Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

Розв'язування задач є найхарактернішим і специфічним різновидом вільного мислення. В. Джеймс

Розв'язування прикладної задачі математичними методами здійснюється в три етапи:створення математичної моделі задачі;розв'язування відповідної математичної задачі;аналіз відповіді.

Задачі, математичними моделями яких є квадратні та раціональні рівняння це: задачі на знаходження чисел;геометричні задачі;задачі на рух;задачі на спільну роботу; інші задачі;

Алгоритм до розв’язування задач за допомогою рівнянь: Позначити невідомі величини через змінну х або іншою літерою. Скласти коротке пояснення до задачі у вигляді: пояснення, таблиці, схеми або рисунку до задачі.3. Відповідно до умови задачі скласти рівняння.4. Розв’язати отримане рівняння будь-яким зручним способом. Якщо рівняння квадратне, то або через дискимінант, або за теоремою Вієта, або розкладанням квадратного тричлена на множники.5. Проаналізувати знайдені розв’язки задачі, тобто перевірити чи розв’язки задовольняють умову задачі. 6. Записати відповідь до задачі.

У концертному залі театру кількість рядів на 5 більша за кількість місць в одному ряді. Усього місць у залі 266. Знайдіть кількість рядів та кількість місць в одному ряді. Розв'язання. Нехай х – кількість рядів, тоді кількість місць в одному ряді буде (х-5). Усього місць у залі 266. Складемо рівняння: х(х-5)=266.х(х-5)=266;𝑥2−5х − 266=0;а=1, b= -5, c=-266;𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐= (-5)2-4·1·(-266)=25+1064=1089;𝐷=1089>0; х1=−𝒃−𝑫𝟐𝒂= 𝟓−𝟏𝟎𝟖𝟗𝟐·𝟏 =𝟓−𝟑𝟑𝟐= - 𝟐𝟖𝟐= -14;х2=−𝒃+𝑫𝟐𝒂=𝟓+𝟏𝟎𝟖𝟗𝟐·𝟏 =𝟓+𝟑𝟑𝟐= 𝟑𝟖𝟐= 19; 𝑥1=−14<0 – не задовольняє умову задачі, 𝑥2=19- є розв’язком. Отже, 19 – рядів в кінотеатрі; 19-5=14 (м) –в одному ряді. Відповідь: 19 рядів по 14 місць. Приклад 1або за теоремою Вієта𝑥2−5х − 266=0;а=1,  b= −5,   c=−266;𝑥1+𝑥2=5,𝑥1𝑥2=−266; 𝑥1=−14, 𝑥2=19. Можемо перевірити 19 ·14=266 усього місць у залі 

Одне натуральне число на 5 менше від другого. Знайдіть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 204. Розв'язання. Нехай одне число х, тоді друге число ( х-5). Їх добуток дорівнює204. Складемо рівняння:х(х-5)=204;𝑥2−5х -204=0;а=1, b= -5, c=-204;𝑫=𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄= (-5)2-4·1·(-204)=25+816=841;𝑫=841>0; х1=−𝒃−𝑫𝟐𝒂= −−𝟓−𝟖𝟒𝟏𝟐·𝟏 =𝟓−𝟐𝟗𝟐= - 𝟐𝟒𝟐=-12;х2=−𝒃+𝑫𝟐𝒂= −(−𝟓)+𝟖𝟒𝟏𝟐·𝟏 =𝟓+𝟐𝟗𝟐= 𝟑𝟒𝟐=17; 𝑥1=−12 – не є натуральним, тому не задовольняє умову задачі, 𝑥2=17- є розв’язком. Отже, 17- одне число , а 17-5=12 - друге. Відповідь: 17 і 12. Приклад 2або за теоремою Вієта𝑥2−5х -204=0;а=1, b= -5, c=-204;𝑥1+𝑥2=5,𝑥1𝑥2=−204; 𝑥1=−12, 𝑥2=17. Можемо перевірити 17 ·12=204 

   Позначення натуральних послідовних чисел:

