" Розв'язування цікавих задач." Гурткова робота.

^ 1. Розв’язування цікавих задач. 

• 
  Задача.

Хлопчика запитали, скільки в нього братів і сестер. Він відповів: „Стільки братів, скільки і сестер.” Тоді запитали сестру, скільки в неї братів і сестер. Вона відповіла: „У мене сестер удвоє менше, ніж братів”. Скільки в сім’ї братів і сестер?

Щоб полегшити розв’язування, задачу можна інсценізувати.

На середину класу викликати учня і ученицю. Відповідає учень, який себе не враховує, і тоді відповідно до його слів треба викликати ще одного учня. Тепер буде лічити дівчинка, яка також себе не враховуватиме. За її словами, не вистачає сестер, і тому кличуть ще одну дівчинку. Тепер відповідає на запитання хлопчик –– не вистачає братів –– і кличуть ще одного хлопчика на середину класу. На середині класу вже двоє дівчат і три хлопці. Після цього відповідає дівчинка, і виявляється, що не вистачає ще однієї дівчинки і хлопчика. На середину класу кличуть ще одного хлопчика і дівчинку. Тепер вже є чотири хлопчики і три дівчинки. Кількість хлопчиків і дівчаток відповідає умові задачі і є її розв’язком: у сім’ї було чотири брати і три сестри.

Після розв’язування цієї задачі можна запропонувати дітям скласти подібну задачу. Якщо учні зуміють це зробити, то вони задачу добре зрозуміли.
 

• 
  Задача 

Хлопчика спитали, скільки в нього братів і сестер. Він відповів: „Братів у мене в два рази більше, ніж сестер”. Тоді запитали сестру, скільки в неї братів і сестер. Вона відповіла: „У мене сестер утроє менше, ніж братів”. Скільки в сім’ї братів і сестер?

Задачу розв’язують аналогічно до попередньої. Хлопчик і дівчинка, відповідаючи на запитання, не враховують себе.

Розв’язання.

На класній дошці вчитель креслить дві риски, які означають хлопчика і дівчинку, а потім у другому рядку –– рисочки в двох стовпцях так, щоб це відповідало умові задачі.

З учнями можна провести таку бесіду:

–– Діти, ліва рисочка позначає хлопчика, а права –– дівчинку. Хлопчик говорить, що в нього сестер удвоє менше, ніж братів. Якщо в нього є сестра, то скільки повинно бути братів?

–– Братів повинно бути в два рази більше, тобто два.

–– Запишемо це умовно ( учитель ставить зліва, нижче від рисочки, що умовно означає хлопчика, ще дві рисочки). Дівчинка говорить, що в неї сестер утроє менше, ніж братів. Нехай в неї є одна сестра (учитель ставить рисочку справа, нижче від рисочки, що умовно позначає дівчинку). Скільки тоді в неї повинно бути братів?

–– Три брати.

–– Але тепер у хлопчика братів стільки, скільки й сестер, що суперечить умові. Очевидно, у нього було більше братів. Скільки ж у нього братів?

–– Чотири брати, тобто в два рази більше, ніж сестер.

–– Отже, нам треба зліва ще поставити дві рисочки. Але тепер у дівчинки братів у п’ять разів більше, ніж сестер, що суперечить умові. Очевидно, сестер було більше. Скільки їх було?

–– Сестер було в три рази менше, ніж братів. Якщо сестер дві, то братів повинно бути шість. 

–– Позначимо це рисочками. Тепер братів у хлопчика п’ять (його самого не лічимо), а сестер три, тобто умова задачі знову не виконується. Припустимо, що братів у нього було шість. Тоді братів буде в два рази більше, ніж сестер. Ці зміни також позначимо рисочками. Але тепер у дівчинки сестер дві, а братів сім, що знову не відповідає умові задачі. Сестер повинно бути в три рази менше, ніж братів. Нехай сестер у неї було три, тобто на одну більше (учитель ставить ще одну рисочку). Скільки повинно бути тоді братів?

–– Братів повинно бути в три рази більше, тобто дев’ять.

Учитель пропонує гуртківцям зробити відповідні зміни на малюнку. 

–– Скільки тепер у хлопчика братів і сестер?

–– Братів вісім, сестер чотири, тобто братів у два рази більше, ніж сестер.

–– А скільки в дівчинки братів і сестер?

–– Сестер три, а братів дев’ять, тобто сестер у три рази менше, ніж братів. 

Отже, умова задачі виконується. Значить відповідь така: у сім’ї було дев’ять хлопчиків і чотири дівчинки. 

Задача-жарт.

Дві дівчинки купили в магазині яблука. Одна купила 5 кг яблук, а друга 4 кг яблук. До них приєдналася третя дівчинка, і куплені яблука вони поділили порівну між собою. Третя дівчинка за одержані яблука повернула подругам 1 грн 35 коп. Скільки грошей повинна взяти перша і скільки друга дівчинка?

Відповідь. Перша дівчинка повинна взяти 90 коп., а друга –– 45 коп.

Задача-жарт.

