Тема   уроку:   Властивості      тригоно -                          метричних       функцій

числового      аргументу

    Мета уроку:  1) Забезпечити    засвоєння властивос-                                                     тей тригонометричних  функцій. Сформувати  у  учнів вміння знаходити знаки  тригонометричних функцій числового  аргументу.

  

2)              Продовжувати  формувати вміння                                                  порівнювати і узагальнювати                                                   факти.

            

3)              Виховувати в учнів культуру                                              математичної мови.

 

 

    Тип     уроку:      комбінований урок 

 

    Обладнання

                уроку:  підручник, таблиці,                                                          

дидактичні і  роздаткові мате-                                     ріали,    набір знаків   «+»   і  «-»                                        з магнітними кріпленнями.

                                    

 

 

 

ХІД   УРОКУ

 

           I.     Перевірка домашнього завдання ( 5 хв.)

 

Учням пропонується виконати  самостійну роботу,   аналогічну         домашньому завданню (4 хв.)

 

         

 

 

 

I	II
1)                Знайти синус, косинус, тангенс і котангенс кута , якщо                               = 90  = 180   2)                Подати кут  у вигляді   =  + 360·n,  де n Z і  0    360,                                                                  якщо  = 900  = -750

 

 

Під час виконання  самостійної  роботи  вчитель  проглядає  наявність          виконання домашнього завдання   учнями  і  надає  допомогу  “слабким”         учням, використовуючи  картки-інструктажі  різного  роду.

Два учня виконують самостійну роботу  за крилами дошки. 

Перевіряється самостійна  робота, відкривши крила дошки.  

 

 

 

        ІІ. Актуалізація опорних знань ( 7 хв.)

 

          Фронтальне опитування.  

 

 

1) Сформулювати означення синуса, косинуса, тангенса для        довільного кута обертання.

2) Чи може синус і косинус дорівнювати            а) 0,71;   б) 17  11;   в) -5; г) 3 / 1,7.           Якому числовому проміжку належать всі значення sin  ,cos  ?

3) При яких значеннях  синус, косинус, тангенс і котангенс кута  мають зміст: а)  / 4;    б) 2,3;   в)  / 2;

 

 

 

 

4) Яку нерівність повинен задовольняти кут  , якщо  належить                 І,ІІ,ІІІ,ІV   чвертям ?
0<  < 90      0<  < 1,57     0<  <  /2		90<  < 180    1,57 <  < 3,14     /2<   < 		180<  < 270    3,14<  < 4,71  <  < 3/2		270<  < 90     4,71<  < 1,57   3/2<   < 2
5) В якій чверті лежать кути :           а) 152; б) 340;   в)  / 6;    г) 9,1.
6) Вставити пропущене число:
	sin 		1/2
	cos  		 3/3
	tg   		?

 

 

      ІІІ.  Повідомлення теми, мети уроку, місце уроку                 в темі ( 1 хв. ) 

 

 Розглядаємо  основні  властивості тригонометричних   функцій,  знаки        тригонометричних функцій числового аргументу.

 

 

      ІV.  Мотивація навчальної діяльності учнів( 1 хв. )

           

Під час вивчення тригонометричних  функцій часто виникає потреба в         знаходженні областей визначення і значення, знаків тригонометричних        функцій даного кута.

 

 

      V. Засвоєння нових знань  ( 8 хв. )

 

1.Властивості тригонометричних  функцій визначаються вчителем з        допомогою учнів. Пояснення нового матеріалу проводиться за допомогою            таблиць, кодопозитива, знаків “ + ”, “ - ” з магнітним кріпленням.

 

 

 

 

         

2. Підсумовується колективна робота.

           

1)  Чи можлива рівність: 

а) sin x  =  1/10 ;

б) cos x =  17/3 ;

в) tg x    =  -3.

 

2)  В якій чверті міститься х, якщо:

а) sin x > 0;                    г) sin x > 0, cos x < 0;

б) cos x > 0;                  д) sin x < 0, cos x < 0.

в) tg  x > 0;

 

 

 

 

 

 

 

       VІ. Засвоєння   навичок    застосування                  властивостей тригонометричних  функцій                  (13 хв.)

 

          1.Вчитель з допомогою учнів знаходить знаки тригонометричних  функцій кута 350.

           

          2.Самостійна робота навчального характеру (5 хв.)

