Розробка "Олімпіадні завдання 8 клас"

Обласна олімпіада з математики (8 клас)

1. Розв’язати в натуральних числах рівняння:   

Розв’язання:

Розкладемо на прості множники              2021=4347 , маємо варіанти:

1.   ; 
2.   ;   
3.   ; 
4.   ; 

Відповідь (m;n): (2;2019) ,  (44;46) , (48;42)   

2. Порівняйте числа       і 

Розв’язання:

 Ι Спосіб.     Так як ліва і права частини додатні , то піднесемо їх до квадрату.               і 

                                                          і 

                           і   8024   (віднімемо число 4012)

                                     і   4012    (поділимо на 2)

                                       і    2006   (знову піднесемо до квадрату)

                                          і           

                                  4024035        <     4024036   

Значить:             < 

ΙΙ Спосіб.   Помножимо чисельник і знаменник в лівій і правій частинах на одне і теж число.

                         2                                      2·

                         1                       <              

Порівняємо       ;         >  , бо 2007 більше ніж 2005 , тоді число    >1.

3. Песик Гав може з’їсти батон докторської ковбаси за 1 хвилину, а батон любительської ковбаси за 2 хвилини. Кицька Няв може з’їсти батон докторської ковбаси за 2 хвилини, а батон любительської ковбаси за 3 хвилини. Кожен батон ковбаси вони можуть їсти одночасно з протилежних боків. За який найменший час вони разом можуть з’їсти два батони ковбаси, один з яких – докторська, а другий – любительська?

Розв’язання:

Їдять батони одночасно без перерви. Нехай довжина докторської ковбаси =S, а любительської = L. Тоді знайдемо швидкість поїдання ковбаси Гавом () і Нявом ().                  

Нехай Гав з’їв частину  докторської і  частину любительської ковбаси, тоді Няв відповідно з’їв   і  . За умовою час з’їдання ковбас рівний. Тоді  - час поїдання ковбаси Гавом, і  -

 час поїдання ковбаси кицькою Няв. Порівняємо ці величини і врахуємо, що час повинен бути найменшим. Позначимо  , а  , зрозуміло, що ці дві невідомі величини належать проміжку . Отже маємо:

  ;  

  ;     ;   . Час поїдання ковбаси у персонажів рівний і повинен бути найменшим, тобто  (це час поїдання

 ковбаси Гавом) і цей час повинен бути найменшим, отже

    - найменше, тоді    ,     , значить  .             Відповідь: хв.

4. Ціле число а має властивість: число 3а можна подати у вигляді , де і цілі числа. Доведіть, що і число а можна подати у такому самому вигляді.

Розв’язання:

, ліва частина ділиться на 3, отже і права  теж ділиться на 3.

Так як ділиться на 3, то і теж ділиться на 3, а отже і х ділиться на 3, тоді  . Маємо     ;     ;   . Число а можна подати у такому самому вигляді як і 3а.

5. Обчислити суму  , якщо відомо, що  .

Розв’язання:

= = ==1.

Відповідь:1.

6. Розв’яжіть систему рівнянь    

Розв’язання:

1) Нехай   , тоді ;  ;   ; ;    або  .

2) нехай   , тоді  ;  ;    ;

  ; або Обидва розв’язки не задовольняють.

3) нехай 
, тоді  ; ;  ;

  ;  або Обидва розв’язки не задовольняють.

4) Нехай   ,   ; ;      ;

  або

Відповідь: (1;0) ; (-1;0) ; (0;1) ; (0;-1).