Три групи школярів доглядали в зоологічному куточку школи кролів. Перша група доглядала половину всіх кролів і півкроля, друга –– половину того, що залишилося, й півкроля. Третя група погодилася доглядати половину того, що залишилося після другої, і півкроля. Але при цьому виявилося, що на її долю залишився один кріль. При розподілі кролів між групами жодного кроля не різали (кожна група доглядала живих кролів). Скільки кролів було в зоологічному куточку школи?

^ 2. Гра „Хто швидше?”

У грі беруть участь 2 команди по 10 чоловік. На груди гравців обох команд приколюють цифри від 0 до 9. Ведучий голосно називає багатоцифрове число з різних цифр. Наприклад, 805642, а гравці повинні швидко стати в такому порядку, щоб утворити це число. Виграє команда, яка швидше дасть більше правильних відповідей.

Тема уроку:     Геометричні фігури із сірників

Мета уроку: за допомогою нестандартних засобів навчання дати учням поняття квадрата, його основних елементів та властивостей. Розвинути в учнів уяву, абстрактне та логічне мислення. Виховати уважність, акуратність та кмітливість під час роботи.

Обладнання: репродукція картини К. С. Малевича „Чорний квадрат”, таблиця „Чотирикутники”, модель куба, політична карта світу, сірники (по 12 штук), скринька, карнавальна маска-окуляри, картон, клаптик матерії, аркуш паперу з рваними краями,
 

^ 1. Цифри в різних народів.

Першими „записами” чисел були зарубки на палиці, на дереві. Але рисочками великі числа не запишеш, та й читати їх важко і довго. Майже 5 тисяч років тому у різних народів (у Вавилоні, Єгипті, Китаї) виник новий спосіб запису чисел ––за допомогою особливих знаків –– цифр.

Вавилонці рахували не десятками, а шести десятками, тобто 60 одиниць утворюють одну одиницю наступного розряду. Наприклад, число 185 вони подавали як 3 рази по 60 і 5. Записувалося таке число за допомогою двох знаків, один з яких означав, скільки разів береться по 60, а другий –– скільки береться одиниць.

Від цією шістдесяткової системи у нас залишилося вимірювання часу. Дійсно, година складається з шістдесяти хвилин, хвилина –– з шістдесяти секунд. Поділ кола на градуси, мінути, секунди також прийшов до нас від вавилонців. 

В Стародавньому Єгипті, так як і в нас зараз, рахунок вівся десятками, але запис чисел був дуже громіздким і незручним. Наприклад, для запису двох десятків і двох сотень користувалися різними значками.

Сучасні цифри 1, 2, 3, ... 9, 0, якими користуються більшість народів світу, є цінним внеском народів Індії в скарбницю математичних знань. Те, що одна і та ж цифра може означати число одиниць, десятків, сотень або тисяч, в залежності від того, яке місце (яку позицію) в записі числа вона займає, було великим відкриттям. Така система нумерації називається позиційною.

В основі римської нумерації використаний принцип додавання (наприклад, VI=V+I) і принцип віднімання (наприклад, IX=X-I). Римська система нумерації десяткова, але не позиційна. Римські цифри виникли не з букв, а в початковому вигляді означали, як і багатьох народів, палички (І –– один, Х –– перекреслена паличка, V –– половина від десяти, сто –– кружечок з крапочкою всередині, п’ятдесят –– половина цього значка і т. п. З часом ці знаки змінилися і мають на сьогодні такий вигляд: С –– сто, L –– п’ятдесят, М –– тисяча.

^ 2. Роз’язування задач.
 

• 
  Задача.

Записати арабськими цифрами: XXV, CXIV, XCII, MMDLXXI.
 

• 
  Задача.

В даних неправильних рівностях перекласти по одній паличці, щоб рівності стали правильними:

а) VI–– IV = IX б) VI–– IV = XI в) VI + IV = XII

г) X + X = I д) X –– IX = VI е) VIII + IV = XVII
 

• 
  Задача.

Скількома нулями закінчується добуток всіх натуральних чисел від 1 до 100?
 

• 
  Задача.

Три туристи вирішили пообідати разом, для цього один із них дав дві булки, другий –– три булки, а третій –– 50 коп. Скільки із цих грошей повинен взяти перший і скільки другий турист?

^ 3. Розвага „Блискавичне додавання”.

Учитель пише на дошці чотирицифрове число (перший доданок) і пропонує одному з учнів підписати під ним друге чотирицифрове число (другий доданок). Потім учитель пише під цим числом третій доданок. Четвертий доданок пише хтось з учнів і, нарешті, п’ятий доданок знову пише учитель і відразу підбиває підсумок.

Наприклад: 7647 –– пише учитель

2914 –– пише учень

7085 –– пише учитель

5431 –– пише учень

4568 –– пише учитель

––––––––

27645

Відгадайте секрет блискавичного додавання.

Вказівка. Секрет полягає в тому, що учитель цифрами своїх доданків доповнює цифри попереднього доданка до 9. У результаті виходить 9999 + 9999 = 20000 – 2. Відповіддю буде перший доданок, перед яким треба поставити цифру 2, а останню цифру зменшити на 2.

 

^ 1. Розв’язування задач з паличками.

Палички є дидактичним матеріалом, який можна використовувати для проведення математичних ігор.

