Прогресії. Урок у 9 класі

 

Конспект уроку - проекту

з теми «Арифметична і геометрична прогресії», 9 клас

Мета уроку: 1. Узагальнити та систематизувати знання учнів з теми

« Арифметична і геометрична прогресії» . Закріпити навички обчислення елементів прогресії. Перевірити теоретичні знання. Показати застосування теми на прикладах життєвих задач.  Сформувати вміння застосовувати поняття та властивості прогресій до розв’язування задач. Забезпечити продуктивний зв'язок теорії та практики у процесі навчання. Здійснювати організовану пошукову, дослідницьку діяльність на підставі спільної праці учнів. Сприяти активізації пізнавальної діяльності учнів.

2. Розвивати логічне мислення , пам'ять , увагу.

Розвивати вміння:

- аналізувати інформацію,

- робити висновки;

- систематизувати, узагальнювати вивчений матеріал;

- самостійно працювати з додатковою літературою;

- самостійно працювати над творчими завданнями;

- здійснювати організовану, пошукову, дослідницьку діяльність на основі спільної праці.

3. Виховувати: акуратність, працьовитість, відповідальність, дисциплінованість вміння працювати в колективі, повагу один до одного, власну життєву позицію, інтерес до математики, позитивне ставлення до навчання.

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації знань і вмінь

Методи, які використовувалися під час проведення уроку:

Пошуковий, особистісно орієнтований, інтерактивний, проблемне навчання, метод проектів, активні форми « Незакінчене речення»

Обладнання: Презентація уроку, висловлювання, газети, плакати, ілюстрації до виступів, роздруковані завдання для диктанту, для самостійної роботи в групах, виставка творчих робіт.

Знати:

• означення арифметичної і геометричної прогресій;
• формули п – го члена арифметичної і геометричної прогресії;
• формули суми п перших членів арифметичної і геометричної прогресії;
• формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії.

Вміти:

• знаходити п – й член арифметичної і геометричної прогресій;
• знаходити різницю арифметичної прогресії і знаменник геометричної прогресії;
• знаходити суму п перших членів арифметичної і геометричної прогресій;
• знаходити суму нескінченої спадної геометричної прогресії.

Цінувати:

• уміння долати труднощі;
• прагнення досягати мети.

Висловлювання

Найкращий спосіб вивчити що – небудь – це відкрити самому.

                                                                                                         Д. Пойа

Математика безмежно різноманітна, як світ, і присутня, міститься в усьому.

                                                                                                    М. П. Єругін

Проводяться два спарені уроки.

Хід уроку

І. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштування їх на роботу.

ІІ. Перевірка домашнього завдання

На початку уроку збираються зошити.

ІІІ. Формулювання теми і завдань уроку

Вчитель: Шановні друзі! Ми завершуємо з вами вивчати тему «Арифметична і геометрична прогресії». Мета нашого уроку – узагальнити і систематизувати знання з теми. Повторити означення арифметичної і геометричної прогресій. Перевірити знання формул по даній темі. Показати вміння використовувати ці знання при розв’язувані вправ. Показати практичне застосування теми на прикладах життєвих ситуацій.

Урок проведемо не традиційно, як урок – проект.

В класі створені п’ять груп:

- група « Істориків»;

- група « Теоретиків»;

- група « Дослідників»;

- група « Практиків»;

- творча група. (присутні вчителі)

Математичні знання можуть використовуватися вміло з пользою лише в тому випадку, якщо вони засвоєні творчо.

                                                                          А.Н. Колмогоров

ІV. Мотивація учбової діяльності

Слово для захисту свого проекту дамо « Історикам». Вони підготували історичні факти виникнення арифметичної і геометричної прогресій.

(Матеріал підготовлений у вигляді рефератів, повідомлень, презентації)

Група « Істориків»

(Презентація до доповіді)

В своїй роботі ми дослідили слідуючи питання:

1. Історія виникнення прогресій. (1-й учень + 1 помічник)

2. Легенда про шахи. (2-й учень + 1 помічник)

3. Стародавні задачі на прогресію. (3-й учень + 1 помічник)

Продивившись додаткову літературу з математики та попрацювавши в Інтернеті ми змогли знайти такий матеріал.

1. Історія виникнення прогресій.

(1-й учень + 1 помічник – робить записи на дошці)

Перші задачі на прогресії, які дійшли до нас, пов’язані з потребами хазяйського життя, як наприклад, розподіл продуктів, ділення спадкоємства, тощо.

Латинське слово « прогресія», в переводі позначає « рух уперед». Вперше зустрічається у римського автора Боеція (V – VІ століття). Аріабхатта (Vстоліття) знав формули для суми арифметичної прогресії та інше.

