Рівняння кола (профільний рівень)

Рівняння Кола. Підготував: Кузнецов Володимир. Геометрія 9 клас

Теоретична частина. Теорема: у прямокутній системі координат рівняння кола радіуса R із центром у точці С(𝑎; 𝑏) має вигляд: 𝑥−𝑎2+𝑦−𝑏2=𝑅2 (1) Доведення: Нагадаємо, що колом називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки (центру кола) на фіксовану відстань (радіус кола). Нехай точка М (𝑥; 𝑦) належить колу із центром у точці С(𝑎; 𝑏) і радіуса R . Тоді яка б не була точка М має виконуватись рівність: СМ = R.𝑥−𝑎2+𝑦−𝑏2=𝑅. Піднісши обидві частини до квадрату, матимемо рівняння: 𝑥−𝑎2+𝑦−𝑏2=𝑅2.  

Таким чином, координати (𝑥; 𝑦) кожної точки М задовільнять рівняння (1). І навпаки: будь-яка точка М, координати якої задовольняють рівняння (1) належить колу, оскільки відстань від неї до точки С дорівнює R. Теорему доведено. Наслідок: у прямокутній системі координат рівняння кола радіуса R із центром у початку координат має вигляд: 𝑥2+𝑦2=𝑅2 Доведення: Розглянемо рівняння кола: 𝑥−𝑎2+𝑦−𝑏2=𝑅2. Центром цього кола є точка С(𝑎; 𝑏), а радіус R. Якщо центр буде знаходитись у початку координат, то координати центру С (0; 0). Підставивши значення𝑎=0, 𝑏=0 у рівняння кола та спростивши вираз, отримаємо рівняння: 𝑥2+𝑦2=𝑅2. Наслідок доведено.  

Застосування рівняння кола. Архітектура та дизайн. Планування круглих будівель або створення декоративних елементів, що мають форму кола, використовують математику кола. Астрономія. Оптичні телескопи з коловою діафрагмою можуть використовувати рівняння кола для фокусування світла. Крім того, астрономічні об’єкти можна описувати за допомогою рівнянь кола, а їх рух – іншими рівняннями. Фізика. Коловий рух об’єктів, наприклад, рух на каруселі, може бути досліджений за допомогою рівняння кола. Кулінарія. Для обчислення площі або об’єму випічки, такої як піца або пиріг, які мають круглу форму, можна використовувати рівняння кола. Геодезія та картографія. Побудова карт і вимірювання земельних ділянок можуть включати в себе обчислення за допомогою рівняння кола.

Практична частина. Задача 1: скласти рівняння кола, діаметром якого є відрізок АВ, якщо А(3; -6), В(-1; 4). Розв’язання. Для того, щоб записати рівняння кола потрібно знати координати центру кола та довжину радіуса. Оскільки О – середина відрізка АВ:𝑥0=𝑥𝐴+𝑥𝐵2=3+−12=1; 𝑦0=𝑦𝐴+𝑦𝐵2=−6+42=−1. ОА є радіусом кола. Обчислимо його довжину. 0𝐴=𝑥𝐴−𝑥02+𝑦𝐴−𝑦02=3−12+−6−(−1)2=29. Підставивши у формулу (1) та спростивши вираз матимемо шукане рівняння: 𝑥−12+𝑦+12=29. 

Задача 2: скласти рівняння кола, яке проходить через точку К(-8; -2), якщо центр кола належить осі ординат, а радіус дорівнює 10. Розв’язання. Центр кола належить осі ординат, тому центром є точка С (0; 𝑏). Оскільки точка К належить колу, то її координати задовольняють рівняння кола:𝑥−𝑎2+𝑦−𝑏2=𝑅2;−8−02+−2−𝑏2=102;64+4+4𝑏+𝑏2−100=0;𝑏2+4𝑏−32=0;𝑏1=−8, 𝑏2=4.  Отже, центр шуканого кола (0; -8) або (0; 4), а отже маємо два рівняння кола:𝑥2+𝑦+82=100 і 𝑥2+𝑦−42=100. 

