛾=5𝜋<5∙3,2=16 Відповідь: 𝛾∈95𝜋;175𝜋;5𝜋 

2010 Розв'язати систему5𝑐𝑜𝑠𝜋𝑦2=𝑥2−8𝑥+21𝑦+5𝑥−4=0 5𝑐𝑜𝑠𝜋𝑦2≤5 𝑥2−8𝑥+21=𝑥−42+5≥5 З другої умови 𝑥=4. З другого рівняння системи 𝑦=−16 cos−8𝜋=𝑐𝑜𝑠0=1 Відповідь: (4; -16) Розв'язати рівняння: 2𝑥2+7𝑥−9+sin𝜋𝑥+1=0 Обидва доданки невід'ємні, тому сума дорівнює нулю, коли обидва дорівнюють нулю.𝑥1=1:𝑠𝑖𝑛𝜋≠−1𝑥2=−92:𝑠𝑖𝑛−9𝜋2=−𝑠𝑖𝑛𝜋2=−1 Відповідь: 𝑥=−4,5 

(2011) Знайти найменше значення 𝑎, при якому має розв'язки рівняння 12𝑠𝑖𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥=6−5𝑎−2𝑎2 12𝑠𝑖𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥=sin⁡(𝑥+60°) Для існування розв'язків необхідно:            −1≤6−5𝑎−2𝑎2≤1 2𝑎2+5𝑎−7≤02𝑎2+5𝑎−5≥0  Корені другого рівняння: 𝑎1=−5−654 ; 𝑎2=−5+654 Відповідь: найменше значення – 3,5 1-3,5a1a2a

(2013) Знайдіть значення параметра 𝑎 , при якому корінь рівняння lg𝑠𝑖𝑛5𝜋𝑥=16+𝑎−𝑥 належить проміжку 32;2. lg𝑠𝑖𝑛5𝜋𝑥≤𝑙𝑔1=0;16+𝑎−𝑥≥0⇒ ⇒𝑠𝑖𝑛5𝜋𝑥=116+𝑎−𝑥=0⇒𝑥=110+25𝑛,𝑛∈𝑍𝑎=𝑥−16 32<110+25𝑛<2⇒72<𝑛<194⇒𝑛=4 𝑥=110+85=1710=1,7⇒𝑎=1,7−16=−14,3 Відповідь: - 14,3 

Графічний метод. Знайти кількість розв'язків рівняння 𝑥2−6𝑥+2=𝑎 в залежності від значень параметра. Будуємо графік функції y=𝑥2−6𝑥+2. Проводимо прямі 𝑦=𝑎 

Побудова множин𝑥+𝑦=𝑎 𝑥+𝑦+𝑥−𝑦=2𝑎 x0yaa-a-ax0yaa-a-a

(2008) Знайти суму тих значень параметра, при яких система 𝑥−12+𝑦=1(𝑥−𝑎)2+𝑦2=4 має один розв'язок  Будуємо множину 𝑥−12+𝑦=1 Рівняння (𝑥−𝑎)2+𝑦2=4 задає множину кіл, з центрами (𝑎;0) і радіусами 2. Дана система має один розв'язок, коли коло має одну спільну точку з побудованою множиною. Шукані значення параметра: 9, 11, 13, 15. Відповідь: 48 

2014. Знайти усі від'ємні значення параметра, при яких система 2𝑦2−4𝑦+4+3𝑥=11−𝑦25𝑥2−20𝑎𝑥=𝑦2−4𝑎2 має єдиний розв'язок  Перепишемо дану систему у вигляді: 3𝑥+2𝑦−2=11−𝑦(5𝑥−2𝑎)2−𝑦2=0 Розглядаємо окремо перше рівняння:1) 𝑥≥0𝑦≥23𝑥+2𝑦−4=11−𝑦 ; 𝑥≥0𝑦≥2𝑦=5−𝑥 2) 𝑥≥0𝑦<23𝑥+4−2𝑦=11−𝑦 ; 𝑥≥0𝑦<2𝑦=3𝑥−73) 𝑥<0𝑦≥0−3𝑥+2𝑦−4=11−𝑦 ; 𝑥<0𝑦≥0𝑦=𝑥+5 4) 𝑥<0𝑦<0−3𝑥+4−2𝑦=11−𝑦 ; 𝑥<0𝑦<0𝑦=−3𝑥−7 Друге рівняння запишемо у вигляді: 5𝑥−2𝑎−𝑦∙5𝑥−2𝑎+𝑦=0⇒𝑦=5𝑥−2𝑎𝑦=−5𝑥+2𝑎 - сукупність двох сімейств прямих. 

