Схеми розв’язування задач за

допомогою рівнянь

6 клас

Олена ШЕХ

Приклад

У коробці було кілька цукерок. Після того, як додали ще 5 цукерок, їх стало 12. Скільки цукерок було в коробці спочатку?

Розв’язання.

Нехай x- кількість цукерок, яка була в коробці спочатку. Додали ще 5.

Складаємо рівняння.

 x + 5 = 12

x = 12 - 5 = 7

Відповідь: У коробці було 7 цукерок.

Приклад .

У класі 24 учні. Кількість дівчат у 3 рази більша за кількість хлопців. Скільки хлопців і скільки дівчат у класі?

Розв’язання:

Нехай кількість хлопців  x , тоді кількість дівчат буде 3х . Разом учнів 24.

Складаємо рівняння. х+3х=24

4х=24 х=24/4 х=6 Отже хлопців 6 чоловік, тоді дівчат 6*3=18 .

Відповідь: 6 хлопців, 18 дівчат.

Приклад

Дріт завдовжки 456 м розрізали на 3 частини, причому перша частина у 4 рази довша за третю, а друга частина - на 114 м довша за третю. Знайдіть довжину кожної частини.

Розв’язання

Нехай довжина 3 частини дроту буде x м,  тоді довжина 1 частини буде 4x м, метрів. А довжина 2 частини буде x + 114 м. Загальна довжина дроту становить 456 м. Складаємо рівняння:

 4x + (x + 114) + x = 456

 6x + 114 = 456

 6x = 456 - 114

6x = 342  x = 342 / 6 = 57

3 частина: x = 57 м.   1 частина: 4x = 4 * 57 = 228 м. 2 частина: x + 114 = 57 + 114 = 171 м.

Відповідь: 1ч.- 228 метрів, 2 ч.– 171 метр, 3ч. – 57 метрів.

 Виразити інші величини через x.

Приклад:

Легковий автомобіль проїхав відстань за 3 години, а вантажний за 5 годин. Відомо, що швидкість вантажного на 32 км/год менша ніж легкового автомобіля. Знайти швидкості обох автомобілів.

Розв’язання.

Нехай швидкість легкового авто x- км/год, тоді швидкість вантажного (x - 32)км/год.

Відстань легкового авто 3х км, а вантожного 5(x−32)км. У обох відстані однакові.

Складаємо рівняння.

                                            3x=5(x−32)

3х=5х-160

3х-5х=-160

     -2х=-160   |*(-1)

2х=160   х=80

Отже швидкість легкового авто 80 км/год, а вантажного 80-32=48 км/год Відповідь: 80 км/год, 48км/год.

 Схема для задачі на купівлю (вартість):

 Ціна × Кількість = Загальна вартість

 Позначити одну з величин (ціну або кількість) через x.

 Виразити інші величини через x.

 Скласти рівняння на основі загальної вартості.

 Розв’язати рівняння та знайти відповідь.

Приклад

Кілограм цукру дорожчий за кілограм печива на 20,8 грн. За 8 кг цукру заплатили стільки ж, скільки за 12 кг печива. Скільки коштує 1 кг цукру і 1 кг печива?

Розв’язання:

Нехай ціна 1 кг печива  x - грн, тоді 1 кг цукру коштує x+20,8 грн . Загальна вартість 8 кг цукру: 8(x+20,8) грн., а загальна вартість 12 кг печива: 12x грн.. За умовою задачі ці вартості рівні.

Складаємо рівняння.

8(x+20,8)=12x

8x+166,4=12x

8х-12х=-166,4

-4х=-166,4  |*(-1)

4х=166,4

Отже, 1 кг печива коштує 41,6 грн, а 1 кг цукру: 41,6+20,8=62,4 Відповідь: 1 кг печива — 41,6 грн, 1 кг цукру — 62,4 грн.

Приклад.

За 3 ручки і 5 олівців заплатили 15 грн 60 коп. Олівець дешевший від ручки на 1 грн 20 коп.

Знайти ціну ручки та олівця.

Розв’язання:

Нехай ціна ручки x- грн, тоді ціна олівця (x−1,2)- грн.

                                 Складаємо  рівняння:

3x+5(x−1,2)=15,6

                                                               3x+5x−6=15,6

Приклад

Купили 14 листівок по 6 грн і 9 грн, заплативши 114 грн. Скільки листівок кожного виду купили? Розв’язання:

Нехай кількість дешевих листівок -x шт., тоді дорогих буде 14−x шт. Отже дешеві коштували 6х грн., а дорогі 9(14-х) грн.

Складаємо рівняння:

6x+9(14−x)=114

6x+126−9x=114

-3х=114-126

-3х=-12 х=-12/(-3)   х=4

Отже, дешевих листівок 4, дорогих: 14−4=10

Відповідь: 4 листівки по 6 грн, 10 листівок по 9 грн.

Схема для задачі на співвідношення кількості предметів:

 Відношення: в скільки разів більше/менше  Позначити одну змінну через x.

 Виразити другу змінну через відношення (наприклад, 4x, якщо предметів у 4 рази більше).

 Використати інформацію про зміни (додавання/ віднімання).

 Скласти рівняння та розв’язати його.

 

Приклад

У першій шафі було в 4 рази менше книжок, ніж у другій. Коли  додали до першої шафи 17 книжок, а з другої забрали 25, після того стало порівну. Скільки книжок було спочатку?

Розв’язання:

Нехай кількість книжок у першій шафі -  x, тоді в другій —  4x. Після змін у першій шафі: x+17.  У другій:  4x−25. Оскільки книжок стало порівну.

Складаємо рівняння.

 x+17=4x−25

х-4х=-25-17

-3х=-42 х=-42/(-3) х=14

Тоді в першій шафі було 14 книжок, а другій 14*4=56 книжок.

Відповідь: У першій — 14книжок, у другій — 56.

Приклад

У Юрка й Галі було порівну грошей. Коли Юрко купив книжку за 28 грн, а Галя — журнал за 12 грн, то у дівчинки залишилося грошей у 3 рази більше, ніж у хлопчика. Скільки грошей було в кожного з них спочатку?

Розв’язання

Нехай у Юрка і Галі спочатку було по x гривень. Виразимо залишок грошей після покупок  Юрко купив книжку за 28 грн, тому в нього залишилося: x - 28 грн.

 Галя купила журнал за 12 грн, тому в неї залишилося: x−12 грн.

 Складаємо рівняння.

 x−12=3(x−28)  x−12=3x−84

x−3x=−84+12

−2x=−72 x=36 Відповідь: Спочатку у кожного було 36 грн.