Учитель пропонує учням скласти з паличок макет будинку, різні геометричні фігури тощо. Діти складають квадрати, прямокутники, трикутники і вивчають їх властивості.
 

• 
  Задача

Побудувати з 11 паличок будиночок. Потім повернути його до себе іншим боком, переклавши тільки одну паличку.
 

• 
  Задача.

Скласти з 12 паличок 4 квадрати. Забрати дві палички так, щоб утворилось два квадрати.
 

• 
  Задача.

Скласти з 12 паличок 4 квадрати. Перекласти 3 палички так, щоб утворилось 3 квадрати.
 

• 
  Задача.

Скласти з 12 паличок 4 квадрати. Скласти з 12 паличок шестикутник так, щоб у ньому вийшло 6 трикутників.
 

• 
  Задача.

З 9 паличок побудувати терези.
 

• 
  Задача.

З 5 паличок скласти 2 трикутники.
 

• 
  Задача.

З 7 паличок скласти 3 трикутники.
2. Гра-задача.

Учитель зачитує учням умову задачі і креслить квадрат з буквами на дошці, а учні замальовують його за допомогою лінійки і косинця на картках і записують розв’язування задачі, працюючи кожен самостійно. Тут переслідується подвійна мета: вчать учнів малювати квадрати і повторюють всі чотири дії над числами в межах ста.
 

Яке число позначає кожна буква в квадраті, якщо відомо, що 
 

1. 
   А дорівнює сумі К і З;
2. 
   К в три рази менше від Л;
3. 
   Л дорівнює сумі М і О;
4. 
   М дорівнює різниці Н і Р;
5. 
   Н в три рази більше за З;
6. 
   З є сумою Р і О;
7. 
   О в два рази більше від Р;
8. 
   Р в чотири рази менше від 36.

Розв’язання.

1) 36 : 4 = 9, Р = 9.

2) 9 * 2 = 18, О = 18.

3) 9 + 18 = 27, З = 27.

4) 27 * 3 = 81, Н = 81.

5) 81 – 9 = 72, М = 72.

6) 72 + 18 = 90, Л = 90.

7) 90 : 3 = 30, К = 30.

8) 27 + 30 = 57, А = 57.

Результати дій на дошці записує учень, який перший виконав завдання.
 

^ 1. Метрична система мір.

Важко уявити собі людину, яка б нічого не виміряла. Чи зловила вона рибину, чи вбила звіра, чи вирішила побудувати житло, чи робить запас продуктів на зиму – скрізь, в будь-якій діяльності, людина здійснює різні вимірювання і обчислення. Аля при цьому їй потрібні різні міри довжини, маси, об’єму. Першими мірами довжини були, звичайно, розміри частин тіла людини (пальці рук, лікоть, долоня, крок, розмах руки і т. д.)

Інколи і до цього часу для вимірювання невеликих відстаней ми використовуємо кроки. Для вимірювання земельних ділянок такої довжини було недостатньо, і тому з’явилася нова міра: подвійний крок, тисяча подвійних кроків, тобто миля. У різних народів зустрічаються різні міри довжини: „рев буйвола”, тобто відстань, на яку чути ревіння буйвола, „крик півня”, „поки закипає казан води”, тобто відстань, на яку віддаляється людина за цей час, „стріла”, тобто дальність польоту стріли, „бука”, тобто відстань, на якій людина перестає бачити окремо роги буйвола (в Сибірі). В Японії мірою довжини був „підкова коня”, тобто лях, який проходить кінь, доки не зітре солом’яну підошву (японська “підкова”). Індійці при купівлі землі вважали за одиниці вимірювання територію, яку могла обійти людина за один день. Тому покупці наймали з цією метою найшвидшого бігуна.

Для вимірювання невеликих відстаней користувалися мірами, які мали назви „лікоть”, „п’ядь”, „долоня”. В XIVст. в Англії король Едвард ІІ ввів ще меншу одиницю довжини –– дюйм. Дюйм „дорівнює довжині трьох ячмінних зерен, які вийняті із середньої частини колоска і прикладені одне до одного своїми кінцями”. 

У 1101 році в Англії за одиницю довжини взяли відстань від кінчика носа короля Генріха І до кінця середнього пальця його витягнутої руки. Цій одиниці дали назву „ярд”.

У вавилонців була дуже цікава за своїм походженням міра довжини ––стадій. Стадій дорівнював тій відстані, яку людина проходила за проміжок часу від появи першого променя сонця до того моменту, коли весь сонячний диск підніметься над горизонтом. Такий „схід” сонця продовжується майже дві хвилини, за цей час людина може пройти від 185 до 195 метрів.

Всі ці міри і багато інших (міри маси, об’єму) були часто випадковими і не дуже зручними. Через неправильні вимірювання, обважування виникали сварки, незадоволення. Часто навіть в одній країні не було єдиних мір вимірювання. Крім того, між існуючими мірами не було зручних співвідношень. В зв’язку з розвитком торгівлі між країнами виникла необхідність впорядкувати існуючі міри.