              

І	ІІ
1)   Знайти знаки тригонометричних функцій кута :                               185 135 2)   Знайти знак добутку: cos 95∙sin 330  tg 290∙sin 100

 

 

3.   Самостійна робота перевіряється:

 

І	ІІ
1)       185 – кут ІІІ чверті sin 185 < 0, cos 185 < 0, tg 185  > 0, ctg 185  > 0   2)       cos 95 < 0,    sin 330 < 0. Отже, cos 95∙sin 330 > 0	1)      135 - кут ІІ чверті sin 135  > 0, cos 135 < 0,   tg 135 < 0, ctg 135 < 0   2)      tg 290 < 0,   sin 100 < 0. Отже, tg 290∙sin 100 > 0

 

 

 

4.   Самостійна робота.(6 хв.)

              Виконуються на картках з друкованою основою.

 

            

 

 

           Зразок картки:

 

к-12 1) Визначити знак: cos 199, tg 2/3, ctg 3,24.               2) Визначити знак добутку: tg 201∙ctg 91∙sin 145.

   

          Всі учні одержують оцінки за виконану роботу.

 

 

   VІІ. Підсумок уроку (8 хв.)

 

1. Що нового дізналися на сьогоднішньому уроці ?

2. Назвіть область визначення і область значень кожної з тригонометричних                   функцій.

3. Який знак мають значення тригонометричних функцій  кута І чверті ? 

            (ІІ,ІІІ,ІV) ?

4. Біля дошки розв’язується №14 з загостренням уваги на ключових           моментах  розв’язку. 

 

 

   VІІІ. Домашнє завдання (2 хв.)

             

         Проводиться інструктаж.          § 4 , № 16, 17, сторінка 81;          диференційоване д/з: № 25 (а,б).

 

 

 

 

 

 

                                                             

                         

 

             

 

 

 

 

Урок – гра

 

Тема уроку:   Спрощення тригонометричних     

виразів

 

Мета уроку: 1)Формувати вміння та навички         

                                   спрощення тригонометричних виразів,                                       використовуючи співвідношення між                                     тригонометричними формулами                                                                     одного й того самого аргументу.

          

2)        Сприяти  під  час  уроку формуванню                                       причинно-наслідкових зв’язків, 

продовжувати формувати  вміння порівнювати і  узагальнювати                                        факти.

 

3)        Виховувати в учнів культуру                                       математичної мови, любов до                                       математики, комунікабельність.   

 

Тип уроку:  урок формування вмінь і навичок учнів.

 

Обладнання уроку: збірник завдань    для  екзамену з  

математики,     таблиці,                                                 дидактичні і   роздаткові                                                  матеріали. 

 

ХІД   УРОКУ

 

I. Перевірка домашнього завдання( 3 хв.)

Наявність домашнього завдання перевірено до початку уроку навчальними секторами. Правильність виконання перевіряється.

 

 

 

 

a)        1+ sin²x - sin²x  = (1-cos²x) + sin²x = sin²x + sin²x = 2 sin²x;   b)        2 cos²x -1     ‗ 2 cos²x - sin²x - cos²x   ‗     cos²x - sin²x   ‗   (cos x-sin x)(cos x+sin x) ‗ sin x + cos x                  sin x + cos x                     sin x + cos x                 sin x + cos x = cos x - sin x

           

Якість засвоєння знань перевіряється з допомогою фронтального опитування.

 

 

ІІ.      Актуалізація  опорних  знань  учнів (5 хв.)

         Фронтальне опитування. 

1. Сформулюйте означення подібних доданків. Що називається зведенням подібних доданків?

 

а) –5ху + 10ху		б) –2cos²x – 3cos²x			в)-sinx-sinx
Чому дорівнює квадрат суми двох виразів?
а) (х+у)²		б) (2к-5в)²			в) (cosx+sinx)²
Вставити пропущений вираз:
cosx>0	sinx<0			tgx>0		cosx<0
3π/2<x<2π					?

2.

 

3.

 

 

4. Записати співвідношення між тригонометричними функціями одного і того самого аргументу. Учні записують по черзі співвідношення на правому крилі дошки, інші – в зошитах.

 

 

ІІІ.  Повідомлення теми, мети уроку, місця уроку           в темі (1 хв.)

Продовжити спрощувати тригонометричні вирази, використовуючи співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.

 

ІV.    Мотивація навчальної діяльності учнів (1 хв.)

 Спрощення тригонометричних виразів необхідне для розв‘язування тригонометричних рівнянь, нерівностей, знаходження значень тригонометричних функцій.

