Розв'язування рівнянь

Розв’язування рівнянь Підготувала вчитель математиики Городянської гімназії Стефурак Галина. Алгебра

Рівняння – це золотий ключ, що відчиняє всі математичні сезами. С. Коваль, сучасний польський математик

Пригадаємо1. Що таке рівняння?Рівність з невідомим значенням змінної називають рівнянням з однією змінною.2. Що називається коренем рівняння?Значення змінної, для якого рівняння перетворюється у правильну числову рівність.3. Що означає розв’язати рівняння?Знайти всі його корені або довести, що їх немає.

Пригадаємо4. Сформулювати основні властивості рівнянь: У будь-якій частині рівняння можна розкрити дужки або звести подібні доданки. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини в іншу, змінивши його знак на протилежний. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне і те ж, відмінне від нуля число.

Пригадаємо5. Сформулювати означення лінійного рівняння з однією змінною. Рівняння виду ax = b, у якому a і b – деякі відомі числа, а x – змінна6. Скільки коренів може мати лінійне рівняння з однією змінною?Один корінь, 𝑏𝑎, якщо а≠0;безліч коренів, якщо а=0, b=0;немає коренів, якщо а=0, b≠0 

Математичний диктант1. Чи є число 3 коренем рівняння -х+7=4?2. Чи є число –3,5 коренем рівняння 2х + 10 = 2(-х + 2,5) ?3. Розв’яжіть рівняння 2(х-6)=14 .4. Чи є рівносильними рівняння 3х-6=12 і х-6=0 ?5. Розв’яжіть рівняння х2 + 1 = -36. Скільки коренів має рівняння х(х-3)=0?  Правильна відповідь:1. Так2. Ні3. х = 134. Так5. Коренів не має6. Два

Приклад 1. Знайдіть корінь рівняння: а) 3х(2+х) - 4(1-х2)=7х2+6х; б) (х2+4х-8) - (7х-2х2-5) = 3х2-(3х+3); а)3х(2+х)-4(1-х2)=7х2 +6х;6х+3х2-4+4х2=7х2+6х;6х+3х2+ 4х2- 7х2-6х=4;0х=4 – не має коренів;Відповідь: не має коренів.  б)(х2+4х-8)-(7х-2 х2-5)=3х2-(3х+3); х2+4х-8-7х+2х2+5=3х2-3х-3; х2+4х-7х+2х2-3х2+3х=-3+8-5;0х=0-коренем рівняння є будь-яке число. Відповідь: будь-яке число. 

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння 3х10 - 415 = х6 . Розв’язання: Помножимо кожний член рівняння на найбільший спільний дільник знаменників дробів. 30 ∙ 3х10 - 30 ∙  415  = 30 ∙х6 ; 3 ∙ 3х – 2 ∙ 4 = 5 ∙ х; 9х – 8 = 5х; 9х – 5х = 8; 4х = 8; х = 2. Відповідь: 2.  

Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 3х −12 + 6х+311=10 Позбудемося знаменників (якщо вони є). Помножимо обидві частини рівняння на 22 ( 22- найменший спільний дільник дробів). Маємо:22(3х −1)2 + 22(6х+3)11=10∙ 22;11(3х – 1) + 2(6х + 3) = 220;2. Розкриємо дужки (якщо вони є):33х – 11 + 12х + 6 =220;3. Перенесемо доданки, що містять змінну, у ліву частину, а інші – у праву, змінивши знаки цих доданків на протилежні:33х + 12х = 220 + 11 - 6;4. Зведемо подібні доданки:45х = 225;5. Розв’яжемо отримане лінійне рівняння:х = 225÷45;х = 5. Відповідь: 5 

Приклад 4. Знайдіть корінь рівняння 1+2х2 − 3х+23=  5х+46  6(1+2х)2 − 6(3х+2)3=  6(5х+4)6;3(1+2х) -2(3х+2)=5х+4;3+6х-6х-4=5х+4;6х-6х-5х=4-3+4;-5х=5;х=-1 Відповідь: -1. 