Багато вчених і практиків в багатьох країнах працювали над створенням нових, єдиних мір. В 1875 році представники майже 20 країн підписали договір про прийняття єдиної метричної системи мір. Були виготовлені еталони метра і кілограма, і ці еталони видані державам –– членам метричної конвенції. Велика роль у створенні цієї єдиної міжнародної метричної системи належить Петербурзькій Академії наук і перш за все одному з її членів Б.С. Якобі. 

Учитель коротко знайомить учнів з Міжнародною системою одиниць СІ, Міжнародним бюро мір і ваг.

2. Розв’язування задач.
 

• 
  Задача.

Як би ви назвали відомий роман Жюля Верна „20000 льє під водою” в існуючих нині одиницях довжини? ( Вказівка: морське льє дорівнює 5555м.)

В цьому ж романі йде мова про загадкову істоту довжиною 3 милі і шириною одна миля. Чи можете ви уявити собі розміри цієї істоти? ( Вказівка: морська миля дорівнює 1852 м.)
 

• 
  Історичні задачі.

• 
  Окрест некоего града бяше водный ров, имеющий внешнее окружение 440 аршин, широта же его 14 аршин. И ведательно есть, колико аршин имать по внутреннему окружению. ( Задача Л.П.Магніцького з „Арифметики”, 1703р).
• 
  Собака вгледів у 150 сажнях зайця, який перебігає за 2 хв 500 сажнів, а собака за 5 хв –– 1300 сажнів. Через який час собака дожене зайця. (Задача Ю.Д.Войтяховського з підручника „ Курс математики”, 1787р). 

3. Софізм

Відомо, що 2 кг = 2000г, 3кг = 3000г.

Перемножуючи почленно, дістанемо: 6кг = 6000000г

Виконуючи почленне ділення, матимемо 2/3 кг = 2/3г.
 

^ 1. Використання стародавніх мір.

Міри довжини, якими користувалися наші пращури, зв’язані з назвами частин тіла людини. П’ядь –– відстань між кінчиками пальців мізинця і великого при їх найбільшому віддалені; лікоть –– відстань від ліктя до першого суглобу середнього пальця; сажень –– відстань між кінчиками пальців витягнутих у протилежні боки рук. 

Починаючи з ХVIII ст. аж до 1917 року в Україні існувала така система мір довжини: 

1 миля = 7 верст; 1 миля = 7,5 км.

1 верста = 500 сажнів; 1 верста = 1,07 км.

1 сажень = 3 аршини; 1 сажень = 2,13 м.

1 фут = 12 дюймів. 1 фут = 30,5 см.

Стародавньою мірою маси була гривна, яка пізніше стала називатися фунтом. В кінці XVII ст. найбільш поширеними були міри, які частково збереглися і до сьогоднішнього дня: 

1 пуд = 40 фунтів;

1 фунт ≈ 410 г.;

1 пуд = 12 кг.

Мірами грошей були: гривна срібла; гривна куни; рубль; куна; біла та ін. Гривна срібла дорівнювала чотирьом гривням кун. Рубль –– це половина гривни срібла. Гривну срібла розрубували навпіл і отримували злиток рубль. Половина рубля називалася полтина. Грошові одиниці куни і біли отримали свою назву від назви хутра куниць і білок, які раніше були одиницями обміну.

^ 2. Розв’язування задач.
 

• 
  Задача.

Скільки кілограмів містить 1 ласт і 1 берковець, якщо 1 ласт = 72 пуди, а 1 бер-ковець = 10 пудів?
 

• 
  Задача.

У книжці було 825 сторінок. Скільки цифр використали для нумерації всіх її сторінок?
 

• 
  Задача.

Під час ділення деякого числа на 180 в остачі отримали 120. Чи буде ділитися дане число на 60?
 

• 
  Задача.

Довести, що коли добуток двох чисел –– число непарне, то сума цих чисел –– число парне.

^ 3. Розвага „Відгадування двох задуманих цифр”.

На дошці прикріплюють великий аркуш паперу з двома стовпчиками цифр, від 1 до 9 у кожному. В одному стовпчику цифри написані одним кольором, а в другому –– іншим. Учні задумують по одній якій-небудь цифрі з кожного стовпчика. Потім за вказівкою вчителя виконують такі дії: 

а) цифру першого стовпчика множать на 2;

б) до добутку додають число с, назване вчителем;

в) знайдену суму множать на 5;

г) до добутку додають задуману цифру з другого стовпчика.

Щоб дізнатися, які дві цифри задумав учень, треба від числа, яке він дістав у результаті обчислень відняти 5с. Тоді цифри знайденого двоцифрового числа покажуть, які цифри задумав учень.

Над секретом розваги думають всі присутні на занятті гуртка. Якщо не буде бажаючих пояснити суть цієї розваги, то секрет пояснює учитель.
 

^ 1. Розв’язування задач з ілюстраціями.

Пропоновані учням задачі краще за все розпочинати з ілюстрацій, тоді їх розв’язування стане значно простішим.
 

• 
  Задача.

На одну шальку терезів поклали головку сиру, а на другу –– ¾ такої головки сиру і ще гирю в 1 кг. Терези зрівноважилися. Яка маса головки сиру?
 

• 
  Задача.

