Система уроків з теми "Тригонометричні функції числового аргументу".
Тема уроку: Тригонометричні функції
числового аргументу
Мета уроку: 1) Забезпечити засвоєння учнями
означення синуса, косинуса, тангенса числового аргумента, таблиці значень тригонометричних функцій деяких аргументів, вміння перетворювати кути з радіанної міри в градусну і навпаки.
2) Сприяти під час уроку формуванню причинно-наслідкових зв’язків, продовжувати формувати вміння порівнювати і узагальнювати факти.
3) Виховувати в учнів культуру математичної мови.
Тип уроку: урок засвоєння нових знань
Обладнання
уроку: підручники,
портрети математиків, таблиці, дидактичні і роздаткові матеріали.
ХІД УРОКУ
I. Перевірка домашнього завдання
Для економії часу домашнє завдання перевіряється відповідальними за це учнями перед початком уроку з внесенням відповідних корективів.
ІІ. Актуалізація опорних знань ( 3 хв.)
фронтальне опитування:
1. В яких одиницях вимірюються кути?
2. Яким числом може виражатись міра кута?
3. Дати означення синуса, косинуса, тангенса гострого кута прямокутного трикутника.
|
|
sin = a/c , cos = b/c , tg = a/b
|
ІІІ. Повідомлення теми, мети уроку, місце уроку в темі ( 1 хв. )
Розглянути тригонометричні функції кута на одиничному колі, радіанну систему вимірювання кутів і дуг, означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса в одиничному колі, таблицю значень тригонометричних функцій. Знаходити значення тригонометричних функцій кутів: 0, 30, 45, 60, 180, 360.
ІV. Мотивація навчальної діяльності учнів ( 4 хв. )
Знання з тригонометрії використовуються в архітектурі, мореплавстві, космонавтиці, картографії (форму даху Харківського цирку неможливо було б розрахувати без знання тригонометрії ).
Історична довідка
Тригонометрія виникла внаслідок практичних потреб людини.
З допомогою тригонометрії можна знайти відстань до недоступних предметів
і, взагалі, значно спростити геодезичні зйомки місцевості для складання географічних карт.
На початковому етапі тригонометрія розвивалась у тісному зв’язку з астрономією і являлась її допоміжним розділом. Менелай( І – ІІ ст. н. е.) – математик і астроном у “Сфериці” вперше викладає тригонометрію окремо від геометрії, хоч поняття тригонометричної функції у нього ще відсутнє.
Клавдій Птоломей – знаменитий астроном, географ, оптик, у “Математичному зібранні” (арабізована назва “Альмагест”) подав виклад всіх астрономічних знань епохи.У ній докладно викладено геоцентричну систему світу і тригонометрію.
Біруні (973 -1048 рр.) - великий учений-енциклопедист середньовічного Сходу, гордість узбецького народу. Особливе місце в математичній творчості Біруні займає тригонометрія.Одним з перших він дав означення всіх шести тригонометричних ліній в колі.
V. Сприймання і усвідомлення учнями нового матеріалу (18 хв.)
1. Вчитель, використовуючи таблиці до даної теми, вводить поняття:
• одиничного кола;
• одиничного радіус-вектора; додатного і від’ємного кута повороту.
2. Розглядається запис кута повороту у виді: + 360n, де nZ
3. Належність кута до тієї чи іншої координитної чверті.
Очевидно, що при додаванні до кута цілого числа обертів дістаємо кут тієї самої чверті. Наприклад, кут в 430 є кутом І чверті, бо 430 = 360 + 70 і 0 .
Кут в 920 є кутом ІІІ чверті, бо 920 = 36000 і 18000 270. Кути 0, 90, - 90, 180, - 180, 270, - 270, 360, - 360, … - не належать до жодної чверті.
4. Радіанна міра кутів і дуг.
|
Радіанна міра |
0 |
/6 |
/4 |
/3 |
/2 |
|
3/2 |
2 |
|
Градусна міра |
0 |
30 |
45 |
60 |
90 |
180 |
270 |
360 |
5.Означення тригонометричних функцій.
|
Через одиничне коло ( R = 1 ) |
Через довільне коло ( R – радіус кола ) |
|
ордината точки Р cos = x абсциса точки Р X
tg = y/x ctg = x/y
|
Y sin =y/R
cos =x/R
ctg = x/y
|
Y sin 
6. Числовий проміжок, якому належать усі значення sin, cos. Використовується таблиця.
7. Значення , при яких sin, cos, tg, ctg мають зміст.
Використовується таблиця.
8. Таблиця значень тригонометричних функцій деяких кутів.