 

V.      Формування вмінь і навичок учнів (30 хв.)

Проводиться у вигляді  математичного турніру.

Умови: клас поділяється на дві команди. Кожній пропонується 5 завдань. Через15 хвилин члени команд повинні записати у зошити розв‘язки та вміти їх пояснити. Дозволяються консультації серед членів однієї команди. Капітан першої команди обирає учнів з іншої команди для участі в турнірі. Теж саме робить і капітан другої команди.Перша пара названих учнів обмінюється завданнями і йде до дошки розв‘язувати їх. Після закінчення пояснень до дошки йдуть інші пари і т. д. Виграє турнір команда, яка розв‘яже правильно і пояснить більшу кількість завдань.Арбітр турніру – вчитель.

Завдання для команд підібрані із “Збірника завдань для екзамену з математики”:

 

№ п/п	І команда	ІІ команда
1	№ 176 а	№ 176 б
2	№ 179 а	№ 179 б
3	№ 182 а	№ 182 б
4	№ 192 а	№ 192 б
5	№ 188 а	№ 188 б

 

VI. Підсумок уроку – гри (3 хв.)

Учням, які розв‘язали завдання на дошці, виставляються оцінки. Підводяться підсумки математичного турніру. Звертається увага на використані співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.

 

VII. Домашнє завдання (2 хв.)

§ 8, № 180, 189 (а);  диференційоване домашнє завдання: № 190 (а), 245 (а).

 

Урок – семінар 

(розраховано на 2 спарені уроки)

 

Тема   уроку:       Тригонометричні функції

                                  будь- якого        аргументу

 

Мета уроку: 1) Перевірити рівень знань, вмінь і навичок   

учнів,   узагальнити і систематизувати основні    теоретичні   знання   з даної                                       теми.

                               

2)            Розвивати в учнів вміння виділяти                                      головне,   формувати вміння                                       порівнювати і узагальнювати факти,                                      встановлювати  причинно-наслідкові зв’язки.

 

3)            Виховувати  в  учнів культуру                                       математичної  мови,  любов до                                          математики,  взаємодопомогу.   

 

Тип уроку:  урок контролю та корекції знань, вмінь і                                   навичок  учнів.

 

Обладнання уроку: таблиці, диференційовані картки з     

завданнями по даній темі,                                                картки-інструктажі різного                                                  типу.

 

 

 

 

Підготовку до уроку – семінару починаю за два тижні. Учням пропонуються питання для самопідготовки, теми рефератів, список додаткової літератури.

 

 

 

 

 

 

Питання для підготовки до семінару:

 

1.     Означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса.

2.     Область визначення і множина значень синуса, косинуса, тангенса і котангенса.

3.     Значення синуса,        косинуса,    тангенса     і         котангенса кутів

0º¸30º¸45º¸60º¸90º¸180º¸270º¸...

4.     Радіанна міра кута.

5.     Властивості синуса, косинуса, тангенса і котангенса.

6.     Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.

7.     Формули зведення.

Теми рефератів:

 

1.     Історія розвитку тригонометрії.

2.     Використання тригонометрії в науці і техніці.

 

Література:

 

1.     М.І.Шкіль. ”Алгебра і початки аналізу”.

2.     Г.І.Глейзер. “Історія математики в школі”.

3.     А.Г.Конфорович.”Колумби математики”.

4.     Г.І. Галай.    ”Учням про видатних математиків”.

5.     А.Г.Гайштут.”Математика в логических упражнениях”.

 

 

 

 

ХІД   УРОКУ

 

І. Перевірка домашнього завдання 

 

 З метою економії часу домашнє завдання перевіряється відповідальними за це учнями перед початком уроку з внесенням відповідних корективів.

 

 

ІІ. Повідомлення теми, мети уроку, місця уроку в        темі (1 хв.)

 

 Перевірка теоретичного матеріалу та вміння розв’язувати практичні завдання з даної теми; проведення узагальнення і систематизації основних теоретичних знань. Це підсумковий урок  по темі “Тригонометричні функції будь-якого аргументу”.

 

 

 

 

 

ІІІ.  Перевірка знань учнями фактичного матеріалу           і вміння  самостійно пояснювати їх суть,          встановлювати зв’язки. Використання учнями          знань в стандартних і нестандартних умовах          ( 57 хв.)

 

1)  Клас слухає і обговорює реферати.

