Розробка уроку «Узагальнення та систематизації знань з теми «Логарифмічна функція»»

 

-11 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОПОРНИЙ КОНСПЕКТ

«ЗОЛОТА ПРОПОРЦІЯ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗМІСТ

1. Логарифми та їх властивості………………………………………. 2

2. Прикладні задачі……………………………………………………. 3

3. Логарифмічна функція, її графік і властивості…………………… 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                           - 1 -

 

 

№3. Побудувати функцію :  в) .  (3 бали)

Розв'язання:

- 10 -

 

Пакет документів для компанії  «Теоретики»

 №3. Побудувати функцію :  а)  ;            (1 бал)

Розв'язання:

  

№3. Побудувати функцію :  б) ;       (2 бали)

Розв'язання:

                                                     - 9 -

 

Логарифми та їх властивості.

1. Логарифм числа та основна логарифмічна тотожність.

Корінь рівняння , де , називають логарифмом числа за основою .

Логарифмом числа за основою () називається показник степеня , до якого треба піднести , щоб дістати число .

Символічно це записується так:  (логарифм числа за основою дорівнює ).

Десятковими логарифмами називаються логарифми за основою 10, позначається lg.

Натуральними логарифмами називаються логарифми за основою e ( , позначається ln.                                                         

Основна логарифмічна тотожність    ( ).

2. Властивості логарифмів.

     Для будь – яких    і будь – яких  додатних і  виконуються рівності:

1. ;     2.   ;

3. Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів  

;

4. Логарифм частки дорівнює різниці логарифмів  ;

5. Логарифм степеня дорівнює добутку показника степеня на логарифм основи цього степеня              ();

6. Логарифм кореня дорівнює логарифму підкореневого виразу, поділеному на показник кореня                       ();

Наслідок          

7. Формула переходу від однієї основи до іншої:

                                                                 ();

8. Якщо логарифми двох додатних чисел за тією самою основою рівні  , то й самі числа рівні .    

3. Логарифмування та потенціювання алгебраїчних виразів.

Перехід від виразу до його логарифма називається логарифмуванням.

Операція обернена до логарифмування називається потенціюванням. Вона полягає у тому, що за логарифмом деякого виразу, відновлюється сам вираз.

- 2 -

 

Прикладні задачі

Економіка

Задача 1.  Вкладник поклав до банку 10 000 грн. під 12% річних. Через скільки років сума на рахунку подвоїться?

Розв’язання:

Гроші накопичуються на рахунку за формулою складних відсотків

    (*), 

,

lg S – lg A = n

.

                                           n =   =  .

Відповідь: вклад подвоїться через 6 років.

 

Археологія

Задача 1. Відомо, що відношення між вуглеводом С¹² і його радіоактивним ізотопом С¹⁴ в живому організмі постійне. Період напіврозпаду вуглеводу С¹⁴ складає 5760 років. Визначте вік залишків мамонта, знайдених у вічній мерзлоті на Таймирі, якщо відносний склад в них ізотопа С¹⁴ складає 26% від його кількості в живому організмі.

 

Розв’язання:

q = m                           

t = 5760

p = ½      

B = 0,26 m

 

 

                                                     - 3 -

 

 

4. Спадає при .

5. Всі властивості логарифмів.

              ;       

              ;        

              ;

              ;

              .

Приклади

1. Який висновок можна зробити щодо додатних чисел m і n, якщо

a) 1оg₅ m< 1оg₅ n       б) 1оgm>1оgn ?

                                                     Розв'язання:

a) m < n , бо за основи, більшої від 1 (а = 5),  меншому логарифму відповідає менше число.

б) m < n ,  бо за основи, меншої за 1, меншому логарифму відповідає більше число.

 2. Застосовуючи властивості логарифмічної функції, визна­чити, що більше:

а) 1оg₂ 3 чи 1оg₂ 5;      б) чи?

Розв'язання:

а) 1оg₂ 3 < 1оg₂ 5, бо а > 1;         б) 1оg3>1оg5, бо а<1.

  3. Знайти область визначення функції:  .