Використовується таблиця 2 на ст.31 навчального посібника.
9. Розглядається приклад:
знайти тригонометричні функціїї кута 180.
VI. Закріплення і осмислення вивченого матеріалу (10хв. )
Пропонується серія завдань, використовується графопроектор, дидактичні матеріали, картки-інструктажі різного роду.
1. Кутом якої чверті є кут , якщо
a) = 136;
b) = - 30.
2. Чи може sin , cos , tg , ctg набувати значення, яке дорівнює : a) 2;
b) 1/12;
c) (1+3)/2. 3. Подати у радіанній мірі кути: 30, 45, 360.
4. Подати кут у вигляді = + 360n, n, :
a) = -180;
b) = 800.
Перше, друге, третє завдання розв‘язуються усно, перевіряються коментуванням змісця. Четверте завдання розв‘язується самостійно на два варіанти. За крилами дошки виконують це завдання два учні. Перевірка проводиться відкриванням крил дошки.
VII. Підсумок уроку (7 хв.)
1. Що нового дізнались ви на уроці ?
2. Самостійна робота (5 хв.) на 4 варіанти (на кодопозитиві ).
Зразок самостійної роботи:
І варіант
1) Знайти значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кута 30. 2) Обчислити: 2sin 60 tg 60.
3) Написати кілька значень , при яких sin = 2/2.
Зошити з самостійними роботами збираються вчителем на перевірку.
VIII. Домашнє завдання (2 хв.)
Проводиться інструктаж.
Розділ І. § 2 - 4; № 4(б, в), № 9, сторінка 81; диференційоване домашнє завдання № 12.
Тема уроку: Властивості тригоно - метричних функцій
числового аргументу
Мета уроку: 1) Забезпечити засвоєння властивос- тей тригонометричних функцій. Сформувати у учнів вміння знаходити знаки тригонометричних функцій числового аргументу.
2) Продовжувати формувати вміння порівнювати і узагальнювати факти.
3) Виховувати в учнів культуру математичної мови.
Тип уроку: комбінований урок
Обладнання
уроку: підручник, таблиці,
дидактичні і роздаткові мате- ріали, набір знаків «+» і «-» з магнітними кріпленнями.
ХІД УРОКУ
I. Перевірка домашнього завдання ( 5 хв.)
Учням пропонується виконати самостійну роботу, аналогічну домашньому завданню (4 хв.)
|
I |
II |
|
1) Знайти синус, косинус, тангенс і котангенс кута , якщо = 90 = 180
2) Подати кут у вигляді = + 360·n, де n Z і 0 360, якщо = 900 = -750 |
|
Під час виконання самостійної роботи вчитель проглядає наявність виконання домашнього завдання учнями і надає допомогу “слабким” учням, використовуючи картки-інструктажі різного роду.
Два учня виконують самостійну роботу за крилами дошки.
Перевіряється самостійна робота, відкривши крила дошки.
ІІ. Актуалізація опорних знань ( 7 хв.)
Фронтальне опитування.
|
1) Сформулювати означення синуса, косинуса, тангенса для довільного кута обертання.
|
|
2) Чи може синус і косинус дорівнювати а) 0,71; б) 17 11; в) -5; г) 3 / 1,7. Якому числовому проміжку належать всі значення sin ,cos ?
|
|
3) При яких значеннях синус, косинус, тангенс і котангенс кута мають зміст: а) / 4; б) 2,3; в) / 2; |
|
4) Яку нерівність повинен задовольняти кут , якщо належить І,ІІ,ІІІ,ІV чвертям ? |
||||||
|
0< < 90 0< < 1,57 0< < /2 |
90< < 180 1,57 < < 3,14 /2< < |
180< < 270 3,14< < 4,71 < < 3/2 |
270< < 90 4,71< < 1,57 3/2< < 2 |
|||
|
5) В якій чверті лежать кути : а) 152; б) 340; в) / 6; г) 9,1.
|
||||||
|
6) Вставити пропущене число:
|
||||||
|
|
sin |
1/2 |
|
|||
|
cos |
3/3 |
|||||
|
tg |
? |
|||||
|
|
||||||
ІІІ. Повідомлення теми, мети уроку, місце уроку в темі ( 1 хв. )
Розглядаємо основні властивості тригонометричних функцій, знаки тригонометричних функцій числового аргументу.
ІV. Мотивація навчальної діяльності учнів( 1 хв. )
Під час вивчення тригонометричних функцій часто виникає потреба в знаходженні областей визначення і значення, знаків тригонометричних функцій даного кута.
