Розробка уроку математики в 10 класі.
Тема: Нестандартні способи розв'язання ірраціональних рівнянь.
Мета: Систематизувати знання учнів про ірраціональні рівняння,
познайомити з новими способами їх розв'язання , розвивати
культуру математичного мислення, виховувати інтерес до
інтелектуальної праці.
Тип: Урок-семінар.
Розробка уроку математики в 10 класі.
Тема: Нестандартні способи розв’язання ірраціональних рівнянь.
Мета: Систематизувати знання учнів про ірраціональні рівняння,
познайомити з новими способами їх розв’язання , розвивати
культуру математичного мислення, виховувати інтерес до
інтелектуальної праці.
Тип: Урок-семінар.
Обладнання: Схеми, опорні конспекти.
Епіграф: Знання лише тоді є знаннями, коли вони здобуті зусиллями
своєї думки, а не пам’яттю.
Л. Толстой.
Зміст уроку.
І. Актуалізація опорних знань.
1.Перевірка виконання учнями домашнього завдання (усно).
2.Запитання до класу (фронтальне опитування):
1.Які рівняння називаються ірраціональними?
2.Які з наведених рівнянь не є ірраціональними?
а) 2х+х2+ 12=0; б)
+ х=0 ;
в) х3+ -
-11=0; г)
-х4=0.
3.Що таке ОДЗ ірраціонального рівняння?
4.Яка дія є обов’язковою під час розв’язання ірраціонального
рівняння?
5.Знайти ОДЗ рівнянь:
а) =1 (
) ; б)
+ 3=0 (
) ;
в) +
=0 (
) ; г) 5
-
=0 ( (5;
) ).
6.Які способи розв’язання ірраціональних рівнянь ви знаєте?
7.Яким способом можна розв’язати наведені рівняння?
а) -
=1 ; б)
+
=0 ;
в) -3
=4 .
8.Чому рівняння = - 5, не має розв’язків?
9.Які перетворення ірраціональних рівнянь можуть призвести до
появи сторонніх коренів?
10.Чи обов’язково вказувати ОДЗ при розв’язанні ірраціональних
рівнянь, якщо ні, то як виключають сторонні розв’язки?
ІІ. Ознайомлення учнів з іншими способами розв’язування ірраціональних рівнянь, які не розглядаються в шкільному курсі алгебри. Виступи експертів.
1 експерт. Спосіб зведення ірраціонального рівняння до системи
раціональних рівнянь. Розглядаємо на прикладах, з поясненням.
Приклад 1. -
=0 , нехай
=а , а
=в, тоді х+1=а3, і
х-3=в2, звідси складемо систему раціональних рівнянь:
з системи маємо рівняння в2+в+2=0 коренів не має, а в=2, а=2,
=2, х+1=8, х=7.
Перевірка показує , що корінь х=7 задовольняє умову.
Відповідь: 7.
Алгоритм : 1.Введення нової змінної.
2.Складаємо систему раціональних рівнянь з новими
змінними.
3.Розвязуємо її.
4.Знайдене значення однієї змінної підставляємо в
вираз яким її позначено.
5.Розвязуємо утворене рівняння.
Приклад 2. +
= 11, нехай
=а,
=в, тоді
х+7=а2, х-4=в2, маємо:
звідси 2а=12, а=6, тоді =6, х+7=36 , х=29.
Перевірка: +
= 11.
Відповідь: 29.
2 експерт. Спосіб виділення повного квадрата. Використовують в таких ірраціональних рівняннях, в яких підкореневий вираз можна подати у вигляді повного квадрата. Розглянемо на прикладах.
Приклад 1. -
=1 , ОДЗ: х
2,
-
= 1,
-
= 1,
+1
0,
Розглянемо при яких х -1 =0,
=1, х-2=1, х=3, звідси:
а) х 3 :
+1-
+1=0, 2
1 ,
розв’язків немає.
б) 2х
3 :
+1+
-1= 1, 2
=1,
=0,5, х-2=0,25,
х=2,25.
Перевірка:
Відповідь: 2,25
Приклад 2. +
=3 , ОДЗ: х
1,
+
=3,
+
=3,
Розглянемо -1=0, х-1=1, х=2,
а) при 1х<2 : (
+1) – (
-1)=3, 2
3 ,
б) при х2 :
+
-1=3, 2
=3,
=1,5 ,
х-1=2,25 , х=3,25
Перевірка:
Відповідь: 3,25.