Розв'язання:

     ;

  ;  

      ;

     ;

      ;  

    

    Відповідь: .

                                                                  - 8 -

 

Логарифмічна функція, її графік і властивості.

Формула у = 1оg_aх виражає теж саме що й формула а^у=х. Якщо в останній формулі замінити х на у, а у на хто показує зміну степеня залежно від зміни показника, а логарифмічна, навпаки, описує зміну показника степеня залежно від зміни степеня. Тому логарифмічна функція у = 1оg_aх називається оберненою до показникової функції у=а^х.

       Логарифмічною називається функція у = 1оg_a х, де а > 0 і а 1, обернена до показникової у = а^x.

Графік логарифмічної функції називається логарифмоїдою.

Побудуємо графіки функцій та .       Складемо таблицю значень.

х				1	2	4	8
у = 1оgх
у = 1оg

 

     

Властивості логарифмічної функції

1. Область визначення логарифмічної функції множина всіх додатних чисел  D=(0;).

2. Область значень – множина всіх дійсних чисел Е= R.

3. Зростає при .

                                                     - 7 -

 

Біологія

Задача 1.

Чисельність популяції складає 5000 останнім часом вона щорічно зменшувалась на 8%. Коли чисельність популяції досягне 2000 вона почне вимирати. Скільки років залишилось існувати популяції?

Розв’язання:

           ,

         11.

Відповідь:  приблизно 11 років залишилось існувати популяції.

 

 

Задача 2.

Початкова кількість бактерій в колонії складала 8, а через 2 години після того як їх розмістили в сприятливе середовище, число збільшилось до 100. Через який період часу можна очікувати колонію в 500 бактерій.

Розв’язання:

, де Q – початкова кількість бактерій,

                                  t – час,

                                  B – кінцеве значення бактерій,

                                  P – зміна кількості в k разів,

                                  x – період часу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                     - 4 -

 

 

Географія

Задача 1. Альпіністи, які підкорювали пік Перемоги, досягли висоти, де тиск був рівний 304 мм рт. ст. обчислити на якій висоті знаходяться альпіністи, якщо   p0 = 760 рт. ст.

Розв’язання:

Висота над рівнем моря обчислюється за формулою: ,

де  p₀ – тиск над рівнем моря;  p – тиск на висоті h м.

Відповідь: 7330,2 м – висота на якій були альпіністи.

    

 Задача 2. Населення міста зростає щорічно на 3%. Через скільки років населення міста збільшиться у 1,5 раза?

Розв’язання:

,  a – населення міста на початку,

                                  A – населення міста через n років, 

                                  n– кількість років,

                                  p – відсотки.

 

 

 

 

 

 

 

                                                     - 5 -

 

Хімія

 

Задача 1. 

Обчисліть рН розчину соляної кислоти, якщо с=0,003 моль/л.

Розв’язання:     

       Для сильних кислот можна вважати, що степінь іонізації їх в розбавленому розчині дорівнює 1, тоді

.

 Відповідь: pH = 2,52

 

 

Задача 2. На скільки градусів треба підвищити температуру для прискорення хімічної реакції в 5900 раз, якщо швидкість реакції зростає в геометричної прогресії зі знаменником, що дорівнює 3 при підвищенні температури на кожні 10⁰.

Розв’язання:

                                                             

 

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                     - 6 -

Алгебра     Клас 11         Урок 18         ____ ________ 20___ р.

 

Учитель: Лавренюк Світлана Іванівна

Тема :  Проект «Золота пропорція». Узагальнення знань з теми: «Логарифмічна функція». 

Мета: 

•                Навчальна: систематизувати і узагальнити знання, вміння та навички учнів з тем: «Логарифм числа»; закріплення умінь застосовувати властивості логарифмічної функції до розв’язування вправ;
•                Розвиваюча: розвивати логічне та творче мислення, алгоритмічну інформаційну культуру, пам'ять, інтуїцію, навички групової та самостійної роботи;
•                Виховна: виховувати інтерес до математики, культуру математичної мови, думки, наполегливість, працелюбність, почуття відповідальності за спільну справу.