Отримані множини зобразимо у прямокутній декартовій системі координат. Система має єдиний розв’язок, коли графіки мають єдину спільну точку.1) ( -3 ; 2). Підставляємо координати цієї точки в рівняння функції 𝑦=5𝑥−2𝑎;        2=−15−2𝑎 , звідки 𝑎=−8,5 ;𝑎<02) ( 3 ; 2). Підставляємо координати цієї точки в рівняння функції 𝑦=−5𝑥+𝑎; 2=−15+2𝑎 звідки 𝑎=8,5 ;𝑎>0 – не розв’язок.3) ( 0 ; -7). Підставляємо координати цієї точки в рівняння функції 𝑦=5𝑥−2𝑎;−7=−2𝑎 , звідки 𝑎=3,5 ; 𝑎>0 – не розв’язок 4) ( 0 ; -7). Підставляємо координати цієї точки в рівняння функції 𝑦=−5𝑥+2𝑎; −7=2𝑎 звідки 𝑎=−3,5 ;𝑎<0. Сума від’ємних значень: -8,5 + (-3,5) = -12 Відповідь: -12 

Аналітичні методи

(2006) Розв’яжіть рівняння 2𝑡𝑔2𝑥+𝑐𝑡𝑔2𝑥+2+𝑎2=3𝑎(𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥), якщо 𝑥≠𝜋𝑛2 , 𝑛∈𝑍. (𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥)2=𝑡𝑔2𝑥+2𝑡𝑔𝑥∙𝑐𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔2𝑥=𝑡𝑔2𝑥+𝑐𝑡𝑔2𝑥+2 Нехай t=𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥 , тоді 𝑡2=𝑡𝑔2𝑥+𝑐𝑡𝑔2𝑥+2 2𝑡2−3𝑎𝑡+𝑎2=0 𝐷=(3𝑎)2−4∙2∙𝑎2=𝑎2 𝑡1=3𝑎−𝑎4=𝑎2 ; 𝑡2=3𝑎+𝑎4=𝑎1) 𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥=𝑎2 ∙2𝑡𝑔𝑥 2𝑡𝑔2𝑥−𝑎∙𝑡𝑔𝑥+2=0 𝑡𝑔𝑥=𝑎±𝑎2−164 , 𝑎≥4  2) 𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥=𝑎; 𝑡𝑔2𝑥−𝑎∙𝑡𝑔𝑥+1=0 𝑡𝑔𝑥=𝑎±𝑎2−42 , 𝑎≥2 Відповідь: якщо 𝑎∈−2;2, то 𝑥∈∅ ; якщо 𝑎∈−4;−2∪[2;4), то 𝑥1,2=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎±𝑎2−42+𝜋𝑛,𝑛∈𝑍; якщо 𝑎∈−∞;−4∪[4;∞), то 𝑥1,2=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎±𝑎2−42+𝜋𝑛, 𝑥3,4=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎±𝑎2−164+𝜋𝑛,𝑛∈𝑍;  