Зробимо невеличку перерву з користю, отримавши додаткову інформацію. Виступ доповідача з історичною довідкою.
Поняття степеня виникло в давнину у зв’язку з необхідністю обчислення площі квадрату та об’єму куба (звідси й пішли назви «квадрат» і «куб» ). Збереглися таблиці квадратів і кубів, складені за 1700 років до нашої ери у древньому Вавілоні.
Сучасні назви степенів запропоновані голландським вченим Симоном Стевіном (1548-1620). Він перший почав використовувати дробові показники степеня для позначення коренів. У наш час для добування кореня вживають для позначення: знак радикала і дробові показники. Причому позначення за допомогою радикалів є давньою традицією.
Наближені значення квадратних коренів з цілих чисел уміли обчислювати ще в древньому Вавилоні близько 4 тисяч років тому.
З степенями і коренями працював відомий іранський математик і астроном ал-Каші ( ХV).
Назва «радикал» походить від латинських слів radix-корінь та radikalis – корінний.
Починаючи з ХІІІ століття європейські математики позначали корінь словом, або скорочено r . У 1525 році у книзі чеського математика Христофора Рудольфа з’явилось позначення для квадратного кореня, для кубічного кореня він користувався знаком ▼▼▼.
У 1626 році голландський математик Альберт Жірар ввів позначення
,
, …, але тоді писали не
, а
а+в , сучасне позначення кореня вперше з’явилося в книзі французького вченого Рене Декарта (1596-1650рр.) «Геометрія».
Степені з від’ємним показником ввів шотландський математик Вільямс Уолес (1768-1843рр.).
Дробові показники степеня і найпростіші дії над ними описані в працях французького математика Нікола Ореми (1323-1382рр.). Дробові відношення в степенях Орема називав ірраціональними .
Подальшу розробку алгоритмів і правил виконання операцій над степенями з дробовими показниками здійснив французький математик Ніколя Шюке (1445-1500рр.).
П’єр Ферма (1601-1665рр.) в середині ХVІІ ст. запропонував загальний метод розв’язування ірраціональних рівнянь, зводячи їх до системи цілих алгебраїчних рівнянь.
3. Експерт. Застосування властивостей функції. Дослідження ОДЗ дає іноді змогу швидко знайти корінь .
Приклад 1.
ОДЗ :
Перевірка : x1=
x2= 3
Відповідь : - 3 ; 3 .
Приклад 2 :
ОДЗ :
Нехай
Знайдемо Є цих функцій
, якщо х=0 і cos
=1, при х=0
х=0 – розв’язок .
Відповідь: х = 0.
4.Експерт: Штучні способи розв’язання .
1.Приклад: у2 – 2у
Перейдемо до виду а2+в2=0
у2 – 2у
така рівність можлива , якщо у-
=0 і
-3=0,
звідси у= і х=9.
Перевірка:
Відповідь: ( 9 ; ).
Приклад 2. -
=2 , помножимо ліву і праву частину
рівняння на спряжений вираз :
( -
)(
+
)=2(
+
),
8=2(+
), звідси
-
=2,
+
=4, 2
=6 , х2-х+9=9, х1=0 х2=1.
Перевірка:
Відповідь: 0;1.
ІІІ. Розв’язування вправ на закріплення. Декільком учням, за бажанням, пропонуються індивідуальні картки, з збірника Сканаві:
1. +
=1, х Є
.
2. +
=7, х1=1, х2= -
.
3. -
=1, х1=30, х2= - 61.
Для колективного розв’язування пропонується приклад:
1 спосіб: стандартне піднесення до степеня.
2 спосіб: зведення до системи раціональних рівнянь.
Нехай =а,
=в, складемо систему:
а=4,
=4, 15-х=16, х= - 1.
Перевірка:
Відповідь: - 1.
3 спосіб: множення обох частин рівняння на спряжений вираз.
(+
)(
-
)=6(
-
),
12=6(-
), звідси маємо:
+
=6,
-
=2, звідси 2
=8, 15-х=16, х= - 1.
Перевірка:
Відповідь: - 1.
ІV. Підведення підсумків:
1.Схема різних способів розв’язання ірраціональних рівнянь.
2.Домашнє завдання, виконати на вибір 3 завдання ( будь-яким
способом:
а) +
=3,
б) +
=2,
в) +
+
=2,
г) cosx=,
д) +
=1.
3.Оцінювання виступаючих, і учнів які працювали біля дошки.