Тип уроку: узагальнення і систематизація знань;

Методи:  метод проектів, ігрові технології, метод мікрофона, ілюстрація презентацій, графічні роботи, розв’язування  інтерактивних вправ, рефлексія.

Обладнання: інтерактивна дошка, ноутбуки, презентації, інтерактивні вправи, опорний конспект.

Хід уроку

1. Організаційний етап

Привітання. Перевірка присутніх на уроці. Налаштування на роботу

Учитель. Добрий день! Дорогі учні! Шановні колеги! Я рада вітати всіх на нашому уроці.

Чергові прозвітуйте будь-ласка про відсутніх учнів. Дякую! Чи справились усі з домашнім завданням? Сподіваюсь, що всі отримають сьогодні лише позитивні емоції, дізнаються щось нове, цікаве та корисне для себе.

Учнів попрошу не хвилюватись, через присутність… Будьте, як завжди веселими, розумними, активними і чемними!

На столах перед вами стоять пакети документів, що містить картку самоконтролю в яку ви будете заносити свої бали  та опорний конспект.  Гарного всім настрою!

2. Повідомлення теми, формування мети та основних завдань.

Учитель. Заняття проведемо у вигляді засідання математичного холдингу, який складається з чотирьох фінансових груп:

                                        Історики,  Теоретики, Дослідники, Ерудити.

Напередодні президенти фінансових груп узгодили програму засідання холдингу. Дозвольте мені, як президенту холдингу оголосити програму засідання.

Програма засідання

1. Прес-конференція з журналістом.
2. Контроль економічних справ математичного холдингу.
3. Презентація проектів.
4. Доповідь прес-секретаря про методи роботи фінансової групи.
5. Практична реалізація продукції кожної фінансової групи.
6. Підсумок засідання.

3. Актуалізація опорних знань  (Проводиться у формі прес-конференції.)

     Учитель. Журналіст із групи «Теоретики» підготував ряд запитань на які хоче почути відповіді. Розпочнемо прес-конференцію.

  Фронтальне опитування учнів за запитаннями:

1. Що називається логарифмом числа за даною основою?
2. Що називається десятковим логарифмом і як його позначають?
3. Що називається натуральним логарифмом і як його позначають?
4. Що називається логарифмуванням? Що називається потенціюванням?

 Продовжіть думку використовуючи властивості логарифмів:

5. Логарифм добутку дорівнює …
6. Логарифм частки дорівнює …
7. Логарифм степеня дорівнює …

 

4. Перевірка домашнього завдання

4.1. Усне розв’язування вправ на обчислення логарифмів у формі інтерактивної вправи «Пазл».

Учитель. Щоб усі зрозуміли яке питання постало перед нами на початку роботи над  даним проектом наша компанія «Теоретики» пропонує президентам інших компаній скласти «Пазл». Запрошую до дошки президентів компаній «Історики», «Дослідники», «Ерудити».

Учні складають «Пазл» на інтерактивній дошці.

Учитель. Отже, сьогодні нам потрібно з’ясувати: що спільного між формою галактики, атмосферного циклону, розташуванням листків на стеблі, розміщенням насіння у соняшнику і як це стосується математики, зокрема логарифмів… 

4.2. Розв’язування тесту на сайті «На урок». https://naurok.com.ua/test/logarifmi-ta-h-vlastivosti-v-2-3066541.html

Учитель. Успіх роботи холдингу залежить від креативності та відповідальності її членів. Тому на початку роботи нашого засідання  проведемо контроль економічних справ математичного холдингу у формі тестування. Ввімкніть ноутбуки, зайдіть в класрум та виконайте тест.

5.  Мотивація навчальної діяльності:

 Учитель. Добре. Всі ви справились з тестами. Тому, ми можемо рухатись далі. Кожна фінансова група досліджувала певне питання і підготувала презентацію, щоб дати відповідь на поставлену проблему. Запрошую представити свою продукцію компанію «Дослідники».