Приклад 5. Розв’яжіть рівняння: (4х-1,6)(8+х)=0 Добуток кількох множників дорівнює нулю, коли принаймні хоч один із множників дорівнює нулю.(4х-1,6)(8+х)=0;4х-1,6=0; або 8+х = 0;4х = 1,6; х = -8;х = 1,6÷4;х = 0,4. Відповідь: 0,4; -8. 

Приклад 6. Розв’яжіть рівняння: а) х(5-0,2х)=0; б)(3х-2)(4+13х)=0; а) х(5-0,2х)=0;х = 0 або 5 - 0,2х=0; -0,2х=-5; х=-5÷−0,2; х = 2,5. Відповідь: 0; 2,5. б)(3х-2)(4+13х)=0;3х-2=0 або 4+ 13 х=0;3х=2; 13 х=-4;х = 13 . х = -4÷ 13 ; х=-12. Відповідь: 13 ; -12. 

Рівняння з модулями. Розв’яжемо рівняння х = 5. Як відомо, геометричний зміст рівності такий: відстань від точки x до початку координат дорівнює 5. Можна також розв’язати алгебраїчно, для цього пригадаємо визначення модуля: 1) якщо х ≥0 , то х = 5;2) якщо х< 0 , то х = -5, . Відповідь: –5; 5. 

Приклад 7. Розв’яжіть рівняння 3х+4=2 Розв’язання:Існують тільки два числа, 2 і -2, модулі яких дорівнює 2. Маємо :3х+4=2 або 3х+4=-2;3х = 2-4; 3х=-2-4;3х = -2; 3х=-6;х = −23 . х=-2. Відповідь: −23 ; -2. 

Приклад 8. Знайдіть корінь рівняння: а) х+12=3;б) 7х−3=0 а) х+12=3;х+12=3 або х+12=-3;х = 3-12; х=-3-12;х = -9; х=-15. Відповідь: -9; -15. б) 7х−3=0; 7х = 3; х = 37;х = 37; або х = - 37. Відповідь: 37;− 37. 

Приклад 9. Розв’яжіть рівняння: а) (3-а)х=4; б) (а+9)х=а+9а) (3-а)х=4;При а=3 рівняння набуває вигляду 0х=4. У цьому випадку коренів немає. При а≠3 отримуємо: х = 43−а. Відповідь: якщо а=3, рівняння не має коренів; якщо а ≠ 3, то х = 43−а. б) (а+9)х=а+9;При а=-9, то рівняння має вигляд 0х=0. У цьому випадку коренем рівняння є будь-яке число. При а ≠ -9, отримуємо х=1. Відповідь: якщо а=-9, х-будь-яке число; якщо а ≠ -9, то х=1. 

Приклад 10. Розв’яжіть рівняння відносно х: а) 7х+m=2х+m; б) 5р +2х=10а-3х. а) 7х+m=2х+m. Перенесемо доданок 2х у ліву частину, а доданок m у праву частину.7х-2х=m-m5х=0х = 0 Відповідь: 0.б) 5р +2х=10а-3х. Перенесемо доданок -3х у ліву частину, а 5р у праву. Маємо :2х+3х=10а-5р;5х=5(2а-р). Поділимо обидві частини рівняння на 5.х = 2а-р. Відповідь: 2а-р

Повторюємо{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Рівняння 3х-6=-12 має: Рівняння 5-у=8-у має: Яке з чисел є коренем рівняння 4-3х=х2 Число -1 задовольняє рівняння: один коріньдва корені1х+15=2хдва кореніне має коренів-24-6х=8не має кореніводин корінь-410+7х=3{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Рівняння 3х-6=-12 має: Рівняння 5-у=8-у має: Число -1 задовольняє рівняння: один коріньдва корені1х+15=2хдва кореніне має коренів-24-6х=8не має кореніводин корінь-410+7х=3 Оберіть правильну відповідь у кожному стовпчику:

До наступної зустрічі!

Список використаних джерел {5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Підручник. Видавництво. Автор. Сторінки. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх навчальних закладів Х.: Гімназія, 2016. А. Г. Мерзляк,В. Б. Полонський,М. С. Якір13– 19 Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх навчальних закладів Київ: Генеза, 2015. О. С. Істер169 – 176