Презентація "Задачі з параметрами"

Про матеріал
Презентація містить приклади основних методів розв'язування задач з параметрами: графічний, використання властивостей функцій. Розглянуто завдання ІІІ частини ЗНО
Зміст слайдів
Номер слайду 1

Костюкевич П. П. НВК: ЗОШ №34 –економіко-правовий ліцей «Сучасник» м. Кропивницький. Задачі з параметрами

Номер слайду 2

Область визначення. Розв'язати рівняння: 𝑥2𝑥2−11−𝑥2=𝑎 Розв'язання: 𝑥≤1 – область визначення тригонометричних функцій 𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥,𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥 Підстановка: 𝒙=𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝑡∈[0;𝜋]𝑐𝑜𝑠𝑡∙2𝑐𝑜𝑠2𝑡−11−𝑐𝑜𝑠2𝑡=𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑡∙𝑐𝑜𝑠2𝑡∙𝑠𝑖𝑛𝑡=𝑎 ∙4 1−𝑐𝑜𝑠2𝑡=𝑠𝑖𝑛𝑡=𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑡∈[0;𝜋]𝑠𝑖𝑛4𝑡=4𝑎⇒𝑎∈−14 ;14 

Номер слайду 3

𝑎=0:𝑠𝑖𝑛4𝑡=0⇒𝑡=𝜋𝑛4,𝑛∈{0,1,2,3,4} 𝑥1=𝑐𝑜𝑠0=1; 𝑥2=𝑐𝑜𝑠𝜋4=22;𝑥3=𝑐𝑜𝑠𝜋2=0; 𝑥4=𝑐𝑜𝑠3𝜋4=−22; 𝑥5=𝑐𝑜𝑠𝜋=−1 2) 𝑎∈−14;0):𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑎<0. Необхідно: 0≤−1𝑛∙14𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑎+𝜋𝑛4≤𝜋⇒𝑛∈{1,2,3,4}3) 𝑎∈(0;14:𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑎>0. Необхідно: 0≤−1𝑛∙14𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑎+𝜋𝑛4≤𝜋⇒𝑛∈{0,1,2,3}Відповідь: якщо 𝑎∈(−∞;−14∪14;∞),то 𝑥∈∅,якщо 𝑎∈−14;0), то 𝑥=𝑐𝑜𝑠−1𝑛∙14𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑎+𝜋𝑛4,𝑛∈{1,2,3,4} ;якщо 𝑎∈(0;14то 𝑥=𝑐𝑜𝑠−1𝑛∙14𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛4𝑎+𝜋𝑛4,𝑛∈{0,1,2,3};якщо 𝑎=0, то 𝑥∈−1;−22;0;22;1 

Номер слайду 4

Єдиність розв’язку𝑦2−2𝑎+1𝑦+𝑎2+𝑎−2=0𝑥−𝑎2+𝑦2+(𝑥−𝑎)2+(𝑦−3)2=3 Розглянемо точки: 𝐴𝑎;0, 𝐵𝑎;3, 𝑂(𝑥;𝑦). Перший корінь – це відстань 𝐴𝑂, другий – відстань 𝐵𝑂. 0≤𝑦≤3 В першому рівнянні: 𝑦1+𝑦2=2𝑎+1𝑦1∙𝑦2=(𝑎−1)(𝑎+2) 

Номер слайду 5

Необхідно, щоб один із коренів належав відрізку [0; 3], а інший – ні.1) 0≤𝑎+2≤3𝑎−1<0;𝑎−1>3𝑎∈[−2;1) 2) 0≤𝑎−1≤3𝑎+2<0;𝑎+2>3 𝑎∈(1;4] Відповідь: 𝑎∈[−2;1)∪(1;4] 

Номер слайду 6

12𝑐𝑜𝑠2𝜋−12−𝑥+𝑏31+2𝑥+2𝑥2+12+2𝑥− −52𝑏𝑥+𝑏24𝑏+12=2𝑏2+2𝑏−12−𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥2+14+𝑥Підстановка: 𝒕=𝒙+𝟏𝟐 12𝑐𝑜𝑠2𝜋2−𝑡+𝑏32𝑡+2𝑡2−5𝑏2𝑡2𝑏+3+𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑡2=2𝑏2+2𝑏−12 Функція від 𝑡 парна. Для того, щоб рівняння мало непарну кількість коренів (один – непарне число), необхідно, щоб 𝑡=0 було коренем рівняння.𝑏2+𝑏−6=0;  𝑏1=2; 𝑏2=−3 УВАГА! 𝑏≠−3 Відповідь: 𝑏=2 

