Прикладні задачі з математики

Прикладні задачі з математики за темами. Степінь із цілим показником. Властивості степеня із цілим показником. Стандартний вигляд числа. Функція y=k/x, її графік і властивості

Задача-1: Енергоспоживання міста. У місті Харкові планують встановити нові енергоефективні світлодіодні ліхтарі для вуличного освітлення. Потужність одного старого ліхтаря становить 2³ Вт, а нового світлодіодного — 2⁻¹ × 2⁴ Вт. На головній вулиці міста встановлено 2⁴ старих ліхтарів, які працюють 10³ годин на рік. Після модернізації кількість ліхтарів збільшиться до 3 × 2⁴ одиниць. Визначте: Потужність одного нового ліхтаря. Річне споживання електроенергії старими ліхтарями. Річне споживання електроенергії новими ліхтарями. Економію електроенергії за рік у к. Вт·год

Детальний розв'язок:1) Потужність одного нового ліхтаря: Потужність нового ліхтаря = 2⁻¹ × 2⁴ Вт Використовуємо правило: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 2⁻¹ × 2⁴ = 2⁻¹⁺⁴ = 2³ = 8 Вт2) Річне споживання старими ліхтарями: Потужність одного старого ліхтаря: 2³ = 8 Вт. Кількість старих ліхтарів: 2⁴ = 16 шт. Час роботи: 10³ = 1000 год/рік. Споживання = 2³ × 2⁴ × 10³ = 8 × 16 × 1000 = 128 000 Вт·год = 128 к. Вт·год3) Річне споживання новими ліхтарями: Потужність одного нового ліхтаря: 8 Вт (з п.1)Кількість нових ліхтарів: 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48 шт. Час роботи: 10³ = 1000 год/рік. Споживання = 8 × 48 × 1000 = 384 000 Вт·год = 384 к. Вт·год4) Економія електроенергії: Оскільки нові ліхтарі споживають більше через збільшення кількості, економії немає. Перевитрата = 384 - 128 = 256 к. Вт·год на рік. Висновок: Незважаючи на однакову потужність окремих ліхтарів, збільшення їх кількості у 3 рази призводить до зростання споживання електроенергії на 256 к. Вт·год на рік.

ЗАДАЧА-2: Українські прапори на святкуванніНа День Незалежності України місто планує прикрасити головну вулицю прапорами. Для цього потрібно розрахувати кількість тканини. За Умови: Довжина головної вулиці становить 2³ × 5² метрів. Прапори розміщують через кожні 2² метри. Кожен прапор має розміри: довжина 3² × 2⁻¹ метра, ширина 2³ × 3⁻¹ метра. Також планують встановити великий прапор на площі розміром 2⁴ × 3² на 2³ × 3¹ метрів. Знайти загальну площу тканини, необхідну для всіх прапорів.

РОЗВ'ЯЗОК: Крок 1: Знаходимо довжину вулиці 2³ × 5² = 8 × 25 = 200 метрів. Крок 2: Визначаємо кількість прапорів на вулиці Відстань між прапорами: 2² = 4 метри Кількість прапорів: 200 ÷ 4 = 50 прапорів. Крок 3: Розраховуємо розміри одного прапора Довжина: 3² × 2⁻¹ = 9 × ½ = 4,5 метра Ширина: 2³ × 3⁻¹ = 8 × ⅓ = 8/3 метра. Крок 4: Знаходимо площу одного прапора S₁ = 4,5 × 8/3 = 4,5 × 8/3 = 36/3 = 12 м²Крок 5: Розраховуємо площу великого прапора Довжина: 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144 метри Ширина: 2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24 метри S₂ = 144 × 24 = 3456 м²Крок 6: Знаходимо загальну площу тканини Площа малих прапорів: 50 × 12 = 600 м² Загальна площа: 600 + 3456 = 4056 м²Відповідь: Для прикрашення вулиці до Дня Незалежності України потрібно 4056 м² тканини.

задача-3: Задача про швидкість світла та відстань до Сонця. У природі світло від Сонця долає відстань до Землі приблизно за 8 хвилин і 20 секунд. Швидкість світла становить 300,000,000 м/с (метрів за секунду), а відстань від Землі до Сонця дорівнює приблизно 150,000,000,000 м. Завдання: Запиши швидкість світла у стандартному виглядіЗапиши відстань від Землі до Сонця у стандартному виглядіОбчисли, скільки секунд потрібно світлу, щоб дістатися від Сонця до Землі

Детальний розв'язок:1) Швидкість світла у стандартному вигляді: 300,000,000 м/с = 3 × 10⁸ м/с. Пояснення: Переносимо кому на 8 позицій ліворуч, тому показник степеня 8.2) Відстань у стандартному вигляді: 150,000,000,000 м = 1.5 × 10¹¹ м. Пояснення: Переносимо кому на 11 позицій ліворуч, тому показник степеня 11.3) Час подорожі світла: Час = Відстань ÷ Швидкість Час = (1.5 × 10¹¹) ÷ (3 × 10⁸) = (1.5 ÷ 3) × (10¹¹ ÷ 10⁸) = 0.5 × 10³ = 500 секунд. Перевірка: 500 секунд = 8 хвилин 20 секунд ✓Висновок: Світло від Сонця дійсно долає відстань до Землі за 500 секунд, що підтверджує наші розрахунки зі стандартним виглядом чисел!

Задача- 4: Швидкість та час руху. Автомобіль проїжджає відстань 240 км. Залежність часу руху t (у годинах) від швидкості v (у км/год) описується функцією:t = 240/v. Завдання: Побудуйте графік функції t = 240/v. Знайдіть час руху при швидкості 60 км/год та 80 км/год. При якій швидкості автомобіль проїде відстань за 3 години?Опишіть властивості цієї функції

Детальний розв'язок:1) Побудова графіка: Функція t = 240/v є оберненою пропорційністю, де k = 240. Область визначення: v > 0 (швидкість додатна)Область значень: t > 0 (час додатний)Точки для побудови: При v = 40 км/год: t = 240/40 = 6 год. При v = 60 км/год: t = 240/60 = 4 год. При v = 80 км/год: t = 240/80 = 3 год. При v = 120 км/год: t = 240/120 = 2 год. Графік — гіпербола у першій координатній чверті.2) Обчислення часу: При v = 60 км/год: t = 240/60 = 4 години. При v = 80 км/год: t = 240/80 = 3 години3) Знаходження швидкості: При t = 3 год: 3 = 240/v v = 240/3 = 80 км/год4) Властивості функції: Функція спадна (зі збільшенням швидкості час зменшується)Має вертикальну асимптоту v = 0 та горизонтальну асимптоту t = 0 Графік симетричний відносно прямої y = x при відповідному масштабіВисновок: Чим більша швидкість руху, тим менше часу потрібно для подолання однакової відстані.