Приклади нескінчених числових послідовностей відомі ще з древності.

1. 1; 2; 3; 4; 5; … - послідовність натуральних чисел.
2. 2; 4; 6; 8; 10; … - послідовність парних чисел.
3. 1; 3; 5; 7; 9; … - послідовність непарних чисел.
4. 1; 4; 9; 16; 25; … - послідовність квадратів натуральних чисел.
5. 2; 3; 5; 7; 11; … - послідовність простих чисел.
6. 1; 1; 1; 1; 1; … - послідовність чисел, обернених до натуральних

         2  3   4  5

Прогресії , окремі види числових послідовностей, зустрічаються в пам’ятниках ІІ тисячоліття до нашої ери, ще в клинописних табличках вавилонян. Задачі на прогресію знайдені на папірусу Ахмеса, в стародавньому китайському  трактаті « Математика у дев’яти  книгах», в індійських « сіддхантах», в документах Стародавньої Греції.

З однієї клинописної таблички дійшли відомості про те, що спостерігаючи за Місяцем від повнолуння до повнолуння, вавилоняни побачили, що в перші 5 днів після новолуння ріст освітлення Місячного диску проходить законом геометричної прогресії зі знаменником 2.

В стародавній Греції задачі на прогресію виникли зі спостереження над явищами природи та дослідження суспільно – економічних явищ, до яких використовуються закони арифметичної і геометричної прогресій.

Правила для знаходження суми членів арифметичної прогресії вперше зустрічається в « Книзі абака» (1202 р.) – це книга по математиці, яку написав Леонардо Пізанський (Фібоначчі). Числа Фібоначчі настільки відомі в математиці, що кожен рік проводяться наукові конференції по властивостям цих чисел. Існує наукове суспільство, яке об’єднує людей, що вивчають ці числа.

Числа Фібоначчі: 1; 2; 3; 5; 8; 13;… - це послідовність, в якій кожен член, починаючи з третього, буде сумою двох попередніх, тобто ап = ап – 1 + ап – 2,

п = 3; 4;…

2. Легенда про шахи.

(2-й учень + 1 помічник – робить записи на дошці)

З геометричною прогресією пов’язана одна легенда.

Коли індуський цар Шарем, якому дуже сподобалася нова гра – шахи, захотів нагородити її винахідника Сету, то винахідник попросив у царя не дуже багату нагороду (на розсуд Шерома). Сета сказав: «Я прошу дати мені за першу клітинку шахової дошки 1 зернятко, за другу клітинку – 2 зернятка, за третю клітинку – 4 зернятка і так далі, удвоючи кожного разу кількість зернят. Як виявилося, такої кількості зерна не було не тільки у Шерома, але і на всій Землі. Бо кількість зернин , про яке ідеться в задачі, є сумою 64 членів геометричної прогресії, у якої перший член дорівнює 1, а знаменник – 2.

S64 = 18 446 744 073 709 551 615

Таку кількість зерен, можна зібрати лише з врожаю планети, поверхня якої приблизно в 2000разів більша всієї Землі.

3. Стародавні задачі на прогресію.

(3-й учень + 1 помічник – робить записи на дошці)

Ми зібрали декілька старовинних задач на прогресії та оформили їх у вигляді рефератів. ( Вавилонські задачі про розділ шекелей між братами, в якій використовується арифметична прогресі. Єгипетська задача з папірусу Ахмеса про розділ ячменю між людьми. Задача з арифметики В. Магницького про покупку коня, тощо). Розв’язання задачі №727 стор. 177

V. Актуалізація опорних знань

Слово для захисту свого проекту надається групі « Теоретиків»

Група « Теоретиків».

Ми продивилися шкільні підручники та довідкову літературу по темі

«Арифметична і геометрична прогресії». Склали план своєї роботи.

1. Означення арифметичної і геометричної прогресій. (1-й учень)
2. Формули, які задають арифметичну і геометричну прогресії. (2-й учень)
3. Формули, за якими знаходять: (3-й учень)

• різницю арифметичної прогресії;
• знаменник геометричної прогресії;

4. Формули п – го члена арифметичної і геометричної прогресій. (4-й учень)
5. Формули знаходження: (5-й учень)

• суми п – перших членів арифметичної і геометричної прогресій;
• суми нескінченно спадної геометричної прогресії.

6. Основні властивості арифметичної і геометричної прогресій. (6-й учень)

Ми склали опорну схему з теорії, яку кожен з вас отримає пізніше.