Квадрат суми двох послідовних натуральних чисел більший від суми їх квадратів на 264. Знайдіть ці числа. Розв'язання. Нехай менше число х, то наступне ( х+1).Їх сума дорівнює (х + (х+1)), а квадрат суми двох послідовних натуральних чисел (2𝑥+1)2. Сума їх квадратів дорівнює 𝑥2 +(𝑥+1)2. Квадрат суми двох послідовних натуральних чисел (2𝑥+1)2більший від суми їх квадратів 𝑥2 +(𝑥+1)2 на 264. Складемо рівняння: (2𝑥+1)2 - (𝑥2 +(𝑥+1)2)=264;4𝑥2+4х +1-(𝑥2 +𝑥2+2х+1)=264;4𝑥2+4х +1-2𝑥2-2х-1=264;2𝑥2+2х -264=0;𝑥2+х -132=0;за теоремою Вієта𝑥1+𝑥2=−1,𝑥1𝑥2=132; 𝑥1=−12, 𝑥2=11. 𝑥1=−12 – не є натуральним, тому не задовольняє умову задачі, 𝑥2=11- є розв’язком. Отже, 11- менше число , а наступне 11+1=12. Відповідь: 11 і 12. Приклад 3 Можемо перевірити (11+12)2 - (112 +122)==232 -(121+144)=529-365=264. 

Задачі геометричного змісту

Ділянку прямокутної форми, одна із сторін якої на 10 м більша за другу, треба огородити парканом. Знайдіть довжину паркана, якщо площа ділянки 375 м2. Розв'язання. Нехай ширина ділянки х м, тоді довжина ділянки буде (х+10)м. Площа ділянки дорівнює 375 м2. Складемо рівняння:х(х+10)=375;𝑥2+10х -375=0;а=1, b= 10, c=-375;𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐= 102-4·1·(-375)=100+1500=1600;𝐷=1600>0; х1=−𝒃−𝑫𝟐𝒂= −𝟏𝟎−𝟏𝟔𝟎𝟎𝟐·𝟏 =−𝟏𝟎−𝟒𝟎𝟐= - 𝟓𝟎𝟐= -25;х2=−𝒃+𝑫𝟐𝒂== −𝟏𝟎−𝟏𝟔𝟎𝟎𝟐·𝟏 =−𝟏𝟎+𝟒𝟎𝟐= 𝟑𝟎𝟐=15; 𝑥1=−25<0 – не задовольняє умову задачі, 𝑥2=15- є розв’язком. Отже, 15 м – ширина ділянки, а 15+10=25 (м) – довжина ділянки; Р=2(15+25)=80(м) –периметр ділянки, тобто довжина паркану для огорожі. Відповідь: 80 метрів. Приклад 4або за теоремою Вієта𝑥2+10х -375=0;а=1, b= 10, c=-375;𝑥1+𝑥2=−10,𝑥1𝑥2=−375; 𝑥1=−25, 𝑥2=15. 

Один із катетів прямокутного трикутника на 7 см менший від другого катета. Знайдіть периметр трикутника, якщо його гіпотенуза 13 см. . Розв'язання. Нехай х см – один катет трикутника, тоді другий катет буде (х-7) см. За теоремою Піфагора квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, складемо рівняння: 132= 𝑥2+ (𝑥−7)2.𝑥2+ (𝑥−7)2=132.𝑥2+𝑥2−14х +49− 169=0;2𝑥2−14х −120=0;𝑥2−7х −60=0;а=1, b= -7, c=-60;𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐= (-7)2-4·1·(-60)=49+240=289;𝐷=289>0; х1=−𝒃−𝑫𝟐𝒂= 𝟕−𝟐𝟖𝟗𝟐·𝟏 =𝟕−𝟏𝟕𝟐= - 𝟏𝟎𝟐= -5;х2=−𝒃+𝑫𝟐𝒂= 𝟕+𝟐𝟖𝟗𝟐·𝟏 =𝟕+𝟏𝟕𝟐= 𝟐𝟒𝟐= 12; 𝑥1=−5<0 – не задовольняє умову задачі, 𝑥2=12- є розв’язком. Отже, 12 см – один катет; 12-7=5 (см) –другий катет;Р=12+5+13=30(см). Відповідь: периметр трикутника 30см. Приклад 5або за теоремою Вієта𝑥2−7х −60=0;а=1,  b= −7,   c=−60;𝑥1+𝑥2=7,𝑥1𝑥2=−60; 𝑥1=−5, 𝑥2=12. 