Захист проекту «Логарифми в природі та навколо нас»

Учитель. Отже, який висновок  ви можете зробити переглянувши презентацію, яку для вас підготували компанії «Історики» та «Дослідники»  ?

Учні…

6. Виконання тренувальних вправ. 

                                  Практична реалізація продукції.

Компанія «Теоретики» підготувала пакет документів для кожної з фінансових груп. Прошу президента компанії «Теоретики» роздати пакети, а членів груп визначитись, хто яке завдання буде виконувати. Та з фінансових груп яка найшвидше справиться з завданням, виграє тендер.

 6.1. Кожна група одержує пакет документів, учасники розподіляють між собою завдання, розв’язують їх у конспектах, а потім записують на дошці коментуючи розв’язок.

Пакет документів для групи «Історики»

Знайти значення виразу:

а) ;           б)              

 в)  

г)  .     

 

Пакет документів для групи «Ерудити»

Пропотенціювати вираз:

а)  ;            

б);                

 в);

г) .         

Пакет документів для групи «Дослідники»

Прологарифмувати вираз за основою 3:

а)         ;              б) ;              в)     .  

Учитель.  Я, як президент холдингу також підготувала пакет документів.

Пакет документів для фірми «Теоретики»

1. Визна­чити, що більше:

а) чи ; б)чи        

2. Знайти область визначення функції:

                                    

3. Побудувати функцію:  

а)      ;    б)    ;

в) .

  6.2. Прикладні задачі.  Презентація творчого завдання групи  «Ерудити».

  Учитель. Тепер ми можемо перейти до розгляду прикладних задач на застосування логарифмів. Запрошуємо до виступу представника компанії «Ерудити».

Захист проекту «Прикладні задачі на застосування логарифмів».                 

7. Узагальнення матеріалу.

7.1 Фронтальне опитування учнів за запитаннями

7.2 Виконання інтерактивної вправи «Відповідність».

Учитель. Молодці, всі ви гарно підготувалися до засідання нашого холдингу  і щоб впевнитися у ґрунтовності ваших знань виконайте вправу «Відповідність».

8. Підведення підсумків уроку та оцінка виконаної роботи

Оцінки за урок виставляються за картками самоконтролю.

11. Домашнє завдання

     Розв’язати прикладні задачі №2 з біології, хімії, географії.

 

12. Рефлексія

        Закінчте речення:

• Мені на уроці сподобалося …
• Мені було легко робити на уроці …
• Мені важко було виконувати на занятті …
• Чим запам’ятався урок?

 

 

 

 

 

ПІ____________________       Клас_______     Оцінка_______

 

Варіант 1

1. Обчисліть значення виразу

А) 100;                Б) ;                     В) 2;                     Г) 10.

2. Чому дорівнює значення виразу .

А) 20;                  Б) 10;                         В) 5;                     Г) .

3. Знайдіть значення виразу .

А) 3;                    Б) -3;                        В)  ;                     Г) 9.

4. Чому дорівнює значення виразу ?

А) 3;                    Б) 5;                         В) 4;                      Г) 8.

5. Обчисліть значення виразу .

А) 6;                    Б) 9;                        В) 125;                   Г) 5.

6. Обчисліть значення виразу .

А) 3;                    Б) 4;                        В) ;             Г) 2.

7. Обчисліть значення виразу .

А) 5;                   Б) 10;                       В) 25;                     Г) 125.

8. Знайдіть значення виразу .

А) 2;                   Б) 1;                         В)                         Г) -1.

9. Обчисліть значення виразу .

А) -1;                 Б) 1;                        В) ;                Г) 

10. Чому дорівняє значення виразу .

А) ;                  Б) 2;                         В) 4;                        Г) 3.

11. Яка з наведених рівностей є правильною ?

А) ;     Б) ;      В) ;       Г)

12. Знайдіть значення виразу

А)            Б) 12;                    В) 6;                        Г) 2.

 

 

ПІ____________________       Клас_______     Оцінка_______

 

Варіант 2

 

1. Коренем якого рівняння є число 16 ?