(2015) При яких значеннях параметра 𝑎 рівняння 𝑥2−2𝑎+1𝑥+6𝑎−3𝑡𝑔𝜋𝑥−1449𝑥2−84𝑥𝑎+36𝑎2=0 на проміжку [0; 1] має рівно два різні корені? Знаменник: 449𝑥2−84𝑥𝑎+36𝑎2=47𝑥−6𝑎2=|7𝑥−6𝑎| Розглянемо рівняння: 𝑡𝑔𝜋𝑥−1=0;𝑡𝑔𝜋𝑥=1;𝑥=14+𝑛, 𝑛∈𝑍. Корінь 𝑥=14 належить данному відрізку за умови 6𝑎−74≠0, 𝑎≠724 Квадратичне рівняння 𝑥2−2𝑎+1𝑥+6𝑎−3=0. 𝐷4=(𝑎+1)2−6𝑎+3=(𝑎−2)2 . 𝑥1=𝑎+1−𝑎+2=3; 𝑥2=𝑎+1+𝑎−2=2𝑎−1 Необхідно, щоб 0≤2𝑎−1≤1⇒12≤𝑎≤1. Обмеження: 2𝑎−1≠142𝑎−1≠67𝑎 ; 𝑎≠58𝑎≠78 Відповідь: 𝑎∈12 ; 58∪58 ; 78∪78 ; 1 

(2016) Розв’яжіть рівняння 𝑥2+4𝑎−4𝑥+4𝑎2−22𝑎5∙52𝑥−5𝑎+𝑥−5𝑎−1+5𝑥=0 в залежності від значень параметра 𝑎. 5∙52𝑥−5𝑎+𝑥−5𝑎−1+5𝑥≠0; 5∙52𝑥−5𝑎−1∙5𝑥−5𝑎−1≠0 ;𝐷=5𝑎−12+4∙5𝑎=5𝑎+12;5𝑥≠−15;5𝑥≠5𝑎−1⇒𝑥≠𝑎−1 Прирівнюємо до нуля чисельник:𝑥2+4𝑎−4𝑥+4𝑎2−22𝑎=0; 𝑥2+4𝑎−1𝑥+4𝑎2−8𝑎=0; 𝐷4=4(𝑎−1)2−4𝑎2+8𝑎=4 𝑥1=−2𝑎;−2𝑎≠𝑎−1;𝑎≠13 𝑥2=4−2𝑎;4−2𝑎≠𝑎−1;𝑎≠53 Відповідь: якщо 𝑎∈−∞;0, то 𝑥∈∅ ; якщо 𝑎=13 , то 𝑥=4−2𝑎; якщо 𝑎=53 , то 𝑥=−2𝑎; якщо 𝑎∈[0; 13∪13;53∪53;∞, то 𝑥1=−2𝑎;𝑥2=4−2𝑎 

(2017 пробне) Розв’яжіть рівняння 3𝑥2−6𝑎𝑥−𝑎+2𝑙𝑜𝑔2(𝑥−𝑎)𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥+1−1=0 залежно від значень параметра 𝑎. ОДЗ: 𝑥−𝑎>0cos𝜋𝑥≠0; 𝑥>𝑎𝑥≠12+𝑛,𝑛∈𝑍3𝑥2−6𝑎𝑥−𝑎+2𝑙𝑜𝑔2𝑥−𝑎=0 3𝑥2−6𝑎−1𝑥−2𝑎=0 𝐷=(6𝑎−1)2+12𝑎=(6𝑎+1)2 𝑥1=−13 ⇒𝑎<−13 ;𝑎≠12−𝑛,𝑛∈𝑁𝑥2=2𝑎⇒𝑎>0𝑎≠14+𝑛2,𝑛∈𝑁∪{0} Відповідь: якщо 𝑎∈(−∞;−13\12−𝑛, 𝑛∈𝑁, то 𝑥=−13 ; якщо 𝑎∈0;∞∖14+𝑛2,𝑛∈𝑁∪0, то 𝑥=2𝑎;якщо −13;0∪14+𝑛2,𝑛∈𝑁∪0, то 𝑥∈∅ 