                                 𝒔=𝒗𝒕 - закон руху                          𝒔- відстань, 𝒗- швидкість, 𝒕- час. Для знаходження відстані: 𝒔=𝒗𝒕Для знаходження швидкості: 𝒗=𝒔𝒕 Для знаходження часу: 𝒕=𝒔𝒗 Власна швидкість-це швидкість у стоячій воді. Швидкість плота = швидкості течії. Швидкість за течією річки =власна швидкість+ швидкість течії річки. Швидкість проти течією річки=власна швидкість – швидкість течії річки. Задачі на рух. Основні поняття: відстань, швидкість, час,

Приклад 6 Власна швидкість моторного човна 18 км/год. Відстань 12км за течією річки він проходить на 9 хвилин швидше, ніж проти течії. Знайдіть швидкість течії річки. Розв'язання 9 хв =960год.= 0,15 год. Нехай швидкість течії річки х км/год, то швидкість моторного човна за течією річки (18 + х) км/год, а швидкість проти течії (18 - х) км/год. 12 км за течією річки він проходить за 1218+𝑥 годин, а проти течії за 1218−𝑥 годин.1218−𝑥 год. на 0,15год більше ніж 1218+𝑥 год. Складемо рівняння: 1218−𝑥 - 1218+𝑥 =0,15.1218−𝑥 -12 18+𝑥 =0,15; ОДЗ: x ≠ ± 18;Спільним знаменником є (18−𝑥)(18+𝑥). Домножимо всі доданки лівої і правої частини рівняння на спільний знаменник 18−𝑥18+𝑥1218−𝑥 −12 18+𝑥 =0,15; · 18−𝑥18+𝑥12(18−𝑥)(18+𝑥) 18−𝑥 −12(18−𝑥)(18+𝑥)  18+𝑥 =0,15(18−𝑥)(18+𝑥); 12(18+х)-12(18-х)=0,15(324-𝑥2);12 ·18+12х-12 ·18+12х-0,15 ·324+015𝑥2=0;0,15𝑥2+24 𝑥 -48,6=0;𝑥2+160𝑥 -324=0; за теоремою Вієта 𝑥1+𝑥2=−160,𝑥1𝑥2=−324; 𝑥1=−162, 𝑥2=2. 𝑥1=−162<0 – не задовольняє умову задачі, 𝑥2=2- є розв’язком. Отже, 2км/год-швидкість течії річки. Відповідь:, 2км/год. 

Приклад 7 Відстань від Черкас до Києва, що становить 180 км, автобус має проїхати зі сталою швидкістю за визначений розкладом час. Проте в Борисполі водій автобуса на 5 хв зробив незаплановану зупинку для пасажирів, які їхали до аеропорту. Тому, щоб прибути до Києва вчасно, після незапланованої зупинки водій збільшив швидкість на 10 км/год. З якою швидкістю мав їхати автобус за розкладом, якщо Бориспіль розташований на відстані 35 км від Києва?Розв'язання 5хв =560год.=112 год. Нехай Нехай х км/год – швидкість автобуса за розкладом. Запланований час руху автобуса - 180𝑥 год.(180-35) км до Борисполя зі 𝑣=𝑥 км/год. Тоді, час витрачений на цю відстань 180−35𝑥 год. Решту відстані - 𝑣=(𝑥+10)км/год за 35𝑥+10 год. Час 180𝑥 год більший за час 180−35𝑥 + 35𝑥+10 на 5 хв, тобто на 112 год. Складемо рівняння: 180𝑥=180−35𝑥+35𝑥+10+112 .180𝑥=180−35𝑥 + 35𝑥+10+112; · 12𝑥(𝑥+10)ОДЗ: 𝑥≠0,  𝑥≠−10180· 12𝑥(𝑥+10) 𝑥−(180−35)· 12𝑥(𝑥+10)𝑥−35· 12𝑥(𝑥+10)𝑥+10−1· 12𝑥(𝑥+10)12=0; 180·12𝑥+10−145·12𝑥+10−35·12𝑥−𝑥(𝑥+10)=0; 𝑥2+10𝑥−4200=0; За теоремою Вієта: 𝑥1+𝑥2=−10,𝑥1𝑥2=−4200; 𝑥1=−70, 𝑥2=60. 𝑥1=−70<0 – не задовольняє умову задачі, 𝑥2=60- є розв’язком. Отже, 60 км/год-швидкість з якою мав їхати автобус за розкладом. Відповідь: 60км/год. 