V. Засвоєння нових знань ( 8 хв. )
1.Властивості тригонометричних функцій визначаються вчителем з допомогою учнів. Пояснення нового матеріалу проводиться за допомогою таблиць, кодопозитива, знаків “ + ”, “ - ” з магнітним кріпленням.
2. Підсумовується колективна робота.
1) Чи можлива рівність:
а) sin x = 1/10 ;
б) cos x = 17/3 ;
в) tg x = -3.
2) В якій чверті міститься х, якщо:
а) sin x > 0; г) sin x > 0, cos x < 0;
б) cos x > 0; д) sin x < 0, cos x < 0.
в) tg x > 0;
VІ. Засвоєння навичок застосування властивостей тригонометричних функцій (13 хв.)
1.Вчитель з допомогою учнів знаходить знаки тригонометричних функцій кута 350.
2.Самостійна робота навчального характеру (5 хв.)
|
І |
ІІ
|
|
1) Знайти знаки тригонометричних функцій кута : 185 135 2) Знайти знак добутку: cos 95∙sin 330 tg 290∙sin 100 |
|
3. Самостійна робота перевіряється:
|
І
|
ІІ
|
|
1) 185 – кут ІІІ чверті sin 185 < 0, cos 185 < 0, tg 185 > 0, ctg 185 > 0
2) cos 95 < 0, sin 330 < 0. Отже, cos 95∙sin 330 > 0
|
1) 135 - кут ІІ чверті sin 135 > 0, cos 135 < 0, tg 135 < 0, ctg 135 < 0
2) tg 290 < 0, sin 100 < 0. Отже, tg 290∙sin 100 > 0
|
4. Самостійна робота.(6 хв.)
Виконуються на картках з друкованою основою.
Зразок картки:
|
к-12 1) Визначити знак: cos 199, tg 2/3, ctg 3,24.
2) Визначити знак добутку: tg 201∙ctg 91∙sin 145.
|
Всі учні одержують оцінки за виконану роботу.
VІІ. Підсумок уроку (8 хв.)
1. Що нового дізналися на сьогоднішньому уроці ?
2. Назвіть область визначення і область значень кожної з тригонометричних функцій.
3. Який знак мають значення тригонометричних функцій кута І чверті ?
(ІІ,ІІІ,ІV) ?
4. Біля дошки розв’язується №14 з загостренням уваги на ключових моментах розв’язку.
VІІІ. Домашнє завдання (2 хв.)
Проводиться інструктаж. § 4 , № 16, 17, сторінка 81; диференційоване д/з: № 25 (а,б).
Урок – гра
Тема уроку: Спрощення тригонометричних
виразів
Мета уроку: 1)Формувати вміння та навички
спрощення тригонометричних виразів, використовуючи співвідношення між тригонометричними формулами одного й того самого аргументу.
2) Сприяти під час уроку формуванню причинно-наслідкових зв’язків,
продовжувати формувати вміння порівнювати і узагальнювати факти.
3) Виховувати в учнів культуру математичної мови, любов до математики, комунікабельність.
Тип уроку: урок формування вмінь і навичок учнів.
Обладнання уроку: збірник завдань для екзамену з
математики, таблиці, дидактичні і роздаткові матеріали.
ХІД УРОКУ
I. Перевірка домашнього завдання( 3 хв.)
Наявність домашнього завдання перевірено до початку уроку навчальними секторами. Правильність виконання перевіряється.
|
a) 1+ sin²x - sin²x = (1-cos²x) + sin²x = sin²x + sin²x = 2 sin²x;
b) 2 cos²x -1 ‗ 2 cos²x - sin²x - cos²x ‗ cos²x - sin²x ‗ (cos x-sin x)(cos x+sin x) ‗ sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x
= cos x - sin x |
Якість засвоєння знань перевіряється з допомогою фронтального опитування.
ІІ. Актуалізація опорних знань учнів (5 хв.)
Фронтальне опитування.
1. Сформулюйте означення подібних доданків. Що називається зведенням подібних доданків?
|
а) –5ху + 10ху |
б) –2cos²x – 3cos²x |
в)-sinx-sinx |
||||
|
Чому дорівнює квадрат суми двох виразів? |
|
|
||||
|
а) (х+у)² |
б) (2к-5в)² |
|
в) (cosx+sinx)² |
|||
|
Вставити пропущений вираз: |
|
|
||||
|
cosx>0 |
sinx<0 |
|
tgx>0 |
|
cosx<0 |
|
|
3π/2<x<2π |
|
|
? |
|||
2.
3.
4. Записати співвідношення між тригонометричними функціями одного і того самого аргументу. Учні записують по черзі співвідношення на правому крилі дошки, інші – в зошитах.