Номер слайду 7

Екстремальні значення функцій. Знайти всі 𝛾∈(4;16), для яких рівняння 1+𝑐𝑜𝑠2𝛾𝑥2+3𝜋8=13|𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥−𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥| має хоча б один розв'язок, який задовольняє умову 1≤𝑥≤2 .1+𝑐𝑜𝑠2𝛾𝑥2+3𝜋8≥1 (1) 13|𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥−𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥|≤130=1 (2)  

Номер слайду 8

Рівняння має розв'язки коли в умовах (1) та (2) виконуються рівності. Отримаємо систему:𝑐𝑜𝑠2𝛾𝑥2+3𝜋8=0𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥−𝑠𝑖𝑛𝜋𝑥=0⇒𝛾𝑥2+3𝜋8=𝜋2+𝜋𝑛,𝑛∈𝑍𝑥=14+𝑘,𝑘∈𝑍  З другого рівняння: 𝑥=54 В першому рівнянні: 𝛾=85𝜋𝑛+𝜋5, 𝑛∈𝑍При 𝑛=1:𝛾=95𝜋>4 При 𝑛=3:𝛾=5𝜋<5∙3,2=16 Відповідь: 𝛾∈95𝜋;175𝜋;5𝜋 

Номер слайду 9

2010 Розв'язати систему5𝑐𝑜𝑠𝜋𝑦2=𝑥2−8𝑥+21𝑦+5𝑥−4=0 5𝑐𝑜𝑠𝜋𝑦2≤5 𝑥2−8𝑥+21=𝑥−42+5≥5 З другої умови 𝑥=4. З другого рівняння системи 𝑦=−16 cos−8𝜋=𝑐𝑜𝑠0=1 Відповідь: (4; -16) Розв'язати рівняння: 2𝑥2+7𝑥−9+sin𝜋𝑥+1=0 Обидва доданки невід'ємні, тому сума дорівнює нулю, коли обидва дорівнюють нулю.𝑥1=1:𝑠𝑖𝑛𝜋≠−1𝑥2=−92:𝑠𝑖𝑛−9𝜋2=−𝑠𝑖𝑛𝜋2=−1 Відповідь: 𝑥=−4,5 

Номер слайду 10

(2011) Знайти найменше значення 𝑎, при якому має розв'язки рівняння 12𝑠𝑖𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥=6−5𝑎−2𝑎2 12𝑠𝑖𝑛𝑥+3𝑐𝑜𝑠𝑥=sin⁡(𝑥+60°) Для існування розв'язків необхідно:            −1≤6−5𝑎−2𝑎2≤1 2𝑎2+5𝑎−7≤02𝑎2+5𝑎−5≥0  Корені другого рівняння: 𝑎1=−5−654 ; 𝑎2=−5+654 Відповідь: найменше значення – 3,5 1-3,5a1a2a

Номер слайду 11

(2013) Знайдіть значення параметра 𝑎 , при якому корінь рівняння lg𝑠𝑖𝑛5𝜋𝑥=16+𝑎−𝑥 належить проміжку 32;2. lg𝑠𝑖𝑛5𝜋𝑥≤𝑙𝑔1=0;16+𝑎−𝑥≥0⇒ ⇒𝑠𝑖𝑛5𝜋𝑥=116+𝑎−𝑥=0⇒𝑥=110+25𝑛,𝑛∈𝑍𝑎=𝑥−16 32<110+25𝑛<2⇒72<𝑛<194⇒𝑛=4 𝑥=110+85=1710=1,7⇒𝑎=1,7−16=−14,3 Відповідь: - 14,3 

Номер слайду 12

Графічний метод. Знайти кількість розв'язків рівняння 𝑥2−6𝑥+2=𝑎 в залежності від значень параметра. Будуємо графік функції y=𝑥2−6𝑥+2. Проводимо прямі 𝑦=𝑎 

Номер слайду 13

Побудова множин𝑥+𝑦=𝑎 𝑥+𝑦+𝑥−𝑦=2𝑎 x0yaa-a-ax0yaa-a-a

Номер слайду 14

(2008) Знайти суму тих значень параметра, при яких система 𝑥−12+𝑦=1(𝑥−𝑎)2+𝑦2=4 має один розв'язок  Будуємо множину 𝑥−12+𝑦=1 Рівняння (𝑥−𝑎)2+𝑦2=4 задає множину кіл, з центрами (𝑎;0) і радіусами 2. Дана система має один розв'язок, коли коло має одну спільну точку з побудованою множиною. Шукані значення параметра: 9, 11, 13, 15. Відповідь: 48 