Собака і поросятко мають таку ж масу, як і 5 ящиків. Маса поросятка дорівнює масі 4 кішок. 2 кішки і поросятко мають таку ж масу, як і 3 ящики. Маса скількох кішок дорівнює масі однієї собаки?

Відповідь: собака важить стільки, скільки важить 6 кішок. 
 

• 
  Задача.

На одній шальці терезів пляшка і стакан, а на другій –– глечик. Терези зрівноважені. Переставимо стакан на другу шальку терезів, глечик приймемо зовсім і на другу шальку терезів поставимо тарілку. Терези знову будуть зрівноважені. Приймемо з першої шальки терезів пляшку і замість неї поставимо два однакових глечики, а на другій шальці стакан замінимо двома однаковими тарілками. Отримаємо, що два глечики зрівноважились трьома тарілками. У скільки разів пляшка важча стакана.
 

• 
  Задача.

Листоноша сказав: „Я сьогодні піднімався 5 разів на дев’ятий поверх і 10 разів на п’ятий поверх. Якби я не спускався кожен після вручення телеграми вниз, а весь час піднімався наверх, то я б піднявся на ... поверх!” На який же поверх? 
 

• 
  Задача.

При діленні деякого числа на 57 цифру тисяч „8” прийняли за „3”, а цифру одиниць „7” прийняли за „4” і отримали частці 241, а в остачі 37. Найдіть правильну частку і правильну остачу. 

 

• 
  Задача.

Як 9 дерев посадити в 10 рядів, щоб в кожному ряді було по 3 дерева?

^ 2. Гра „Поклади кружечок останнім”.

Для проведення гри заздалегідь готують картонний квадрат розміром 21х21см. і 49 картонних кольорових кружечків діаметром 3 см. Кожний кружечок прикріплений до швацької булавки. 

Учитель викликає до себе одного учня і, чергуючись з ним, приколює кружечки до кіл, накреслених на прямокутнику. Їх можна приколювати тільки на вільні місця поруч з уже приколотими. Учитель приколює свій кружечок останнім і виграє. Це відбувається кілька разів. Завжди виграє учитель –– він приколює свій кружечок останнім.

Вказівка: щоб виграти, учитель перший кружечок приколює у центрі квадрата, а всі інші –– симетрично до приколотих суперником відносно центра.

 

^ 1. Розв’язування задач по підготовці до олімпіади. 
 

• 
  Задача.

Сума двох чисел 583. Одне з цих чисел закінчується нулем. Якщо цей нуль закреслити, то отримаємо друге число. Знайдіть ці числа. 
 

• 
  Задача.

В шестицифровому числі крайня ліва цифра 5. Якщо цю цифру перенести в кінець числа справа, то отримаємо число, яке в 4 рази менше початкового. Знайти початкове число.
 

• 
  Задача.

Під час опитування в одному місті виявилося, що серед 800 опитаних мешканців 430 читають газету „Голос України”, 220 читають газету „Україна молода”, 180 читають ці обидві газети. Скільки людей з числа опитаних не читають ні однієї із цих газет? 
 

• 
  Задача.

Найти суму всіх цілих чисел від 1 до 200.
 

• 
  Задача.

Знайти найбільше трьохцифрове число, яке як і при діленні на 5, так і при діленні на 6 і на 7 дає в остачі 1. 
 

• 
  Задача.

З Москви до міста А потяг їхав зі швидкістю 90 км/год, а назад –– зі швидкістю 110 км/год. Знайти середню швидкість потяга в обидві сторони.
 

• 
  Задача.

Іра, Марина, Михайло і Василь збирали гриби. Іра зібрала грибів найбільше, Марина –– не менше за всіх. Хто зібрав грибів більше: дівчатка чи хлопчики?
 

• 
  Задача.

В деякому місяці три суботи випадали парними числами. Яким днем тижня було 28 число цього місяця? 

 

• 
  Задача.

Відновити пропущені цифри:

. . 8 . 

. 7 .

–––––––––

3 . . . 0

. . 0 . 2

. . . 3 .

––––––––––––

. . . 9 . . .
2. Гра „Сходинки”.

Кожен гравець отримує картку, на якій намальовані сходинки, в їх рядках по дві клітинки. За сигналом вчителя всі гравці пишуть будь-яке двоцифрове число на верхній сходинці. Потім зносять останню цифру написаного числа в наступний вертикальний рядок. До знесеної цифри приписують другу цифру так, щоб отримати непарне число. Потім знову зносять останню цифру по вертикалі в наступний рядок і приписують одну цифру так, щоб отримане число ділилося на три, потім на 4, на 5 і т.д. до 10. Виграє той, хто першим правильно закінчує „сходинки”. 
 

^ 1. Розв’язування задач по підготовці до олімпіади.
 

• 
  Задача.

Двоцифрове число закінчується цифрою 3. Якщо це число додати до числа, записаного тими самими цифрами, але в зворотному порядку, то дістанемо 55. Знайти двоцифрове число. 
 

• 
  Задача.

Якщо учень купить 4 зошити, то в нього залишиться 60 коп., а на 5 зошитів йому не вистачить 25 коп. Яка ціна зошита?
 

• 
  Задача.