(2014) При якому найбільшому значенні параметра система 2𝑎−1𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=2𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑎−1𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑎+1 має безліч розв'язків ? 𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑢;𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑣;𝑢,𝑣∈[−1;1]!!! 𝑢2+𝑣2=12𝑎−1𝑢+𝑣=2 ∙(2𝑎−1)𝑎𝑢+2𝑎−1𝑣=𝑎+1(2𝑎−1)2𝑢−𝑎𝑢=3𝑎−3;𝑢=3(𝑎−1)(𝑎−1)(4𝑎−1) Якщо 𝑎=1, то з першого рівняння системи маємо: 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=2 немає розв'язків  

𝑢=34𝑎−1;𝑣=2−32𝑎−14𝑎−1=2𝑎+14𝑎−134𝑎−12+2𝑎+14𝑎−12=1;4𝑎2+4𝑎+10=16𝑎2−8𝑎+1;12𝑎2−12𝑎−9=0;4𝑎2−4𝑎−3=0;𝑎1=−12; 𝑎2=112 2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=21,5𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥=2,5; 5𝑠𝑖𝑛𝑥+2,5𝑐𝑜𝑠𝑥=53𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑐𝑜𝑠𝑥=5;2𝑠𝑖𝑛𝑥−1,5𝑐𝑜𝑠𝑥=0;𝑡𝑔𝑥=34;𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔34+𝜋𝑛,𝑛∈𝑍Відповідь: 1,5 

При яких значеннях параметра корені рівняння 𝑥2−2𝑎+1𝑥−3𝑎2+7𝑎−2=0 належать відрізку [-2 ; 7]?  𝐷=(2𝑎+1)2−4∙−3𝑎2+7𝑎−2=16𝑎2−24𝑎+9=(4𝑎−3)2 𝑥1=2𝑎+1−4𝑎+32=−𝑎+2 ;𝑥2=2𝑎+1+4𝑎−32=3𝑎−1 −2≤−𝑎+2≤7−2≤3𝑎−1≤7 ;  −5≤𝑎≤4−13≤𝑎≤83 Відповідь: 𝑎∈−13;83 

При яких значеннях параметра корені рівняння 𝑥2−5𝑎−3𝑥+6𝑎2−4𝑎−3,75=0 належать відрізку [-2 ; 7]?  𝐷=(5𝑎−3)2−4∙6𝑎2−4𝑎−3,75=𝑎2−14𝑎+24𝐷≥0𝑚<𝑥0<𝑛𝑓𝑚>0𝑓𝑛>0 

𝑎2−14𝑎+24≥0−2<5𝑎−32<74+25𝑎−3+6𝑎2−4𝑎−3,75>049−75𝑎−3+6𝑎2−4𝑎−3,75>0   ;  (𝑎−2)(𝑎−12)≥0−45<𝑎<1756𝑎2+6𝑎−5,75>06𝑎2−39𝑎+66,25>0 Для третьої нерівності: 𝐷4=9+6∙5,75=43,5 . Корені відповідного квадратного рівняння: 𝑎1=−3−43,56<−45 ;𝑎2=−3+43,56<2 Для четвертої нерівності: 𝐷=392−6∙265=1521−1590<0 Відповідь: 𝑎∈−3+43,56 ;2 

Розв’язати рівняння: 𝑥2−4=𝑥+4 Підносимо до квадрату: 𝑥4−2𝑥2∙4+42=𝑥+4 42−2𝑥2+1∙4+𝑥4−𝑥=0 - квадратне відносно числа 4𝐷=2𝑥2+12−4∙𝑥4−𝑥=4𝑥2+4𝑥+1=(2𝑥+1)2 4=2𝑥2+1+2𝑥+12=𝑥2+𝑥+1 4=2𝑥2+1−2𝑥−12=𝑥2−𝑥 𝑥2+𝑥−3=0𝑥2−𝑥−4=0 ; 𝑥1=−1−132 ;𝑥2=−1+132𝑥3=1−172 ; 𝑥4=1+172 

Необхідно: 𝑥≥20<−1+132<−1+42<2𝑥2 - не корінь2) 1−172=17−12<5−12=2𝑥3 - не корінь. Відповідь: 𝑥1=−1−132 ;𝑥2=1+172