Номер слайду 15

2014. Знайти усі від'ємні значення параметра, при яких система 2𝑦2−4𝑦+4+3𝑥=11−𝑦25𝑥2−20𝑎𝑥=𝑦2−4𝑎2 має єдиний розв'язок  Перепишемо дану систему у вигляді: 3𝑥+2𝑦−2=11−𝑦(5𝑥−2𝑎)2−𝑦2=0 Розглядаємо окремо перше рівняння:1) 𝑥≥0𝑦≥23𝑥+2𝑦−4=11−𝑦 ; 𝑥≥0𝑦≥2𝑦=5−𝑥 2) 𝑥≥0𝑦<23𝑥+4−2𝑦=11−𝑦 ; 𝑥≥0𝑦<2𝑦=3𝑥−73) 𝑥<0𝑦≥0−3𝑥+2𝑦−4=11−𝑦 ; 𝑥<0𝑦≥0𝑦=𝑥+5 4) 𝑥<0𝑦<0−3𝑥+4−2𝑦=11−𝑦 ; 𝑥<0𝑦<0𝑦=−3𝑥−7 Друге рівняння запишемо у вигляді: 5𝑥−2𝑎−𝑦∙5𝑥−2𝑎+𝑦=0⇒𝑦=5𝑥−2𝑎𝑦=−5𝑥+2𝑎 - сукупність двох сімейств прямих. 

Номер слайду 16

Отримані множини зобразимо у прямокутній декартовій системі координат. Система має єдиний розв’язок, коли графіки мають єдину спільну точку.1) ( -3 ; 2). Підставляємо координати цієї точки в рівняння функції 𝑦=5𝑥−2𝑎;        2=−15−2𝑎 , звідки 𝑎=−8,5 ;𝑎<02) ( 3 ; 2). Підставляємо координати цієї точки в рівняння функції 𝑦=−5𝑥+𝑎; 2=−15+2𝑎 звідки 𝑎=8,5 ;𝑎>0 – не розв’язок.3) ( 0 ; -7). Підставляємо координати цієї точки в рівняння функції 𝑦=5𝑥−2𝑎;−7=−2𝑎 , звідки 𝑎=3,5 ; 𝑎>0 – не розв’язок 4) ( 0 ; -7). Підставляємо координати цієї точки в рівняння функції 𝑦=−5𝑥+2𝑎; −7=2𝑎 звідки 𝑎=−3,5 ;𝑎<0. Сума від’ємних значень: -8,5 + (-3,5) = -12 Відповідь: -12 

Номер слайду 17

Аналітичні методи

Номер слайду 18

(2006) Розв’яжіть рівняння 2𝑡𝑔2𝑥+𝑐𝑡𝑔2𝑥+2+𝑎2=3𝑎(𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥), якщо 𝑥≠𝜋𝑛2 , 𝑛∈𝑍. (𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥)2=𝑡𝑔2𝑥+2𝑡𝑔𝑥∙𝑐𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔2𝑥=𝑡𝑔2𝑥+𝑐𝑡𝑔2𝑥+2 Нехай t=𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥 , тоді 𝑡2=𝑡𝑔2𝑥+𝑐𝑡𝑔2𝑥+2 2𝑡2−3𝑎𝑡+𝑎2=0 𝐷=(3𝑎)2−4∙2∙𝑎2=𝑎2 𝑡1=3𝑎−𝑎4=𝑎2 ; 𝑡2=3𝑎+𝑎4=𝑎1) 𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥=𝑎2 ∙2𝑡𝑔𝑥 2𝑡𝑔2𝑥−𝑎∙𝑡𝑔𝑥+2=0 𝑡𝑔𝑥=𝑎±𝑎2−164 , 𝑎≥4  2) 𝑡𝑔𝑥+𝑐𝑡𝑔𝑥=𝑎; 𝑡𝑔2𝑥−𝑎∙𝑡𝑔𝑥+1=0 𝑡𝑔𝑥=𝑎±𝑎2−42 , 𝑎≥2 Відповідь: якщо 𝑎∈−2;2, то 𝑥∈∅ ; якщо 𝑎∈−4;−2∪[2;4), то 𝑥1,2=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎±𝑎2−42+𝜋𝑛,𝑛∈𝑍; якщо 𝑎∈−∞;−4∪[4;∞), то 𝑥1,2=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎±𝑎2−42+𝜋𝑛, 𝑥3,4=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑎±𝑎2−164+𝜋𝑛,𝑛∈𝑍;  