На скільки сума всіх двоцифрових чисел, що закінчуються цифрою 7, більша від суми всіх двоцифрових чисел, що закінчуються цифрою 4.
 

• 
  Задача.

Коли два брати по дорозі до школи пройшли 240 м., старший згадав, що забув удома альбом, і повернувся, а молодший продовжував свій шлях. Старший брат узяв альбом і відразу пішов до школи. Коли він підійшов до того місця, звідки повертався, то молодший брат саме заходив до школи. Яка відстань від дому братів до школи?
 

• 
  Задача.

Маса 9 кульок така сама, як маса 2 кубиків і 2 шайб. Шайба у 2 рази легша від кубика. Скільки кільок треба взяти, щоб їх маса дорівнювала масі 1 кубика?
 

• 
  Задача.

У 5 малих і 2 великих коробках 48 олівців, а в 3 малих і 2 великих –– 36 олівців. Скільки олівців у малій коробці?
 

• 
  Задача.

Скількома нулями закінчується добуток натуральних чисел від 1 до 25?
 

^ 1. Принцип Діріхле.

Суть принципу Діріхле варто показати на такому прикладі: „Якщо є 10 кліток, в яких треба розмістити більше ніж 10 пташок, то в якій-небудь клітці буде більше ніж одна пташка. Цей принцип очевидний, але застосовувати його не завжди легко, тому що не всі можуть зрозуміти суть задачі. 

Учитель разом з учнями розв’язує таку задачу: „у хвойному лісі 900000 ялинок і ні на одній із них не більше 600000 голочок. Довести, що принаймні у двох ялинок кількість голок однакова”.

Доведення. Припустимо, що ми змогли порахувати кількість голок на кожній із 600001 ялинок. При цьому виявилося, що всі ялинки мали різне кількість голок: 0, 1, 2, ... 600000, тобто із 900000 ялинок ми вже вибрали 600001 ялинку, що мають різну кількість голок. Якщо ми візьмемо ще одну ялинку, то у неї буде голок стільки, скільки в однієї із вибраних раніше, тобто знайдеться дві ялинки з однаковим числом голок. (тут ми ялинки розміщували в 60001 „клітку” з номерами 0, 1, 2, ... 60000).

^ 2. Розв’язування задач.
 

• 
  Задача.

У магазин привезли 34 ящики з яблуками трьох сортів, при чому в кожному ящику лежали яблука якогось одного сорту. Чи можна знайти 12 ящиків з яблуками одного сорту?
 

• 
  Задача.

В Ящику лежали кольорові олівці: 10 червоних, 8 синіх, 8 зелених, 4 жовтих. В темряві беремо із ящика олівці. Яку найменшу кількість олівців треба взяти, щоб серед них було: а) не менше 4 олівців одного кольору; б) хоч би 1 олівець кожного кольору; в) не менше 6 синіх. 
 

• 
  Задача.

Через 2 роки хлопчик буде в два рази старшим, ніж він був 2 роки тому. А дівчинка через 3 роки буде в три рази старша, ніж була три роки тому. Хто старший: хлопчик чи дівчинка?
 

• 
  Задача.

У скільки разів сходи на 6 поверх будинку довші за сходи на 2 поверх цього самого будинку?

^ 3. Розвага „Відгадування задуманого числа”.

Учитель пропонує учням задумати будь-яке число і помножити його само на себе. Далі до задуманого числа треба додати будь-яке парне число і знайдену суму також помножити саму на себе. Потім знайти різницю одержаних добутків і назвати її вчителеві. Учитель запитує учня, яке число він додавав до задуманого, і вгадує задумане число.

Вказівка. Треба вказаний учнями результат поділити на подвоєне число, яке додавали до задуманого, і від частки відняти половину числа, яке додавали до задуманого.

План-конспект дванадцятого заняття гуртка

1. Геометричні головоломки.
 

• 
  Задача.

Чи можна циферблат годинника поділити на 6 частин так, щоб у кожній частині було 2 числа і суми їх були однакові?
 

• 
  Задача.

9 точок розташовані у три стовпчики по три точки в кожному. Як не відриваючи олівця від паперу перекреслити їх чотирма відрізками?
 

• 
  Задача.

Діти побудували чотирикутну снігову фортецю з баштами по вершинах. Грали дві команди: одна обороняла фортецю, а інша наступала. В першій команді 40 дітей. Учасники оборони повинні виставити своїх воїнів на кожній стіні по 12 (враховуючи і тих, хто в башті). Якщо після атаки противника число учасників, що стоять на кожній стіні, стане менше 12, то перемога за наступаючими. Нападаючі атакували фортецю 3 рази, кожен раз убивали по 4 воїни, та все ж перемоги не здобули. Як це сталося?

Відповідь. Спочатку в баштах було по 2 воїни, а на стінах по 8. Після першої атаки в баштах поставили по 3 воїни, а біля стін по 6. Після другої атаки в баштах стало по 4 і біля стін також по 4 воїни. Після третьої атаки в баштах вже було по 5, а біля стін по 2 воїни. В усіх випадках на кожній стіні було по 12 воїнів, враховуючи і тих, що були в башті. 
 

• 
  Задача.

