Презентація "ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДЛЯ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ НА ОПТИМІЗАЦІЮ"

Застосування похідноїЗадачі на оптимізацію

Ще у XIX ст. російський математик Пафнутій Львович Чебишев наголошував, що особливу важливість мають ті методи науки, які дозволяють розв'язувати задачу, спільну для всієї практичної діяльності людини: як вчинити зі своїми засобами (коштами) для досягнення найбільшої вигоди.

У наш час з такими проблемами стикаються представники різних спеціальностей:інженери-технологи проектують виробництво так, щоб продукції випускалося якнайбільше;конструктори літальних апаратів розробляють прилади з якомога меншою масою;економісти намагаються спланувати зв'язки заводу з джерелами сировини так, щоб транспортні витрати виявились мінімальними, і т. д.

Задачі такого типу носять загальну назву —задачі на оптимізацію(від латин. optimum — найкращий).

Мета: Формувати вміння застосувати знання, отримані протягом вивчення теми “Застосування похідної", при розв’язуванні задач прикладного характеру.

У найпростіших задачах на оптимізацію маємо справу з двома величинами, одна з яких залежить від іншої, причому необхідно знайти таке значення другої величини, при якому перша досягає свого найменшого або найбільшого значення (найкращого за даних умов).

Задачі на оптимізацію розв'язують за схемою, що складається з трьох етапів математичного моделювання: 1) Складання математичної моделі; 2) робота з моделлю; 3) відповідь на запитання задачі.

І етап (складання математичної моделі)Виділіть величину оптимізації, проаналізувавши умову задачі (величину, про найбільше або найменше значення якої йде мова). Позначте її буквою у (або S, V, R, t — залежно від умови, змісту). Прийміть одну з невідомих величин, які задіяні в задачі, через котру порівняно легко можна виразити величину оптимізації, за незалежну змінну. Позначте її буквою х (або якоюсь іншою). Визначте реальні границі зміни незалежної змінної (відповідно до умов задачі), тобто область визначення X для шуканої величини оптимізації. Виходячи з умов задачі, виразіть у через х. Математична модель являє собою функцію y = f(x) з областю визначення X, яку знайшли на кроці 2.

II етап (робота з моделлю)Використовуючи алгоритм, знайдіть утіn або уmах залежно від того, що потрібно в умові задачі, для функції y = f(x), x є X. III етап (відповідь на питання задачі)Дайте конкретну відповідь на питання задачі, спираючись на результати, отримані на II етапі.

Задача Відкритий бак з квадратною основою повинен мати об’єм 32м3. За яких розмірів на його виготовлення піде найменше матеріалу?

хх. HV = 32

Нехай сторона основи бака дорівнює х м (х>0). Тоді площа основи – х2 м2. V = Sосн . H = x2 . H; H = V/x2;S = x2 + 4x . H = x2 + 4x . V/x2 = x2 + 4 V/x;S = x2 + 128/x;S ’ = 2x – 128/x2 = (2x3 – 128)/x2 = 2(x3 – 64)/x2;S ’ = 0, якщо x3 – 64 = 0;(х – 4)(х2 + 4х + 16) = 0;х2 + 4х + 16 > 0, отже х = 44min+

Відповідь: Площа поверхні бака буде мінімальною, якщо в його основі лежатиме квадрат зі стороною 4 м. H = 32/42 = 32/16 = 2 (м)Найменше матеріалу піде на виготовлення бака розмірами 4 х 4 х 2.

Групова робота. Прямокутну ділянку землі треба обгородити сіткою так, щоб її площа дорівнювала 400 м2 і на огорожу пішло найменше погонних метрів сітки. Обчисліть периметр такої ділянки. Прямокутну ділянку землі треба обгородити сіткою довжиною 60 м так, щоб її площа була найбільшою. Обчисліть значення цієї площі. Серед усіх рівнобедрених трикутників з бічною стороною 5 см визначте трикутник з найбільшою площею і обчисліть цю площу. Розв’яжіть задачі

Відповіді:80 м225 м212,5 см2

Домашнє завдання: Розв’язати задачі двох інших груп.