Розв'язування рівнянь, що зводяться до квадратних

Алгебра, 8 клас. Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних

Ключові терміни: Область допустимих значень рівняння;Дробово-раціональні рівняння;Способи розв’язування рівнянь;Біквадратне рівняння. План вивчення теми: Способи розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних. Означення біквадратного рівняння. Приклади біквадратних рівнянь. Приклади розв'язування дробово-раціональних рівнянь. Приклади розв'язування раціональних рівнянь методом розкладання многочлена на множники.

СЛІД ЗНАТИ!𝒙𝟐−𝒚𝟐=(𝒙−𝒚)(𝒙+𝒚) abc=0 або a=0, або b=0, або c=0 Розв’яжіть рівняння 2𝑥3−8𝑥=0. Розв’язання: Застосуємо винесення спільного множника за дужки та використаємо формули скороченого множення: {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Крок Зміст дії Результат діїКрок 1. Розкладемо ліву частину рівняння на множники.2𝑥𝑥2−4=0;2𝑥𝑥−2𝑥+2=0 Крок 2. Скористаємося правилом рівності добутку нулю.2x=0, або x-2=0, або x+2=0;x=0; x=2; x=−2{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Крок Зміст дії Результат діїКрок 1. Розкладемо ліву частину рівняння на множники. Крок 2. Скористаємося правилом рівності добутку нулю. Приклад:

СЛІД ЗНАТИ!Рівняння n-го степеня має не більше ніж n коренів. Розв’яжіть рівняння 5𝑥3−2𝑥2+10𝑥−4=0. Розв’язання: Застосуємо розкладання на множники способом групування: {5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Крок Зміст дії Результат діїКрок 1. Розкладемо ліву частину рівняння на множники способом групування.5𝑥3−2𝑥2+10х−4=0;5𝑥3+10𝑥−(2𝑥2+4)=0;5𝑥𝑥2+2−2𝑥2+2=0;𝑥2+25𝑥−2=0 Крок 2. Скористаємося правилом рівності добутку нулю: ab=0, якщо a=0 або b=0𝑥2+2=0  або  5𝑥−2=0;𝑥2=−2;                5𝑥=2;Розв’язків немає; 𝑥=25=0,4{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Крок Зміст дії Результат діїКрок 1. Розкладемо ліву частину рівняння на множники способом групування. Крок 2. Скористаємося правилом рівності добутку нулю: ab=0, якщо a=0 або b=0 Приклад:

Розв’язання  (х – 1)2 + 11 – 2х(х – 3) = 0х2 – 2x + 1 + 11 – 2х2 + 6x = 0 ,-х2 + 4х + 12 = 0,х2 – 4х – 12 = 0.х1 = -2        х2 = 6    (за теоремою Вієта )Відповідь: -2,  6. Приклад: Розв’яжіть рівняння (х – 1)2 + 11 = 2х(х – 3).

Приклад:

Розв’яжіть рівняння (х2  - 2)2 - 8(х2 - 2) + 7 = 0 Приклад: Розв’язання Маємо рівняння (х2  - 2)2 - 8(х2 - 2) + 7 = 0 Можна помітити, що в дужках містяться однакові вирази. Тому можемо ввести заміну. Позначимо х2 - 2 = t. Відповідь:                

СЛІД ЗНАТИ!Необхідною складовою розв’язання раціонального рівняння є обов’язкова перевірка належності знайдених коренів області допустимих значень вихідного рівняння. Значна кількість текстових задач розв’язується за допомогою рівнянь, зокрема дробово-раціональних. Більшість дробово-раціональних рівнянь зводяться до одного з таких: А(х)В(х)=𝟎, або А(х)С(х)=В(х)С(х), або А(х)С(х)=В(х)𝐃(х). Ці рівняння, у свою чергу, розв’язуються за допомогою рівносильних систем. А(х)В(х)=𝟎;Ах=𝟎,В(х)≠𝟎 А(х)С(х)=В(х)С(х);Ах−В(х)=𝟎,С(х)≠𝟎 А(х)С(х)=В(х)𝑫(х);Ах𝑫(𝒙)−Вх𝑪(𝒙)=𝟎,Сх≠𝟎,𝑫𝒙≠𝟎 

Алгоритм розв’язування дробово-раціонального рівняння. Знайдіть область допустимих значень рівняння. Зведіть рівняння до вигляду Р(х)𝑄(х)=0. Використайте правило рівності добутку дробу нулю й розв’яжіть рівняння Р(х)=0. Перевірте, чи задовольняють знайдені роз’язки рівняння P(x) область допустимих значень. Вилучіть сторонні корені. Запишіть відповідь 