Опорна схема

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формули ми повторили, тепер перевіримо їх засвоєння через математичний диктант. (Читають два учня з групи « Теоретиків» - хлопець та дівчинка. Перевіряють учні цієї групи)

Диктант

 Варіант І                                         

1. Записати формулу, для знаходження 7-го члена арифметичної прогресії (рекурентна формула)                                         
2. Знайти знаменник геометричної прогресії, якщо b₁=4, b₂=16.  
3. Формула п – го члена арифметичної прогресії має вигляд…
4. Формула суми п перших членів геометричної прогресії має вигляд…
5. Записати формулу суми п перших членів арифметичної прогресії

( через а1 та ап)

6. Властивість геометричної прогресії записується у вигляді…

Варіант ІІ

1. Записати формулу, для знаходження 7-го члена геометричної прогресії (рекурентна формула)
2. Знайти різницю арифметичної прогресії, якщо а₁=7, а₂=4.
3. Формула п – го члена геометричної прогресії має вигляд…
4. Формула суми п перших членів арифметичної прогресії має вигляд…
5. Записати формулу знаходження суми нескінченної спадної геометричної прогресії .
6. Властивість арифметичної прогресії записується у вигляді…

VІ. Застосування знань і вмінь

Заслухаємо групу «Дослідників».

Група « Дослідників»

Нашою метою було знайти матеріал, який пов'язаний з використанням прогресії у житті. Ми знайшли задачі, які мають відношення до:

• біології;
• медицини;
• лісництва;
• фізики;
• геометрії;
• банку.

Ознайомимо вас з деякими. ( З класом розв’язують задачі пов’язані з біологією, з лісництвом, з фізикою, з банком. З задачами з медицини та геометрії учні пропонують ознайомитися на стенді)

1. Задача  пов’язана з біологією

Бактерія потрапивши в організм людини , на кінець 20-ї хвилини поділяється на дві, кожна з них на кінець 20-ї хвилини знову поділяється на дві і т.д.

Скільки бактерій буде в організмі через добу?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язування

b1 =1, b2 =2, b3 =4,…

Доба – 24 год,  24* 60 хв = 1440 хв

За добу пройде ділення 1440 = 72 рази

                                           20

 

 

 

 Відповідь. Через добу в організмі буде бактерій

2. Задача  пов’язана з медициною

Курс повітряних ванн лікарі рекомендують починати з 15 хвилин у день, а потім збільшувати час цієї процедури кожного наступного дня на 10 хвилин. Скільки днів варто приймати повітряні ванни в зазначеному режимі, щоб досягти їхньої максимальної тривалості в 1 годину 45 хвилин?

Розв’язування Тривалість прийому повітряних ванн щодня представляє собою арифметичну прогресію, з першим членом а1 = 15 хв , різницею  d = 10 хв. У який день тривалість досягне 1 годину 45 хвилин, тобто 105 хвилин? Скористаємося формулою п –го члена арифметичної прогресії.

аn = а1 + d(n-1);      15 + 10(n-1) = 105;   10(n-1) =90;  n -1 = 9;   n=10

Відповідь. Варто приймати повітряні ванни 10 днів.

3. Задача  пов’язана з лісництвом

Лісники висадили саджанець висотою 61 см. Через 14 місяців ріст дерева був 139 см . Який приріст дерева кожного місяця?

Розв’язування

 Дерево зростає в арифметичній прогресії, де а1 = 61; а14 = 139         a14 = a1+13d;   61 + 13d = 139;   13d = 78;   d = 6

 Відповідь. Приріст в місяць 6 см.  

4. Задача  пов’язана з фізикою

Ми зайшли дві задачі.

Тіло у разі вільного падіння проходе за першу секунду 4,9 м, а за кожну наступну – на 9,8 м більше, ніж за попередню. Знайти глибину шахти, якщо тіло, що вільно падає, досягає дна через 5 секунд після початку падіння.

Розв’язування Задача розв’язується з використанням арифметичної прогресії.

а1 = 4,9 м;  d = 9,8 м

S5 = 2а1 + 4d . 5 = 2 * 4,9 + 4 * 9,8 . 5 = 9,8 + 39,2 . 5 = 122,5

              2                          2                            2

Відповідь. Глибина шахти 122,5 м

5. Задача  пов’язана з геометрією

У коло, радіусом 4 см вписано квадрат, у який знову вписане коло і т. д. Знайти суму довжин усіх кіл.

Розв’язування

АВ = 4 см – сторона квадрата АВСД , АО – радіус описаного кола навколо квадрата.