Розставити 12 стільців у кімнаті так, щоб 

а) у двох рядах було по 4 стільці, а в одному 6;

б) біля кожної із чотирьох стін було по 4 стільці;

в) 2 стільці стояли посередині кімнати, а інші –– біля чотирьох стін, порівну біля кожної. 
 

• 
  Задача.

Розставити 10 стільців по 3 біля кожної стіни кімнати.

^ 2. Гра „Відгадування дня народження”.

Учитель пропонує, щоб кожен учень виконав такі обчислення: порядковий номер місяця, в якому він народився, помножив на 100, додав до добутку число дня народження, суму подвоїв, до результату додав 8, це число помножив на 5, до добутку додав 4, помножив результат на 10, додав 4 і до знайденого числа додав свій вік (кількість років). 

Коли учень повідомляє вчителю свій кінцевий результат, останній віднімає від нього 444, різницю ділить на грані, справа наліво, по дві цифри в кожній і дістає день і місяць народження учня, а також його вік. Наприклад, коли він дістав число 41914, то, поділивши його на грані, матимемо: 4–19–14, тобто учень народився четвертого місяця, дев’ятнадцятого числа, а його вік чотирнадцять років.

 

^ 1. Л. П. Магницький і його „Арифметика”.

„Арифметика” була написана Леонтієм Пилиповичем Магницьким у 1703 році. У ній були зібрані не тільки відомості із арифметики, а й основи знань з алгебри, геометрії, астрономії, метеорології. Цю книгу цілком можна назвати енциклопедією математичних знань того часу.

З дитячих років Леонтій виділявся серед ровесників своєю допитливістю і вмінням самостійно пізнавати оточуючий світ: він майже без сторонньої допомоги навчився читати, писати, рахувати, а пізніше вивчив латинську, грецьку, німецьку, іспанську мови.

Математику він теж вивчав самостійно, причому в обсязі значно більшому ніж було викладено в російських рукописах XVII ст. Не дивлячись на те, що він був добре знайомий з європейськими підручниками з математики, його книга була цілком самостійним твором, про що свідчать задачі, зв’язані з російським життям, своєрідні способи подачі матеріалу, розраховані на його самостійне вивчення. 

Про самого Магницького відомо небагато. Народився він у 1669 році, а помер у 1739 році. Він був сином селянина Телятина, у дитинстві потрапив у Московський монастир, де отримав деякі знання, особливо з мов. Петро І дуже цінував Магницького за велику освіченість, за вміння передавати іншим свої знання і вважав, що „як магніт притягує до себе залізо, так і він природними своїми здібностями звернув на себе увагу”. Цар замінив йому прізвище з Телятина на Магницького. Магницький багато років пропрацював у Московському морському училищі вчителем математики. Заслуга Магницького в тому, що він створив основу для розвитку математичної освіти в Росії.

^ 2. Розв’язування задач із книги Магницького.
 

• 
  Задача.

Некий человек нанял работника на год, обещав дать ему 12 рублей и кафтан, но тот, проработав 7 месяцев, восхотел уйти и просил достойной платы с кафтаном; хозяин дал ему по достоицу расчет 5 рублей и кафтан, и ведательно есть, коликой цены оный кафтан был? (4 руб. 80 коп).
 

• 
  Задача.

Послан человек из Москвы в Вологду, и велено ему в хождении своем совершать на всякий день по 40 верст; потом другой человек в другой день послан ему в след и велено ему идти на день 45 верст и ведательно есть, коликий день постигнет второй первого? (через 8 дней).
 

• 
  ^ Забава Магницького.

Один из участников игры берет кольцо и надевает на один из пальцев, на один из суставов. Требуется угадать, у кого, на каком пальце и на каком суставе находиться кольцо.

Перенумеруем участников игры, перенумеруем пальцы и суставы. Ведущий предлагает:

а) номер участника, взявшего кольцо, умножить на 2;

б) к полученному произведению прибавить 5;

в) полученную суму умножить на 5;

г) к произведению прибавить номер пальца, на котором кольцо;

д) сумму умножить на 10;

е) к произведению прибавить номер сустава, на котором кольцо.

Ответ. Ведущий от полученного числа отнимает число 250, тогда число сотен – номер участника, число десятков –– номер пальца, а число единиц –– номер сустава.

 

^ 1. Перекладання предметів.
 

• 
  Задача.

На книжній полиці безладно стоять книжкові томи: 1, 2, 6, 10, 3, 8, 4, 7, 9, 5. Потрібно розмістити їх по порядку від першого до десятого, але книги дозволяється брати лише по дві сусідні і ставити їх разом на інше місце не розділяючи. Завдання потрібно виконати переставивши три пари.

Відповідь: переставимо 4 і 7, отримаємо: 1, 2, 6, 10, 3, 4, 7, 8, 9, 5. Переставимо 6 і 10, отримаємо: 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 5, 6, 10. Перекладемо 5 і 6, отримаємо правильне розташування. 
 

• 
  Задача.

На столі по прямій лежать 4 чорних шашки і 4 білих (білі і чорні чергуються). За один хід можна будь-які дві шашки, що стоять поряд перенести на нове місце вздовж цієї прямої. За чотири ходи потрібно переставити шашки так, щоб зліва стояли 4 чорні, а справа –– 4 білі.
 