Розв’яжіть рівняння 𝑡2−5𝑡+416−𝑡2=0. Скористаємося правилом рівності добутку нулю: Розв’язання:𝑡2−5𝑡+416−𝑡2=0 𝑡2−5𝑡+4=0, 16−𝑡2≠0 ОДЗ: 16−𝑡2=0;𝑡2≠16;𝑡≠±4 Розв’яжемо рівняння 𝑡2−5𝑡+4=0: За теоремою Вієта 𝑡1𝑡2=4.𝑡1+𝑡2=5. ⇒𝑡1=1.𝑡2=4. Перевіримо, чи задовольняють отримані корені ОДЗ рівняння:𝑡1=1 задовольняє ОДЗ;𝑡2=4 не задовольняє ОДЗ. Розкладемо тричлен 𝑡2−5𝑡+4 на лінійні множники: 𝑡2−5𝑡+4=(𝑡−1)(𝑡−4)  Приклад:(𝑡−1)(𝑡−4)4−𝑡4+𝑡=0, ⇒ −𝑡−14−𝑡4−𝑡4+𝑡=0, ⇒   −𝑡−14+𝑡=0,  ⇒  𝑡−14+𝑡=0 Cкористаємося правилом рівності дробу нулю: 𝑡−1=0,4+𝑡≠0, ⇒𝑡=1,𝑡≠−4 Відповідь: 𝑡=1 

Розв’яжіть рівняння  2𝑥−3+5𝑥+3=14. Розв’язання: Приклад:2𝑥−3+5𝑥+3=14 Відповідь: 1 та 27 ОДЗ: 𝑥≠±3 2\4(𝑥+3)𝑥−3+5\4(𝑥−3)𝑥+3−1\𝑥2−94=0;8𝑥+3+20𝑥−3−(𝑥2−9)4(𝑥−3)(𝑥+3)=0;Cкористаємося правилом рівності нулю:8𝑥+24+20𝑥−60−𝑥2+9=0;−𝑥2+28𝑥−27=0;−𝑥2+28𝑥−27=0      ǀ   ∙−1;𝑥2−28𝑥+27=0;𝑎=1, 𝑏=−28, 𝑐=27;За теоремою Вієта : 𝑥1+𝑥2=28,𝑥1𝑥2=27,⇒  𝑥1=1 −задовольняє ОДЗ;𝑥2=27−задовольняє ОДЗ. 

Метод заміни змінноїРівняння виду 𝑎𝑥4+𝑏𝑥2+𝑐=0, де x-змінна, a, b,c – числа, причому 𝑎≠0, називають біквадратним Метод заміни змінноїВводимо нову змінну t таку, що 𝑥2=𝑡   𝑡>0. Тоді біквадратне рівняння відносно змінної x перетворюється у квадратне рівняння відносно змінної t: 𝑎𝑡2+𝑏𝑡+𝑐=0. 

Приклад:

Знадіть корені рівняння 2𝑡4−7𝑡2−4=0 Приклад: Розв’язання: Використаємо метод заміни змінної.𝑡2=𝑦, тоді 𝑡4=(𝑡2)2=𝑦2. Запишемо задане рівняння з використанням змінної y: 2𝑦2−7𝑦−4=0. Розв’яжемо отримане квадратне рівняння 2𝑦2−7𝑦−4=0;  𝑎=2, 𝑏=−7, 𝑐=−4;𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐;    𝐷=−72−4∙2∙−4=49+32=81,      𝐷>0.𝑦1=7+92∙2=164=4;           𝑦2=7−92∙2=−24=−12. Повернемося до початкової змінної:𝑦1=4    або          𝑦2=−12;𝑥2=4  або 𝑥2=−12. Розв’яжемо отримані неповні квадратні рівняння:𝑥2=4  або 𝑥2=−12.𝑥=±2;     розв′язків немає. Відповідь: ±2 

Розв’яжіть дробове раціональне рівняння     . Розв’язання Виконаємо тотожні перетворення у знаменниках дробів (використаємо формули скороченого множення, знайдемо спільний знаменник і зведемо до нього дроби лівої та правої частин рівняння). Перенесемо доданок з правої частини рівняння до лівої, змінивши знак на протилежний, розкриємо дужки та зведемо подібні доданки. Одержимо: Приклад:=0; 

Використаємо умову рівності дробу нулю, перейдемо до системи рівнянь: Відповідь: х = 9.

Приклад:

Дякую за увагу!