Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь БСШ №16 Кірєєва Ю. Т

До найпростіших тригонометричних рівнянь належать рівняння виду:

Розв’яжемо рівняння sinx=a за допомогою графічного способу. Для цього нам потрібно знайти абсцисси точок перетину синусоїди y1 = sinx і прямої y2 = a. В цьому випадку пряма y = a не перетинає графік функції y= sinx . Отже, точок перетину немає. Тому рівняння коренів не має. I випадок: a[–1;1]xy10−1y = a, a>1y = a, a<–1aa

xy10−1 Очевидно, що в цьому випадку точок перетину безліч, причому їх абсцисси визначаються наступним чином:a1) Розглянемо точку, абсциса якої належить проміжку 2) Абсциса цієї точки – це число(кут), синус якого дорівнює a, тобто значення цього числа дорівнює arcsina. . 3) Абсциса другої точки належить відрізку [–; ] і дорівнює (–arcsina). Щоб це пояснити достатньо пригадати, що sinx = sin(–x).4) Всі інші абсцисси точок перетину отримуємо враховуючи періодичність функції y = sinx (Т=2n, де nZ). Завдання: назвіть абсциси двох наступних точок перетину справа. II випадок: a[–1;1]Відповідь: (arcsina+2π) і (3π – arcsina).

xy10−1a Отже, всі корені в цьому випадку можна записати у вигляді сукупності: Або, ці два записи об’єднують в одну формулу (подумайте, як це пояснити):

xy10−1 Ці три значення – особливі ! Для них загальна формула коренів, отримана нами попереду, не підходить. Спробуйте самостійно записати розв ’язки рівняння sinx=a для кожного випадкуy=1y=0y= –1 Запам’ятайте ці частинні випадки розв ’язків рівняння sinx =а III випадок: a = –1; a = 0 або a = 1.

xy10−1 Розв’яжемо рівняння cosx=a теж за допомогою графічного способу. Для цього нам потрібно знайти абсцисси точок перетину косинусоїди y = cosx та прямої y = a. I випадок: a[–1;1]Очевидно, що в цьому випадку точок перетину немає. Тому рівняння коренів не має.y=a, a>1y=a, a< –1aa

0y1x−1 Розв ’язки рівняння tgx = a дослідіть самостійно :a

0y 1x−1 Розв ’язки рівняння сtgx = a дослідіть самостійно :a

Розв’язання будь-яких тригонометричних рівнянь зводиться до розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь, які ми розглянули вище. Для цього застосовуються відомі Вам тотожні перетворення, різні тригонометричні формули, різні способи розв’язування алгебраїчних рівнянь, формули скороченого множення и т.п. Отже, запам’ятайте : a[–1;1]

Формули коренів найпростіших тригонометричних рівнянь1. sint = а, де |а| ≤ 1 або. Частинні випадки1) sint=0t = 0+πk‚ kЄZ2) sint=1t = π/2+2πk‚ kЄZ3) sint = - 1t = - π/2+2πk‚ kЄZ2. tgt = а, аєR t = arctg а + πk‚ kєZ3. ctgt = а, аєRt = arcctg а + πk‚ kєZ

ctg t = a

Алгоритм розв’язування найпростішого тригонометричного рівняння Визначити тип рівняння. (cosx = а, sinx = а, tgx = а чи ctgx = а). Якщо це один із двох перших типів, то з’ясувати загальний чи окремий випадок. Застосувати відповідну формулу

1. Найпростіше тригонометричне рівняння cosx = а.

2. Найпростіше тригонометричне рівняння sin x = a.

3. найпростіші тригонометричні рівняння tg x = a , ctg x = a

Неочікуванеопитування

1. Яка функція називається оборотною? Функція f називається оборотною на деякому проміжку якщо на цьому проміжку до неї існує обернена

2. Необхідна умова оборотності функції. Для того щоб функція була оборотною, необхідно щоб вона кожне своє значення приймала лише раз на області визначення.

3. Достатня умова оборотності функції. Для того, щоб функція була оборотною, достатньо щоб вона була монотонною (зростаюча або спадна )

4. Чи задовольняють умови оборотності тригонометричні функції для довільних значень змінної x ? Ні. Оскільки не виконується необхідна умова оборотності

5. Як ми вирішуємо цю проблему? Розглядаємо дані функції на окремому інтервалі, де виконуються необхідна та достатня умови оборотності.

6. Що називається арксинусом числа a?Арксинусом числа а називається таке число із проміжку синус якого дорівнює а.

7. Що таке арккосинус числа а? Чому дорівнює арккосинус від’ємного аргументу? Арккосинусом числа а називається таке число з проміжку [0; π], косинус якого дорівнює а. arccos (-а) = π - arccos а.

8. Що таке арктангенс числа a ?Арктангенсом числа а називається таке число з проміжку , тангенс якого дорівнює а.

9. Що таке арккотангенс числа a ? Чому дорівнює арккотангенс від’ємного аргументу?Арккотангенсом числа а називається таке число із інтервалу (0; π), котангенс якого дорівнює а. arcctg (-а) = π - arcctg а