2)  Учні слухають відповіді на підготовлені питання, розв’язують вправи       ( з поетапним самоконтролем і взаємоконтролем):

•      означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса;

•      область визначення і множина значень синуса, косинуса, тангенса і       котангенса;

•      значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса           кутів 0º,30º,45º,60º,90º,180º,270º,...

 

     Самостійна робота №1 (5 хв. )

     

 

І варіант	ІІ варіант
1) Кутом якої чверті є кут х, якщо:
а) х =    98º б) x = -282º в) х = -369º	а) х =  282º б) x = - 98º в) х = -369º
2) Обчислити:
а) cos 0º + 3sin90º б) sin60º +  cos30º	а) 6tg180º + 3ctg90º б) sin45º·cos60·ctg270º
3) Вказати найбільше і найменше значення виразу:
3 + sin x	5 + cos x

 

 

 

Розв’язок учні перевіряють за зразком, записаним на додатковій дошці.

•      pадіанна міра кута;

•      властивості синуса, косинуса, тангенса і котангенса.

 

    

 Самостійна робота № 2 (5 хв.)

     

 

І варіант	ІІ варіант
1) Який знак має sinx, cosx, tgx, ctgx, якщо:
x = 36º¸197º¸288º	x=16º¸303º¸108º
2) Кутом якої чверті є кут х, якщо відомо,що:
sinx < 0, tgx > 0	cosx > 0, tgx > 0
3) Якій координатній чверті належить кут х, якщо:
sinx + cosx = -1,01	sinx + cosx = -1,03
4) Знайти значення виразу:
2sinx – cos3x, при х = π/3	3sinx – 2cos3x, при х = π/6

 

   

Завдання 1,2,4 перевіряються, відповіді аналізуються з місць. Завдання 3 аналізується і обговорюється колективно, учні розв‘язують самостійно і свій розв‘язок звіряють із зразком вчителя.

 

•      співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу супроводжуються розв‘язком усних вправ:

 

q   6sin²x + 6cos²x ;

q   sin²x (1+ ctg²x) ;

q   cos²x (1+  tg²x) ;

q   1-cos²x     ;

                              sin²x

q   cos²x       ;

                                   1-cos²x

q   tgx · ctgx - cos²x .

 

 

 

     Самостійна робота № 3 (5 хв.)

     

 

І варіант	ІІ варіант
Обчислити значення тригонометричних функцій кута х:
cos x = 40/41  і  0 < x < π	sin x = -4/5  і  π/2 < x < 3π/2

 

 формули зведення.

          Після повідомлення учня розглядаються вправи.

 

 

     Самостійна робота № 4 (7 хв.)

      

І варіант	ІІ варіант
1) Спростити вираз:
sin(90º-x) + cos(180º+x) + + tg(270º+x) + ctg(360º+x)	sin(π/2+x) - cos(π-x) + +tg (π-x) + ctg(3π/2-x)
2) Перетворити вираз:
sin(π+x) · cos(2π-x) tg(π-x) · cos(π-x)	sin(-x) · ctg(-x)_ cos(360º-x) · tg(180º+x)

 

                    Два учні виконують ці завдання на відкидних крилах дошки, клас звіряє            свої  розв‘язки з відповідями на дошці.

 

 

IV. Підсумок уроку-семінару( 30 хв.)

 

Закінчується урок-семінар перевіркою вмінь застосовувати основні тригонометричні формули до перетворення виразів.

Всі учні виконують індивідуальні самостійні роботи, записані на картках.

Кожен учень може працювати у своєму індивідуальному режимі. Робота перевіряється вчителем після уроку.

 

 

 

 

 

Зразок картки:

 

І рівень	1) Дописати тотожності:
1 - sin²x  =		1 + tg²x =	2sinx · cosx =
ІI рівень	2) Спростити вирази:
ctgx·(1-cos²x)		1+2sinx·cosx cosx+sinx	sin²x           cos²x     1+tg²x       1+ctg²x
ІІI рівень	3) Знайдіть значення виразу:
ctg²x - cos²x¸ якщо sinx = 3/5
4) Доведіть тотожність:
sin²x / (ctg²x - cos²x) = tg x
ІV рівень	5) Записати у вигляді добутку:
(3 - 4cos 4x + cos 8x)·(1 – cos 2x)

 

 

          V.    Домашнє завдання (2 хв.)

 

§ 8, № 40 (3, 4, 7) ст.85; диференційоване домашнє завдання: № 45(5).