Номер слайду 19

(2015) При яких значеннях параметра 𝑎 рівняння 𝑥2−2𝑎+1𝑥+6𝑎−3𝑡𝑔𝜋𝑥−1449𝑥2−84𝑥𝑎+36𝑎2=0 на проміжку [0; 1] має рівно два різні корені? Знаменник: 449𝑥2−84𝑥𝑎+36𝑎2=47𝑥−6𝑎2=|7𝑥−6𝑎| Розглянемо рівняння: 𝑡𝑔𝜋𝑥−1=0;𝑡𝑔𝜋𝑥=1;𝑥=14+𝑛, 𝑛∈𝑍. Корінь 𝑥=14 належить данному відрізку за умови 6𝑎−74≠0, 𝑎≠724 Квадратичне рівняння 𝑥2−2𝑎+1𝑥+6𝑎−3=0. 𝐷4=(𝑎+1)2−6𝑎+3=(𝑎−2)2 . 𝑥1=𝑎+1−𝑎+2=3; 𝑥2=𝑎+1+𝑎−2=2𝑎−1 Необхідно, щоб 0≤2𝑎−1≤1⇒12≤𝑎≤1. Обмеження: 2𝑎−1≠142𝑎−1≠67𝑎 ; 𝑎≠58𝑎≠78 Відповідь: 𝑎∈12 ; 58∪58 ; 78∪78 ; 1 

Номер слайду 20

(2016) Розв’яжіть рівняння 𝑥2+4𝑎−4𝑥+4𝑎2−22𝑎5∙52𝑥−5𝑎+𝑥−5𝑎−1+5𝑥=0 в залежності від значень параметра 𝑎. 5∙52𝑥−5𝑎+𝑥−5𝑎−1+5𝑥≠0; 5∙52𝑥−5𝑎−1∙5𝑥−5𝑎−1≠0 ;𝐷=5𝑎−12+4∙5𝑎=5𝑎+12;5𝑥≠−15;5𝑥≠5𝑎−1⇒𝑥≠𝑎−1 Прирівнюємо до нуля чисельник:𝑥2+4𝑎−4𝑥+4𝑎2−22𝑎=0; 𝑥2+4𝑎−1𝑥+4𝑎2−8𝑎=0; 𝐷4=4(𝑎−1)2−4𝑎2+8𝑎=4 𝑥1=−2𝑎;−2𝑎≠𝑎−1;𝑎≠13 𝑥2=4−2𝑎;4−2𝑎≠𝑎−1;𝑎≠53 Відповідь: якщо 𝑎∈−∞;0, то 𝑥∈∅ ; якщо 𝑎=13 , то 𝑥=4−2𝑎; якщо 𝑎=53 , то 𝑥=−2𝑎; якщо 𝑎∈[0; 13∪13;53∪53;∞, то 𝑥1=−2𝑎;𝑥2=4−2𝑎 

Номер слайду 21

(2017 пробне) Розв’яжіть рівняння 3𝑥2−6𝑎𝑥−𝑎+2𝑙𝑜𝑔2(𝑥−𝑎)𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥+1−1=0 залежно від значень параметра 𝑎. ОДЗ: 𝑥−𝑎>0cos𝜋𝑥≠0; 𝑥>𝑎𝑥≠12+𝑛,𝑛∈𝑍3𝑥2−6𝑎𝑥−𝑎+2𝑙𝑜𝑔2𝑥−𝑎=0 3𝑥2−6𝑎−1𝑥−2𝑎=0 𝐷=(6𝑎−1)2+12𝑎=(6𝑎+1)2 𝑥1=−13 ⇒𝑎<−13 ;𝑎≠12−𝑛,𝑛∈𝑁𝑥2=2𝑎⇒𝑎>0𝑎≠14+𝑛2,𝑛∈𝑁∪{0} Відповідь: якщо 𝑎∈(−∞;−13\12−𝑛, 𝑛∈𝑁, то 𝑥=−13 ; якщо 𝑎∈0;∞∖14+𝑛2,𝑛∈𝑁∪0, то 𝑥=2𝑎;якщо −13;0∪14+𝑛2,𝑛∈𝑁∪0, то 𝑥∈∅ 