• 
  Задача.

В опуклому многокутнику 100 вершин, які пронумеровані за годинниковою стрілкою. Діагоналлю, яка з’єднує 42 і 81 вершини, многокутник розрізаний на дві частини. Скільки сторін має кожен із отриманих многокутників?
 

• 
  Задача.

50 коней розмістили у 7 конюшень. Довести, що хоч в одній конюшні більше як 7 коней.

2. Задача-жарт.

Скільки кінців у трьох палиць? У чотирьох з половиною палиць? У двох з чвертю?

 

^ 1. Розв’язування цікавих задач.
 

• 
  Задача.

Два автобуси виїжджають одночасно з автобусної станції. Один автобус робить свій рейс за дві години, а другий за три. Через скільки годин вдруге зустрінуться автобуси на станції?

Відповідь: Потрібно знайти число, яке ділиться на 2 і 3 без остачі. Таким найменшим числом є 6. автобуси вдруге зустрінуться через 6 годин.
 

• 
  Задача.

Довести, що добуток двох будь-яких послідовних парних чисел ділиться на 8.
 

• 
  Задача.

В трьох ящиках 22, 14 і 12 яблук. Шляхом трьох перекладань потрібно зрівняти кількість яблук в цих ящиках, але із ящика можна перекладати в інший стільки, скільки яблук уже є в цьому другому ящику.

^ 2. Розв’язування задач-жарт.

 

• 
  Задача.

Летіли качки. Одна попереду, дві позаду; одна позаду і дві попереду; одна між двома і три в ряд. Скільки летіло качок? 
 

• 
  Задача.

У кошику лежало 5 яблук. Чи можна поділити їх порівну між 5 товаришами так, щоб одне яблуко залишилося в кошику.
 

• 
  Задача.

Півтори курки за півтора дні знесуть півтора яйця. Скільки яєць знесуть 3 курки за 4 дні?
 

• 
  Задача.

Щука важить стільки, скільки важить кілограм та півщуки. Яка вага щуки?

 3. Розв’язування задач-загадок.
 

• 
  Задача.

Як записати число 100, використавши 5 одиниць?
 

• 
  Задача.

Скільки буде, якщо 88 поділити навпіл?
 

• 
  Задача.

Як за допомогою трьох кілочків, кільця і мотузки припнути козу, щоб вона могла їсти траву лише на частині поля, яка має форму півкруга?
 

• 
  Задача.

Двоє грали 2 години. Скільки годин грав кожен з них?
 4. Фокус „Знову п’ять”.
Задумайте число, додайте до нього наступне за ним, додайте до результату 9, поділіть на 2, відніміть задумане. У вас завжди вийде 5.

 1. Математичні ігри.
 

• 
  Гра „Знаючі і вміючі”.

Всі учні діляться на дві групи. Одній групі дається назва „Знаючі”, а другій –– „Вміючі”. Перемагає та група учнів, яка правильно розв’яже такі задачі:

а) Якою цифрою закінчується сума 26*27*28+51*52*53?

б) Які цифри заховані за зірочками?

6*

**

–––––

**

**

–––––

**6

в) Два учні вирішили купити по одній книжці. Одному з них не вистачало на покупку 1 грн., а другому –– 42 грн. Коли вони склали свої гроші, їм не вистачило цих грошей для покупки навіть однієї книжки. Скільки коштує книжка? Скільки грошей було в кожного учня? 
 

• 
  ^ Гра „Хто швидше”.

Поставте ліворуч від знаків рівностей між числами знаки плюс і мінус так, щоб рівності були правильними:

2 6 3 4 5 8 = 12

9 8 1 3 5 2 = 12

Перемагають ті учні, які першими виконують завдання.
 

• 
  ^ Гра „Хто перший відгадає”.

Для цієї гри слід заздалегідь виготовити 5 паперових прямокутників розміром 15Х10 см. Два з них –– білого кольору, а три –– зеленого чи якогось іншого.

Вчитель викликає трьох учнів і пропонує стати в ряд. Показує їм прямокутники, потім кожному з них приколює шпилькою на спину по одному зеленому прямокутнику, а два білих прямокутники ховає в кишеню так, щоб учні цього не бачили.

Далі кожному з учнів пропонує подивитися, якого кольору прямокутники на спинах двох інших і відгадати колір свого прямокутника. Перемагає той, хто перший це зробить.

^ 2. Фокус „Хто взяв перо, а хто гумку”.

Вчитель кладе на стіл перо і гумку. Пропонує двом учням взяти одному –– перо, а другому –– гумку. Хто яку річ узяв, він не знає. Перу відповідає число 7, а гумці –– 9.

Одному учневі вчитель пропонує помножити своє число на 2, а другому на 3. Далі вчитель каже: „Додайте результати і скажіть мені знайдену суму або скажіть, чи ділиться ця сума без остачі на 3.

Якщо знайдена сума ділиться на 3, то перо у того учня, який множив своє число на 3. Якщо знайдена сума не ділиться на 3, то гумка у того учня, який множив своє число на 3.