Теплохід пройшов 48 км за течією річки і повернувся назад, здійснивши подорож за 5 год. Визначте власну швидкість теплохода, якщо швидкість течії річки становить 4 км/год.{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Вид руху. Відстань. Швидкість. Час. Рух теплохода за течією48 км. Х+4 км/год𝟒𝟖𝒙+𝟒 год. Рух теплохода проти течії48 км. Х-4 км/год𝟒𝟖𝒙−𝟒 год{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Вид руху. Відстань. Швидкість. Час. Рух теплохода за течією48 км. Х+4 км/год. Рух теплохода проти течії48 км. Х-4 км/год5 год. Розв’язання Нехай х км/год-власна швидкість теплохода. Складемо рівняння: 48𝑥+4 +48 𝑥−4 =5.48𝑥+4 +48 𝑥−4 =5; ОДЗ:  x≠± 4;48𝑥+4 +48 𝑥−4 =5; · 𝑥−4𝑥+448· (𝑥−4)(𝑥+4)𝑥+4 +48· (𝑥−4)(𝑥+4) 𝑥−4 =5· 𝑥−4𝑥+4; 48· 𝑥−4+ 48·𝑥+4−𝟓(𝑥2-16)=0;48 𝑥- 48· 4+ 48 𝑥+48· 4-5𝑥2+80=0;-5𝑥2+96 𝑥+80=0;5𝑥2−96 𝑥−80=0;а=5, b= -96, c=-80;D=𝑏2−4𝑎𝑐= (-96)2-4·1·(-80)=10816; 𝐃=𝟏𝟎𝟖𝟏𝟔=104;х1=−𝒃−𝑫𝟐𝒂= 𝟗𝟔−𝟏𝟎𝟒𝟐·𝟓 = - 𝟖𝟏𝟎= -0,8;х2=−𝒃+𝑫𝟐𝒂== 𝟗𝟔+𝟏𝟎𝟒𝟐·𝟓 = 𝟐𝟎𝟎𝟏𝟎= 20; 𝑥1=−0,8<0 – не задовольняє умову задачі, 𝑥2=20- є розв’язком. Отже, 20км/год-власна швидкість теплохода. Відповідь:20км/год. Приклад 8 Зверніть увагу пояснення може бути оформлено у вигляді таблички.

A=pt, A – обсяг роботи, p-продуктивність праці, t-час роботи. Знаходження обсягу роботи: 𝐴=𝑝𝑡Знаходження продуктивності праці:𝑝=𝐴𝑡Знаходження часу роботи: t=𝐴𝑝 Якщо в умові задачі, не вказано обсяг роботи, то його приймають за 1 Задачі на спільну роботу

