Обласна олімпіада з математики (8 клас)
Розв’язання:
Розкладемо на прості множники 2021=4347 , маємо варіанти:
Відповідь (m;n): (2;2019) , (44;46) , (48;42)
2. Порівняйте числа і
Розв’язання:
Ι Спосіб. Так як ліва і права частини додатні , то піднесемо їх до квадрату. і
і
і 8024 (віднімемо число 4012)
і 4012 (поділимо на 2)
і 2006 (знову піднесемо до квадрату)
і
4024035 < 4024036
Значить: <
ΙΙ Спосіб. Помножимо чисельник і знаменник в лівій і правій частинах на одне і теж число.
2 2·
1 <
Порівняємо ;
>
, бо 2007 більше ніж 2005 , тоді число
>1.
3. Песик Гав може з’їсти батон докторської ковбаси за 1 хвилину, а батон любительської ковбаси за 2 хвилини. Кицька Няв може з’їсти батон докторської ковбаси за 2 хвилини, а батон любительської ковбаси за 3 хвилини. Кожен батон ковбаси вони можуть їсти одночасно з протилежних боків. За який найменший час вони разом можуть з’їсти два батони ковбаси, один з яких – докторська, а другий – любительська?
Розв’язання:
Їдять батони одночасно без перерви. Нехай довжина докторської ковбаси =S, а любительської = L. Тоді знайдемо швидкість поїдання ковбаси Гавом () і Нявом (
).
Нехай Гав з’їв частину докторської і частину
любительської ковбаси, тоді Няв відповідно з’їв
і
. За умовою час з’їдання ковбас рівний. Тоді
- час поїдання ковбаси Гавом, і
-
час поїдання ковбаси кицькою Няв. Порівняємо ці величини і врахуємо, що час повинен бути найменшим. Позначимо , а
, зрозуміло, що ці дві невідомі величини належать проміжку
. Отже маємо:
;
;
;
. Час поїдання ковбаси у персонажів рівний і повинен бути найменшим, тобто
(це час поїдання
ковбаси Гавом) і цей час повинен бути найменшим, отже
- найменше, тоді
,
, значить
. Відповідь:
хв.
4. Ціле число а має властивість: число 3а можна подати у вигляді , де
і
цілі числа. Доведіть, що і число а можна подати у такому самому вигляді.
Розв’язання:
, ліва частина ділиться на 3, отже і права теж ділиться на 3.
Так як ділиться на 3, то і
теж ділиться на 3, а отже і х ділиться на 3, тоді
. Маємо
;
;
. Число а можна подати у такому самому вигляді як і 3а.
5. Обчислити суму , якщо відомо, що
.
Розв’язання:
=
=
=
=1.
Відповідь:1.
6. Розв’яжіть систему рівнянь
Розв’язання:
1) Нехай , тоді
;
;
;
;
або
.
2) нехай , тоді
;
;
;
;
або
Обидва розв’язки не задовольняють.
3) нехай , тоді
;
;
;
;
або
Обидва розв’язки не задовольняють.
4) Нехай ,
;
;
;
або
Відповідь: (1;0) ; (-1;0) ; (0;1) ; (0;-1).