Номер слайду 22

(2014) При якому найбільшому значенні параметра система 2𝑎−1𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=2𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑎−1𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑎+1 має безліч розв'язків ? 𝑠𝑖𝑛𝑥=𝑢;𝑐𝑜𝑠𝑥=𝑣;𝑢,𝑣∈[−1;1]!!! 𝑢2+𝑣2=12𝑎−1𝑢+𝑣=2 ∙(2𝑎−1)𝑎𝑢+2𝑎−1𝑣=𝑎+1(2𝑎−1)2𝑢−𝑎𝑢=3𝑎−3;𝑢=3(𝑎−1)(𝑎−1)(4𝑎−1) Якщо 𝑎=1, то з першого рівняння системи маємо: 𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=2 немає розв'язків  

Номер слайду 23

𝑢=34𝑎−1;𝑣=2−32𝑎−14𝑎−1=2𝑎+14𝑎−134𝑎−12+2𝑎+14𝑎−12=1;4𝑎2+4𝑎+10=16𝑎2−8𝑎+1;12𝑎2−12𝑎−9=0;4𝑎2−4𝑎−3=0;𝑎1=−12; 𝑎2=112 2𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥=21,5𝑠𝑖𝑛𝑥+2𝑐𝑜𝑠𝑥=2,5; 5𝑠𝑖𝑛𝑥+2,5𝑐𝑜𝑠𝑥=53𝑠𝑖𝑛𝑥+4𝑐𝑜𝑠𝑥=5;2𝑠𝑖𝑛𝑥−1,5𝑐𝑜𝑠𝑥=0;𝑡𝑔𝑥=34;𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔34+𝜋𝑛,𝑛∈𝑍Відповідь: 1,5 

Номер слайду 24

При яких значеннях параметра корені рівняння 𝑥2−2𝑎+1𝑥−3𝑎2+7𝑎−2=0 належать відрізку [-2 ; 7]?  𝐷=(2𝑎+1)2−4∙−3𝑎2+7𝑎−2=16𝑎2−24𝑎+9=(4𝑎−3)2 𝑥1=2𝑎+1−4𝑎+32=−𝑎+2 ;𝑥2=2𝑎+1+4𝑎−32=3𝑎−1 −2≤−𝑎+2≤7−2≤3𝑎−1≤7 ;  −5≤𝑎≤4−13≤𝑎≤83 Відповідь: 𝑎∈−13;83 

Номер слайду 25

При яких значеннях параметра корені рівняння 𝑥2−5𝑎−3𝑥+6𝑎2−4𝑎−3,75=0 належать відрізку [-2 ; 7]?  𝐷=(5𝑎−3)2−4∙6𝑎2−4𝑎−3,75=𝑎2−14𝑎+24𝐷≥0𝑚<𝑥0<𝑛𝑓𝑚>0𝑓𝑛>0 

Номер слайду 26

𝑎2−14𝑎+24≥0−2<5𝑎−32<74+25𝑎−3+6𝑎2−4𝑎−3,75>049−75𝑎−3+6𝑎2−4𝑎−3,75>0   ;  (𝑎−2)(𝑎−12)≥0−45<𝑎<1756𝑎2+6𝑎−5,75>06𝑎2−39𝑎+66,25>0 Для третьої нерівності: 𝐷4=9+6∙5,75=43,5 . Корені відповідного квадратного рівняння: 𝑎1=−3−43,56<−45 ;𝑎2=−3+43,56<2 Для четвертої нерівності: 𝐷=392−6∙265=1521−1590<0 Відповідь: 𝑎∈−3+43,56 ;2 

Номер слайду 27

Розв’язати рівняння: 𝑥2−4=𝑥+4 Підносимо до квадрату: 𝑥4−2𝑥2∙4+42=𝑥+4 42−2𝑥2+1∙4+𝑥4−𝑥=0 - квадратне відносно числа 4𝐷=2𝑥2+12−4∙𝑥4−𝑥=4𝑥2+4𝑥+1=(2𝑥+1)2 4=2𝑥2+1+2𝑥+12=𝑥2+𝑥+1 4=2𝑥2+1−2𝑥−12=𝑥2−𝑥 𝑥2+𝑥−3=0𝑥2−𝑥−4=0 ; 𝑥1=−1−132 ;𝑥2=−1+132𝑥3=1−172 ; 𝑥4=1+172 

Номер слайду 28

Необхідно: 𝑥≥20<−1+132<−1+42<2𝑥2 - не корінь2) 1−172=17−12<5−12=2𝑥3 - не корінь. Відповідь: 𝑥1=−1−132 ;𝑥2=1+172  

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 2
Оцінки та відгуки
  1. Пономаренко Анатолій
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
  2. Котовський Євгеній
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
pptx
Додано
13 лютого 2019
Переглядів
7385
Оцінка розробки
5.0 (2 відгука)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку