Розкладання многочленів на множники винесенням спільного множника за дужки

Тема. Розкладання многочленів на множники винесенням спільного множника за дужки

Мета: сформувати в учнів свідоме розуміння змісту поняття «розкла­дання многочленів на множники» та сформувати певний алгоритм «Як розкласти многочлен на множники винесенням спільного множника за дужки»; виробити вміння застосовувати зазначений алгоритм під час розв'язування завдань подібного змісту.

Тип уроку: засвоєння знань, умінь.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання

 Оскільки домашнє завдання складалося з самостійної роботи, зібравши зошити, перевіряємо (оцінюємо) і діагностуємо рівень за­своєння знань та вмінь з перетворення добутку многочленів (одно­члена на многочлен) у многочлен стандартного вигляду.

Додаткове завдання розбираємо (у разі необхідності) біля дошки.

Якщо х (м) — ширина, то (х + 2) (м) — довжина будівлі. Тому площа дорівнює (див. рис. — заштриховано)

(x + 2)(x + 4) – х(х + 2)(м²),

що за умовою становить 16 м². Маємо рів­няння:

(х + 2)(х + 4) – х(х + 2) = 16;

х² + 6х + 8 – х² – 2x = 16;  4x = 8;  x = 2.

Отже, ширина 2 (м), довжина 2 + 2 = 4 (м).

Відповідь. 2 м; 4 м.

II. Актуалізація опорних знань
Виконання усних вправ

1. Сформулюйте правило множення одночлена на многочлен.
2. Яка властивість множення при цьому використовується?
3. Чи будь-який добуток одночлена на многочлен можна подати у вигляді
   многочлена?
4. Знайдіть НСД чисел: 3 і 6; 3 і 4; 16 та 18; 8, 12, 24; 2а та а; 2а² та а²; 2а² та
   3а³.
5. Подайте у вигляді добутку (якщо можна) різними способами:

1) a⁸;  2) х;  3) 2у⁷; 4) 6b⁸.

6. Подайте одночлен 12х³у⁴ у вигляді добутку двох одночленів, один з яких дорівнює: 1) 2х³; 2) 3у³; 3) 4х; 4) 6ху; 5) 6х²у³.
7. Які одночлени слід поставити замість знака (*), щоб утворилась тотожність: 1) х³(*) = х⁶;  2) -а⁶ = а⁴(*);  3)*у⁷ = у⁸?

Яку дію можна при цьому виконати із відомими з рівностей степенями?

III. Засвоєння знань

 Розкладання цілого виразу на множники широко використовується в курсі алгебри. Тому вмінню виконувати цей вид перетворення виразів приділяється багато уваги, але розпочати треба зі форму­вання свідомого розуміння: 1) змісту самої дії «розкладання на множники»; 2) алгоритму знаходження спільного множника та ви­несення його за дужки. Цьому свідомому розумінню сприяє відповідний мотиваційний момент. Тому формування знань учнів можна здійснювати за планом:

1. Приклади завдань, що приводять до необхідності заміни суми на тотож­но рівний добуток.
2. Означення поняття розкладання многочлена на множники.
3. Розподільна властивість множення як основа розкладання многочлена на множники винесенням спільного множника за дужки.

Задача 1. Обчисліть усно: 7,49 ∙ 2,5 + 2,5 ∙ 2,51.

Задана 2. Розв'яжіть рівняння х² + 2х = 0.

Задача 3. Доведіть, що9¹⁹⁸⁶ + 9¹⁹⁸⁷ ділиться на 10.

Задачу 1 (див. вище) учні розв'язують, бо цей вид перетворень було відпрацьовано в 5 класі. Але головне — звернути увагу учнів на відмінність записів: «що був даний» та «тотожно рівний», «який ми дістали» (порів­няйте!), тобто, звертаємо увагу на те, що перетворення відбувається в та­кому напрямку: сума > добуток.

Проаналізувавши зміст задач 2 та 3, доходимо висновку: для їх розв'я­зання також бажано замінити дану суму (многочлен) на добуток і бажано таким самим видом перетворень, як і в задачі 1.

Після цього пояснюємо (тлумачимо) учням зміст поняття «розкладан­ня (многочлена) на множники» як вид тотожного перетворення, оберне­ного до множення, що дозволяє дану суму (чисел, добутків, степенів, одночленів, многочленів та їх добутків) перетворити в добуток (чисел, одночленів, многочленів, степенів).

Повторивши розподільну властивість множення (див. актуалізацію опорних знань), записуємо відповідну рівність:

(1) a(b + c) = ab + ac і наголошуємо, що вирази в правій та лівій частинах тотожно рівні, отже, ab + ac = a(b + c) (2) є загальною формулою, записом алгоритму розкладання многочлена на множники винесенням спільного множника за дужки. На цьому теоретична частина закінчується і починається практична частина, бо свідоме розуміння алгоритму пошуку спільного множ­ника в многочлені можливе лише через розв'язування великої кількості вправ та спостереження і формування відповідних висновків.

IV. Засвоєння вмінь

Виконання письмових вправ

1. Подайте у вигляді ab + ac та замініть на а(b + с) вирази:

1) тх + ту; 2) kх – рх; 3) – ab + ac; 4) -та – па.

2. Подайте у вигляді ab + ас та винесіть спільний множник за дужки:

1) 5х +5у; 2) 4а – 4b; 3) 30 + 15d; 4) -6т – 9п; 5) ах + ау;

6) bc – bd; 7) ab + a; 8) су – с; 9) –та – а.

3. Подайте у вигляді ab+ас вирази та розкладіть на множники:

1) 7ах + 7bх; 2) 3bу – 6b; 3) -5тп + 5п; 4) 3а + 9аb; 5) 5у² – 15у;

6) 3х + 6х²; 7) a² – ab; 8) 8mn – 4m²; 9) -6ab + 9b².

4. Порівняйте способи дій, здійснені під час виконання вправ № 1—3. Чи можна було б виконати ці ж самі завдання без попереднього подання да­них виразів у вигляді ab + ac (тобто знайти спільний множник а усно)? Якою дією можна було б знайти вираз, що залишиться в дужках? Як мож­на проконтролювати виконані дії? Сформулюйте алгоритм «Як знайти спільний множник членів многочлена та винести його за дужки?»
5. За сформульованим алгоритмом розкладіть на множники многочлен:

1) 6а – 9b; 2) 4х – ху; 3) 5аb – 5ас; 4) 3т² – 6тп; 5) а⁷ + а⁴;

6) 15аb² – 5аb; 7) 24х²у + 36ху²; 8) -4х⁸ + 18х¹⁵; 9) 3х⁴ – 6х³ + 9х⁵;

10) 8аb³ – 12а²b – 24а²b²; 11) 18у⁵ – 12ху² + 9у³;

12) -14аb³с² – 21а²bс² – 28а³b²с.

(12): виносимо за дужки множник з від'ємним коефіцієнтом. Чому?)

6. Відомо, що 2а – b = 5. Обчисліть: 1) 4a – 2b; 2) 6a – 3b.

V. Підсумки уроку

Див. задачі 2 і 3 — як розв'язати, виходячи з сформульованого алгоритму.

VI. Домашнє завдання

№ 1. Виходячи з алгоритму розкладання многочленів на множники винесенням спільного множника за дужки, розкладіть на множники:

1) тх + 2т; 2) 2ху – 4х; 3) -8ху – 10у; 4) ху + уz; 5) 3ас – 9bс;

6) х³ + х² + х; 7) 15а²b³ + 10а³b² – 30а²b.

№ 2. Розв'яжіть рівняння:

1. 3х – х² = 0; 2) у² +5у = 0; 3) 11х² – х = 0; 4) 4х² + 6х = 0.

№ 3. Випереджальне домашнє завдання. Випишіть множники у вира­зах. Знайдіть та виділіть спільний множник:

1) 2а(х + у) + b(х + у); 2) у(а – b) – 2(а – b); 3) а(с + 3) – х(с + 3);

4) у(р – 1) – (р – 1)²; 5) (а + 3)² – а(а + 3); 6) (а + 3) – а(а + 3).