ІІІ. Повідомлення теми, мети уроку, місця уроку в темі (1 хв.)
Продовжити спрощувати тригонометричні вирази, використовуючи співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.
ІV. Мотивація навчальної діяльності учнів (1 хв.)
Спрощення тригонометричних виразів необхідне для розв‘язування тригонометричних рівнянь, нерівностей, знаходження значень тригонометричних функцій.
V. Формування вмінь і навичок учнів (30 хв.)
Проводиться у вигляді математичного турніру.
Умови: клас поділяється на дві команди. Кожній пропонується 5 завдань. Через15 хвилин члени команд повинні записати у зошити розв‘язки та вміти їх пояснити. Дозволяються консультації серед членів однієї команди. Капітан першої команди обирає учнів з іншої команди для участі в турнірі. Теж саме робить і капітан другої команди.Перша пара названих учнів обмінюється завданнями і йде до дошки розв‘язувати їх. Після закінчення пояснень до дошки йдуть інші пари і т. д. Виграє турнір команда, яка розв‘яже правильно і пояснить більшу кількість завдань.Арбітр турніру – вчитель.
Завдання для команд підібрані із “Збірника завдань для екзамену з математики”:
|
№ п/п |
І команда |
ІІ команда |
|
1 |
№ 176 а |
№ 176 б |
|
2 |
№ 179 а |
№ 179 б |
|
3 |
№ 182 а |
№ 182 б |
|
4 |
№ 192 а |
№ 192 б |
|
5 |
№ 188 а |
№ 188 б |
VI. Підсумок уроку – гри (3 хв.)
Учням, які розв‘язали завдання на дошці, виставляються оцінки. Підводяться підсумки математичного турніру. Звертається увага на використані співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.
VII. Домашнє завдання (2 хв.)
§ 8, № 180, 189 (а); диференційоване домашнє завдання: № 190 (а), 245 (а).
Урок – семінар
(розраховано на 2 спарені уроки)
Тема уроку: Тригонометричні функції
будь- якого аргументу
Мета уроку: 1) Перевірити рівень знань, вмінь і навичок
учнів, узагальнити і систематизувати основні теоретичні знання з даної теми.
2) Розвивати в учнів вміння виділяти головне, формувати вміння порівнювати і узагальнювати факти, встановлювати причинно-наслідкові зв’язки.
3) Виховувати в учнів культуру математичної мови, любов до математики, взаємодопомогу.
Тип уроку: урок контролю та корекції знань, вмінь і навичок учнів.
Обладнання уроку: таблиці, диференційовані картки з
завданнями по даній темі, картки-інструктажі різного типу.
Підготовку до уроку – семінару починаю за два тижні. Учням пропонуються питання для самопідготовки, теми рефератів, список додаткової літератури.
Питання для підготовки до семінару:
1. Означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса.
2. Область визначення і множина значень синуса, косинуса, тангенса і котангенса.
3. Значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів
0º¸30º¸45º¸60º¸90º¸180º¸270º¸...
4. Радіанна міра кута.
5. Властивості синуса, косинуса, тангенса і котангенса.
6. Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу.
7. Формули зведення.
Теми рефератів:
1. Історія розвитку тригонометрії.
2. Використання тригонометрії в науці і техніці.
Література:
1. М.І.Шкіль. ”Алгебра і початки аналізу”.
2. Г.І.Глейзер. “Історія математики в школі”.
3. А.Г.Конфорович.”Колумби математики”.
4. Г.І. Галай. ”Учням про видатних математиків”.
5. А.Г.Гайштут.”Математика в логических упражнениях”.
ХІД УРОКУ
І. Перевірка домашнього завдання
З метою економії часу домашнє завдання перевіряється відповідальними за це учнями перед початком уроку з внесенням відповідних корективів.
ІІ. Повідомлення теми, мети уроку, місця уроку в темі (1 хв.)
Перевірка теоретичного матеріалу та вміння розв’язувати практичні завдання з даної теми; проведення узагальнення і систематизації основних теоретичних знань. Це підсумковий урок по темі “Тригонометричні функції будь-якого аргументу”.
ІІІ. Перевірка знань учнями фактичного матеріалу і вміння самостійно пояснювати їх суть, встановлювати зв’язки. Використання учнями знань в стандартних і нестандартних умовах ( 57 хв.)
1) Клас слухає і обговорює реферати.