АО = АВ√2 = 4√2 = 2√2 (см)

               2        2

L1 = 2П * АО = 4√2 П (см)

А1О – радіус вписаного кола в квадрат АВСД

А1О = АВ = 4 = 2 (см)

            2      2

L2 = 2П * А1О = 4 П (см)

А1В1 – сторона квадрата А1В1С1Д1, вписаного в коло два

А1В1 = √2 * А1О = 2√2 (см)

А2О – радіус кола, вписаного в квадрат А1В1С1Д1

А2О = А1В1 = 2√2 = √2 (см)

      2         2

L3 = 2П * А2О = 2√2 П (см) …

Довжина кіл складає таку послідовність: 4√2 П; 4 П;  2√2 П;…

Це нескінчена геометрична прогресія зі знаменником q = 1/√2<1

S =  b1     = 4√2 П  = 8П   ; 

       1-q      1- 1/√2   √2 -1  

Відповідь. Сума довжин кіл   8П  

                                                 √2 -1  

6. Задача  пов’язана з банком

Кажуть, що у 1723 році український гетьман Павло Полуботок поклав до Банку Англії свої скарби. 80% капіталу заповідав незалежній Україні. В скільки разів збільшився його капітал до 2019 року?

Розв’язування

Нехай А карбованців - початковий капітал, який покладений під 4% річних.

Через 1 рік  внесок склав 1,04 А карбованців, на 2 рік - 1,042 А карбованців,

через 3 роки –                 карбованців, …

Маємо геометричну прогресію, де b1 = А, q =1,04

Гроші гетьмана залишилися упродовж 296 роки недоторканими,

            то b296 =                 карбованців

Внесок до теперішнього часу збільшився у 97897 разів

Якщо б ці гроші дісталися незалежній Україні, то як би наша країна збагатилася.

Зверніть увагу на те, що коли ви гроші покладете до банку та будете знімати відсотки щомісячно, то ваш капітал буде зростати у арифметичній прогресії. А якщо влад покладете на рік, то ваші доходи зростуть у геометричній прогресії.

VІІ. Робота в групах

Слово для захисту проекту даємо групі « Практики»

Група « Практики»

Метою нашої роботи було продивитися шкільні підручники і додаткову літературу, щоб проробити всі задачі, які відносяться до даної теми. Ми підібрали задачі та хочемо їх запропонувати для виконання в групах. Якщо ви їх розв’яжете, то зможете розшифрувати слово. Правильної відповіді відповідає буква. ( Під кожним числом записано букву)

Завдання для груп

1. (аn) – арифметична прогресія, а1 = -18; d = 3, а23 - ? (1-й учень)
2. 64; 59;54;… - арифметична прогресія, S18 -?(2-й учень)
3. (bn) – геометрична прогресія, b1 = -32, q = 1, b7 -?(3-й учень)

                                                                        2

4. 6; 24; 96; … - геометрична прогресія, S5 -?(4-й учень)
5. Знайдіть суму  нескінченої геометричної прогресії

                            -48; 24; -12; … (5-й учень)

(В кожній групі вибірково беруться по два зошита, щоб перевірити і оцінити роботу)

р	г	у	о	с	а	ч	я	с

 

Так, всі групи отримали одне слово – це Гаусс. (Один з учнів цієї групи повідомляє історичну довідку)

Карл Фридрих Гаусс (1777-1855р) – німецький математик. Коли Карлу виповнилося 7 років, його віддали у початкову школу. Вчителем математики була похила людина, відома своєю строгістю. Інколи, щоб його не відволікали на уроці, він задавав учням складну письмову роботу. Одного разу він дав таку задачу: « Знайти суму всіх чисел від 0 до 40». Він був впевненим, що учні більшу частину уроку будуть зайняті розрахунками. Яке ж було здивування педагога, коли зразу після написання задачі на дошці він почув веселий крик: « А у мене готово!» І йому був поданий Карлом зошит з розв’язком. Він був таким:

(6-й учень) 1 + 2 + … + 40 = (1 + 40) + (2 + 39) +… + (20 + 21) = 20 * 41 = 820

VІІІ. Підсумок уроку

Вчитель: Зробимо підсумок нашого уроку. Ми дізналися, що прогресії застосовуються в різних галузях і їх треба знати. Ви молодці! Всі групи добре попрацювали над матеріалом. А «творча група» (учителі) продивилася та оцінила ваші творчі роботи – це казки, вірші, кросворди, рисунки. Кожен з вас буде оцінений за результатами вкладу в даний проект.

Пізнання, наполегливість і труд

До прогресії в житті приведуть!

Вірш про прогресію (один із учнів).

ІХ. Домашнє завдання

Переглянути матеріали уроку