Через 2 труби резервуар можна заповнити за 4 хв. Через першу трубу цей резервуар може заповнитися на 6 хв швидше, ніж через другу. За скільки хвилин заповниться цей резервуар, якщо працює одна перша труба? Розв'язання Нехай час заповнення через першу трубу – х хв, тоді, час заповнення через другу трубу – (х+6)хв. Обсяг роботи – 1. Отже: 𝑝 1 =𝟏𝑥 , 𝑝 2 =𝟏𝑥+6 . Обсяг роботи І труби - 𝟒𝑥 . Обсяг роботи ІІ труби 𝟒𝑥+6. Складемо рівняння: 𝟒𝑥+ 𝟒𝑥+6=1.𝟒𝑥+ 𝟒𝑥+6=1;ОДЗ: 𝑥≠0,  𝑥≠−6;4𝑥+4𝑥+6=1;  · 𝑥(𝑥+6) 4· 𝑥(𝑥+6) 𝑥+4· 𝑥(𝑥+6) 𝑥+6=1· 𝑥(𝑥+6); 4𝑥+6+4𝑥−𝑥(𝑥+6)=0;𝑥2−2𝑥−24=0; а=1, b= -2, c=-24;𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐= (-2)2-4·1·(-24)=4+96=100;𝐷=100>0; х1=−𝒃−𝑫𝟐𝒂= 𝟐−𝟏𝟎𝟎𝟐·𝟏 =𝟐−𝟏𝟎𝟐= - 𝟖𝟐= -4;х2=−𝒃+𝑫𝟐𝒂= 𝟐+𝟏𝟎𝟎𝟐·𝟏 =𝟐+𝟏𝟎𝟐= 𝟏𝟐𝟐= 6; 𝑥1=−4<0 – не задовольняє умову задачі, 𝑥2=6- є розв’язком. Отже, якщо працює перша труба,то резервуар заповниться за 6хв. Відповідь: 6хв.  Приклад 9або за теоремою Вієта𝑥2−2𝑥−24=0; а=1,  b= −2,   c=−24;𝑥1+𝑥2=2,𝑥1𝑥2=−24; 𝑥1=−4, 𝑥2=6. 

За одночасної роботи спочатку визначають, яку частину роботи виконує кожний учасник за одиницю часу (продуктивність), а потім ці частини роботи додають. Якщо в умові задачі виконана робота не задається числом, то її приймають за 1. Позначення величин за одночасної роботи

Два робітники, працюючи разом, можуть виконати деяку роботу за 4 дні. Перший робітник може виконати цю роботу на 6 днів швидше, ніж другий. Скільки днів затратить на цю роботу кожен робітник, якщо буде виконувати її самостійно?Розв'язання Нехай за х днів виконає цю роботу І робітник, тоді ІІ робітник виконає цю роботу за (х+6) днів. Всю роботу вважаємо за 1, тоді 𝟏𝟒 частини роботи виконують за один день обидва робітники І та ІІ.𝟏𝑥 - частина роботи, яку виконує І робітник за один день; 𝟏𝑥+6−частина  роботи, яку виконує ІІ робітник за один день. Разом вони виконують 𝟏𝟒 частину роботи за один день. Складемо рівняння: 𝟏𝑥+ 𝟒𝑥+6= 𝟏𝟒.𝟏𝑥+ 𝟏𝑥+6=𝟏𝟒; ОДЗ: 𝑥≠0,  𝑥≠−6;1𝑥+1𝑥+6=𝟏𝟒;  ·4𝑥(𝑥+6) 1· 4𝑥(𝑥+6) 𝑥+1· 4𝑥(𝑥+6) 𝑥+6=𝟏·4𝑥(𝑥+6)𝟒; 4𝑥+6+4𝑥−𝑥(𝑥+6)=0;𝑥2−2𝑥−24=0; а=1, b= -2, c=-24;𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐= (-2)2-4·1·(-24)=4+96=100;𝐷=100>0; х1=−𝒃−𝑫𝟐𝒂= 𝟐−𝟏𝟎𝟎𝟐·𝟏 =𝟐−𝟏𝟎𝟐= - 𝟖𝟐= -4;х2=−𝒃+𝑫𝟐𝒂= 𝟐+𝟏𝟎𝟎𝟐·𝟏 =𝟐+𝟏𝟎𝟐= 𝟏𝟐𝟐= 6; 𝑥1=−4<0 – не задовольняє умову задачі, 𝑥2=6- є розв’язком. Отже, за 6 днів виконає цю роботу І робітник, а ІІ за 6+6=12 днів. Відповідь: за 6 і 12 днів.  Приклад 10або за теоремою Вієта𝑥2−2𝑥−24=0; а=1,  b= −2,   c=−24;𝑥1+𝑥2=2,𝑥1𝑥2=−24; 𝑥1=−4, 𝑥2=6.