2) Учні слухають відповіді на підготовлені питання, розв’язують вправи ( з поетапним самоконтролем і взаємоконтролем):
• означення синуса, косинуса, тангенса і котангенса;
• область визначення і множина значень синуса, косинуса, тангенса і котангенса;
• значення синуса, косинуса, тангенса і котангенса кутів 0º,30º,45º,60º,90º,180º,270º,...
Самостійна робота №1 (5 хв. )
|
І варіант |
ІІ варіант |
|
1) Кутом якої чверті є кут х, якщо:
|
|
|
а) х = 98º б) x = -282º в) х = -369º |
а) х = 282º б) x = - 98º в) х = -369º |
|
2) Обчислити:
|
|
|
а) cos 0º + 3sin90º б) sin60º + cos30º |
а) 6tg180º + 3ctg90º б) sin45º·cos60·ctg270º
|
|
3) Вказати найбільше і найменше значення виразу:
|
|
|
3 + sin x |
5 + cos x
|
Розв’язок учні перевіряють за зразком, записаним на додатковій дошці.
• pадіанна міра кута;
• властивості синуса, косинуса, тангенса і котангенса.
Самостійна робота № 2 (5 хв.)
|
І варіант |
ІІ варіант |
|
1) Який знак має sinx, cosx, tgx, ctgx, якщо: |
|
|
x = 36º¸197º¸288º |
x=16º¸303º¸108º |
|
2) Кутом якої чверті є кут х, якщо відомо,що: |
|
|
sinx < 0, tgx > 0 |
cosx > 0, tgx > 0 |
|
3) Якій координатній чверті належить кут х, якщо: |
|
|
sinx + cosx = -1,01 |
sinx + cosx = -1,03 |
|
4) Знайти значення виразу: |
|
|
2sinx – cos3x, при х = π/3 |
3sinx – 2cos3x, при х = π/6 |
Завдання 1,2,4 перевіряються, відповіді аналізуються з місць. Завдання 3 аналізується і обговорюється колективно, учні розв‘язують самостійно і свій розв‘язок звіряють із зразком вчителя.
• співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу супроводжуються розв‘язком усних вправ:
q 6sin²x + 6cos²x ;
q sin²x (1+ ctg²x) ;
q cos²x (1+ tg²x) ;
q 1-cos²x ;
sin²x
q cos²x ;
1-cos²x
q tgx · ctgx - cos²x .
Самостійна робота № 3 (5 хв.)
|
І варіант |
ІІ варіант |
|
Обчислити значення тригонометричних функцій кута х: |
|
|
cos x = 40/41 і 0 < x < π |
sin x = -4/5 і π/2 < x < 3π/2 |
формули зведення.
Після повідомлення учня розглядаються вправи.
Самостійна робота № 4 (7 хв.)
|
І варіант |
ІІ варіант |
|
1) Спростити вираз: |
|
|
sin(90º-x) + cos(180º+x) + + tg(270º+x) + ctg(360º+x) |
sin(π/2+x) - cos(π-x) + +tg (π-x) + ctg(3π/2-x) |
|
2) Перетворити вираз: |
|
|
sin(π+x) · cos(2π-x) tg(π-x) · cos(π-x) |
sin(-x) · ctg(-x)_ cos(360º-x) · tg(180º+x) |
Два учні виконують ці завдання на відкидних крилах дошки, клас звіряє свої розв‘язки з відповідями на дошці.
IV. Підсумок уроку-семінару( 30 хв.)
Закінчується урок-семінар перевіркою вмінь застосовувати основні тригонометричні формули до перетворення виразів.
Всі учні виконують індивідуальні самостійні роботи, записані на картках.
Кожен учень може працювати у своєму індивідуальному режимі. Робота перевіряється вчителем після уроку.
Зразок картки:
|
І рівень |
1) Дописати тотожності: |
||
|
1 - sin²x = |
1 + tg²x = |
2sinx · cosx = |
|
|
ІI рівень |
2) Спростити вирази: |
||
|
ctgx·(1-cos²x) |
1+2sinx·cosx cosx+sinx |
sin²x cos²x 1+tg²x 1+ctg²x |
|
|
ІІI рівень |
3) Знайдіть значення виразу: |
||
|
ctg²x - cos²x¸ якщо sinx = 3/5 |
|||
|
4) Доведіть тотожність: |
|||
|
sin²x / (ctg²x - cos²x) = tg x |
|||
|
ІV рівень |
5) Записати у вигляді добутку: |
||
|
(3 - 4cos 4x + cos 8x)·(1 – cos 2x) |
|||
V. Домашнє завдання (2 хв.)
§ 8, № 40 (3, 4, 7) ст.85; диференційоване домашнє завдання: № 45(5).
про публікацію авторської розробки
Додати розробку