Задача 3: довести, що рівняння 𝑥2+𝑦2+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0, у якому 𝑎24+𝑏24−𝑐>0, є рівнянням кола. Знайдіть координати центра цього кола та довжину радіуса. Розв’язання. Перетворимо дане рівняння так: 𝑥2+𝑎𝑥+𝑎24+𝑦2+𝑏𝑦+𝑏24=𝑎24+𝑏24−𝑐𝑥+𝑎22+𝑦+𝑏𝛼2=𝑎24+𝑏24−𝑐2 Задане рівняння є рівнянням виду (1), а отже воно є рівнянням кола з центром в точці С(−𝑎2; −𝑏2 ) і радіуса 𝑎24+𝑏2𝑦−𝑐. 

Задача 4: в деякому місті відомо, що центральна площа знаходиться в точці (0; 0), а його межі визначаються рівнянням 𝑥2+𝑦2=81 (1 од. відрізок = 1 км). Жителі міста планують зібратись на виставу у точці (7; 6). Визначте, чи місце зустрічі знаходиться у місті, чи поза його межами. Розв’язання Якщо точка А належить колу, то ОА = R, якщо точка А лежить всередині кола, то ОА < R, а якщо поза межами кола - ОА > R. 𝑂𝐴=𝑥𝐴−𝑥02+𝑦𝐴−𝑦02=7−02+6−02= 85;𝑅=81. 0𝐴>𝑅, бо 85>81, а тому точка А(7; 6) знаходиться поза колом. Отже, вистава пройде за межами міста. 

Задача 5: нехай за початок відліку узято точку, що є центром парку прямокутної форми. Одна з вершин прямокутника – точка С(7; 4). Будівельники планують розмістити фонтан, радіус якого 2 метри так, щоб фонтан дотикався двох меж парку. Складіть рівняння всіх можливих кіл, що обмежують шуканий фонтан (1 од. відрізок = 1 м). Розв’язання Будь-яка точка, що належить прямій СD має абсцису 7; будь-яка точка, що належить прямій ВС має ординату 4. Нехай О – центр одного з шуканих кіл. Тоді точка О (5; 2), оскільки вона зсунута на 2 одиниці вліво і на 2 одиниці вниз. Маємо рівняння: 𝑥−52+𝑦−22=4. Враховуючи симетричність, маємо ще три рівняння: 𝑥+52+𝑦−22=4; 𝑥−52+𝑦+22=4; 𝑥+52+𝑦+22=4. 

Задача 6: у прямокутній декартовій системі координат на площині задано піцу, обмежену колом 𝑥−12+𝑦−22=9. Знайти межі коробки (рівняння прямих), які обмежують цю піцу, якщо відомо, що дві сторони коробки – осі Ох та Оу, а коробка є квадратом, площа якої у чотири рази більша за площу піци (1 од. відрізок = 1 дм.). Розв’язання𝑅піци=3 (дм); 𝑆піци=𝜋𝑅2=9𝜋 (дм2). Нехай 𝑎 – сторона коробки, тоді 𝑆коробки=𝑎2. За умовою задачі 𝑆коробки=4𝑆піци.𝑎2=36𝜋𝑎=6𝜋 (𝑎>0, бо у іншому випадку центр кола не попадатиме у квадрат)Отже, рівняння, що є межами коробки: 𝑥=0, 𝑦=0, 𝑥=6𝜋 , 𝑦=6𝜋.  

Список використаних джерел:1. Підручник «Геометрія 9 клас» (А. П Єршова, В. В Голобородько, О. Ф. Крижановський, С. В. Єршов);2. «Геометрія 7-9 класи» О. В Погорєлов;3. «Геометрія 9 клас. Збірник задач і контрольних робіт» (А. Г Мерзляк, В. Б Полонський, Ю. М Рабінович, М. С. Якір);4. «Геометрія навколо нас 7- 9 класи» (Г. М. Возняк, О. Г. Возняк);5. Конспект лекцій з аналітичної геометрії (В.І. Мироник).

Дякую за увагу!