А)        Б)          В)           Г) 

2. Обчисліть значення виразу .

А) 4;                     Б) 3;                          В) 2;                        Г) 6.

3. Чому дорівнює значення виразу ?

А) 1;                     Б) 2;                        В) 7;                          Г) 49.

4. Відомо, що Чому дорівнює значення виразу

А) ;                  Б) 2;                    B) ;                            Г)

5. Обчисліть значення виразу .

А) 0,4;               Б) 4;                         В)16;                           Г) 8.

6. Обчисліть значення виразу .

А)2;                  Б) ;                          В) -2;                           Г) -.

7. Чому дорівнює значення виразу ,  якщо ?

A) 4;                Б) 10;                         В) 7;                           Г) 5.

8. Чому дорівнює значення виразу ?

А)         Б) 2;                         В) 3;                            Г) 6.

9. Знайдіть значення виразу .

А) -5;              Б) 5;                      В) 16;                             Г) 4.

10. Чому дорівнює значення виразу ?

А) 2;               Б) 3;                      В) 4;                              Г) 9.

11. Обчисліть значення виразу .

А) 4;                Б) 10;                 В) 25;                              Г) 8.

12. Обчисліть значення виразу .

А) 4;               Б) 3;                       В) 2;                             Г)

 

 

ПІ____________________       Клас_______     Оцінка_______

 

Варіант 3

1. Обчисліть значення виразу .

А) 7;                        Б) 14;                    В) 28;                      Г) 49.

2. Чому дорівнює значення виразу , якщо ?

A) 128;                   Б) 5;                      В) 66;                       Г) 7.

3. Знайдыть значення виразу

А) 2;                       Б) -2;                    В) 4;                         Г) .

4. Обчисліть значення виразу .

А) -1;                     Б) 1;                      В) ;               Г) .

5. Чому дорівнює значення виразу ?

А) 4;                      Б) ;                      В) 3;                       Г) 27.

6. Яка з наведених рівностей є правильною?

А)      Б)  ;   В) ;     Г) .

7. Знайдіть значення виразу

А)              Б) 2;                       В) 5;                       Г) 20.

8. Яка з наведених рівностей є правильною ?

А) ;     Б) ;      В) ;       Г)

9. Знайдіть значення виразу .

А) -5;              Б) 5;                      В) 16;                             Г) 4.

10. Обчисліть значення виразу  .

А) 2;                       Б) 5;                     В) 10;                      Г) 20.

11. Чому дорівнює значення виразу

А) 125;                 Б) 5;                      В) 3;                         Г) 2.

12. Обчисліть значення виразу .

А) 0,5;              Б) 5;                          В) 10;                      Г) 25.

 

 

ПІ_________________________       Група_______     Оцінка_______

 

Варіант 4

 

1. Коренем якого рівняння є число 64 ?

А)        Б)          В)           Г) 

2. Обчисліть значення виразу .

А) 25;                   Б);               В) 3;                        Г) 10.

3. Чому дорівнює значення виразу ?

А) 6;                     Б) 9;                        В) 12;                          Г) 2.

4. Відомо, що Чому дорівнює значення виразу

А) ;                  Б) ;                    B) ;                            Г)

5. Обчисліть значення виразу .

А) 0,4;               Б) 4;                         В)16;                           Г) 8.

6. Обчисліть значення виразу .

А)3;                  Б) ;                          В) -;                           Г) -3.

7. Чому дорівнює значення виразу ,  якщо ?

A) 10;                Б) 4;                         В) 7;                           Г) 5.

8. Чому дорівнює значення виразу ?

А)         Б) 2;                        В) 3;                            Г) 75.

9. Знайдіть значення виразу .

А) -5;              Б) 5;                      В) 16;                             Г) 4.

10. Чому дорівнює значення виразу ?

А) 27;               Б) 3;                      В) 4;                              Г) 9.

11. Обчисліть значення виразу .

А) 4;                Б) 10;                 В) 25;                              Г) 8.

12. Обчисліть значення виразу .

А) 1;               Б) 3;                       В) 2;                             Г)