Презентація на тему: "Розв'язування однорідних тригонометричних рівнянь"

Розв'язування однорідних тригонометричних рівнянь Ми ніколи не станемо математиками, навіть знаючи напам’ять усі чужі доведення, якщо наш розум нездатний самостійно розв’язувати які б то не було проблеми. Рене Декарт

Мета уроку: Навчальна: Познайомити учнів з розв'язанням однорідніх тригонометричних рівнянь, створити умови для формування вмінь та навичок учнів самостійно поглиблювати знання, застосовувати їх у практичній діяльності. Розвивальна: Розвивати пізнавальну активність учнів; логічне та аналітичне мислення, інтерес до вивчення теми. Виховна: Виховувати увагу, старанність, культуру математичної мови та запису, впевненість у своїх силах.

Виконання тестових завдань 1) Назвіть значення а, при яких рівняння sin t = a має: а) має один корінь; б) жодного кореня; в) нескінчену множину коренів. 2) Які з наведених тригонометричних рівнянь є найпростішими, а які ні і чому: а) 2cosx =-1; б) sin x=1; в) 4tgx=3; г) ctg(2x/3)=0 ? 3) Яке з наведених рівнянь не має розв'язків: a) sin x=3/7; б) tg x=5; в) cos x=5/2; г) ctg x=-10 ? 4) Коренем рівняння tg x =a є t = … . 5) Яка рівність є правильною: а) б) в) ? 6) Розв'яжіть рівняння sin x=1/2. а) б) в) г) 7) Знайдіть помилку: а) б) в) г)

Однорідні рівняння Рівняння виду asin x + bcos x = 0 є однорідним рівнянням 1-го степеня, де а і b не дорівнюють нулю. Рівняння виду a sin2x + b sinx cosx + c cos2x = 0 називається однорідним рівнянням 2-го степеня,де числа а, b, с не дорівнюють нулю. Рівняння виду аn sinn x + an-1 sinn-1x cos x +... + a1 sinx cosn-1x + a0 cosn x = 0 називається однорідним рівнянням п-го степеня відносно синуса і косинуса.

Розвязати рівняння:  3 sin x + cos x = 0 3sinІ x + sin x cos x = 2 cosІ x cos2 x - 2 cos x sin x = 0.

Розвязання рівняння  3 sin x + cos x = 0 Оскільки корені рівняння соs х = 0 не є коренями початкового рівняння, то соs х ≠ 0 3 tg x + 1 = 0 tg x = - x = - + n , n   Відповідь: x = - + n , n  

Розвязання рівняння 3sinІ x + sin x cos x = 2 cosІ x 3sinІ x + sin x cos x - 2 cosІ x = 0 3tg2x + tgx - 2 = 0, тому що cos2x ≠ 0 tg x = -1 ; x = - + πk, k tg x = ; x = arctg + πn, п Z. Відповідь: - + πk, k ; arctg + πn, п Z

Розвязання рівняння cos2 x - 2 cos x sin x = 0 І спосіб (винесення множника) cos2 x – 2 cos x sin x = 0 cos x (cos x – 2 sin x) = 0 Звідси cosx = 0 або cosx – 2sinx = 0. 1) cos x = 0; x = + πп, п Z. 2) cosx – 2sinx = 0; ; l – 2tgx II спосіб. Розділимо обидві частини на sin2 x, оскільки sin x ≠ 0 в даному рівнянні, бо в супротивному випадку і cos x = 0, що неможливо. ctg2 x - 2ctg x = 0; ctgх(ctg x - 2) = 0. Звідси ctg x = 0, або ctg x = 2. ctg x = 0; x = + πп, п Z. ctg x = 2; x = arcctg 2 + πn, п Z. Відповідь: + πn, arcctg 2 + πn, п Z.

Виконання письмових вправ розв'язання рівняння 4 sin2 x - sin 2х =3 4 sin2 x - 2sin х cos x - 3 = 0 4 sin2 x - 2sin х cos x = 3 (sin2 x + cos2 x) sin2 x - 2sin х cos x - 3 cos2 x = 0 Одержали однорідне рівняння 2-го степеня. Розділимо обидві частини рівняння на cos2x ≠ 0 (оскільки, якщо cos x = 0, то й sin х = 0, що неможливо одночасно) tg2x -2 tgx - 3 = 0; tgx = t t2 - 2 t - 3 = 0; t = 3; t = -1 tgx = 3 х = аrctg 3 + k, k tgx = -1 x= - + πn, n Відповідь:- + πn, arcctg 3 + πk, n, k Z.  

Виконання письмових вправ розв'язання рівняння sin2 x +4соsІх =1 sin2 x +4соsІх =1 2sin x cos x +4соsІх = sin2 x +cos2 x sin2 x - 2sin x cos x - 3 sin2 x =0 (:cos2 x≠0) tg2x -2 tgx - 3 = 0 tgx = t; t2 - 2 t - 3 = 0 t = 3; t = -1 tgx = 3 х = аrctg 3 + k, k tgx = -1 x= - + πn, n Відповідь:- + πn, arcctg 3 + πk, n, k Z.

Розв'язання рівняння 2 sin x cosІ( - x) +3соsІ( + х) соs х - 5cos2 x sin x ( + x)= 0 2 sinі x +3 sin2 x соs х - 5cosі x = 0 (:cos2 x≠0) 2 tgі x +3 tg2 x - 5 = 0 tg x = t; 2tі +3t2 - 5 = 0 2tі -3t2 +5t2 - 5 = 0 2t2 (t -1)+ 5 (t - 1)( t + 1) = 0 t -1=0 або 2t2 +5t + 5 = 0 t =1; tgx = 1 x= + πn, n D = 25 – 40 = -15 <0 коренів немає Відповідь:- + πn, n Z.

Підсумок уроку Яким способом розвязуються однорідні тригонометричні рівняння? Що необхідно перевіряти під час розвязування однорідних тригонометричних рівнянь?

Домашнє завдання 1. Опрацювати § 28 2. Виконати ІДЗ: Розвяжіть рівняння, де А ваш порядковий номер у класному журналі 1.(3 А +1) cosІ ( + x) – 0,5(3 А -1) sin 2x = 3 А 2. (1 + 5 А) cosІ x – 0,5(1 - 5 А) sin 2x = 1