Систематизація та узагальнення знань з алгебри та початків аналізу

Про матеріал

У посібнику систематизовано та узагальнено розв’язування рівнянь , нерівностей, систем рівнянь. Посібник складається з окремих частин, в кожній з яких пропонуються короткі теоретичні відомості, приклади розв’язання задач та вправ для самостійної роботи учнів. Книга буде корисною учням, вчителям шкіл та всім, хто бажає оволодіти методами розв’язування алгебраїчних рівнянь, захоплюється математикою і мріє про вступ до вищого навчального закладу. Рекомендовано вчителям математики.

Перегляд файлу

Систематизація

та узагальнення знань

з алгебри і початків аналізу.

Радовська Лідія Володимирівна,

вчитель математики

Дніпровська гімназія № 13

м.Дніпро

2025 рік

Книга буде корисною учням, вчителям шкіл та всім, хто бажає оволодіти методами розв’язування алгебраїчних рівнянь, захоплюється математикою і мріє про вступ до вищого навчального закладу.

Рекомендовано вчителям математики.

Зміст

Тотожності і тотожні перетворення виразів----------------------------
Рівняння з параметрами-----------------------------------------------------
Системи рівнянь--------------------------------------------------------------
Нерівності----------------------------------------------------------------------
Вирази, функції, рівняння і нерівності, що містять знак модуля---

Тотожності і тотожні перетворення виразів

Основні алгебраїчні тотожності

Пригадати:

-означення степення з натуральним, цілим, раціональним показниками, властивості степенів;

-означення і властивості корення n-го степення;

-означення і властивості логарифмів.

Властивості степеня

Властивості логарифмів

Властивості кореня

Записати умови, за яких виконуються ці властивості.

Вправи

Винести множник з-під знака кореня :

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12)

Винести множник з-під знака кореня:

1) ,якщо 2) , якщо

Внести множник під знак кореня:

1) 2) 3) 4) 5) 6)

4. Спростити вираз

1) 2) 3) 4) 5) 6)

5. Спростити вираз:

1) 2)

6. Знайти значення виразу:

1) 2) 3)4)

7. Обчислити значення виразу:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

8. Знайти значення х:

РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ

Пригадати:

Тотожності скороченого множення
Способи розкладання многочленів на множники
Біном Ньютона, трикутник Паскаля
Як поділити многочлен на многочлен.

Тотожності скороченого множення (закінчити записи)

Розкласти квадратний тричлен на множники:

Способи розкладання многочленів на множники

Винесення спільного множника

Групування

доданків

Використання тотожностей скороченого множення

Біном Ньютона і трикутник Паскаля

k n	0	1	2	3	4
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1

Приклади:

Спростити вираз

Розв’язаня

Розкласти на множники многочлен

Розв’язання

Вправи

Перетворити у многочлен стандартного вигляду:

2. Записати у вигляді суми:

1) 2)

Розкласти на множники:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9) 10)

4. Розкласти на множники

10)

11)

12)

СПРОЩЕННЯ ВИРАЗІВ

Пригадати:

Як виконуються дії над звичайними дробами
Як позбутися ірраціональності в знаменнику дробу
Тотожності скороченого множення
Правила розкриття дужок
Способи розкладання многочленів на множники

Як позбутися ірраціональності в знаменнику

1. Якщо

2. 3.

4.= 5.

6. 7.

Скористатися підказками:

Приклад. Спростити вираз:

Розв`язання:

Відповідь. якщо .

Вправи

Спростити вираз:

Спростити вираз:

1) 2)

3) 4)

Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу:

1) 2)

3) 4)

Спростити вираз:

Довести, що число є цілим.

Спростити вираз:

ДОВЕДЕННЯ ТОТОЖНОСТЕЙ

Пригадати:

Що називається тотожністю
Прийоми доведення тотожностей
Способи спрощення виразів
Метод математичної індукції.

Прийоми доведення тотожностей

Перетворити ліву або праву, або ліву і праву частини виразу.
Застосувати метод математичної індукції
Скористатися додатковими умовами, накладеними на тотожність, застосувати один із відомих способів доведення тотожностей.

Приклади

1.Умовна тотожність. Якщо

Доведення

Тоді

Оскільки

Метод математичної індукції.

Довести, що

Доведення

1.Якщо рівність виконується:

2.Припустимо, якщо то:

3.Доведемо,що рівність виконується, коли , тобто:

Справді,

Отже, рівність виконується для будь-якого

Вправи

1.Довести тотожність:

2.Довести тотожність:

1) 2)

3. Якщо , то . Довести.

4. Довести, що коли , то .Знайти допустимі значення z.

5. Довести, що за умов x>0 і y>0 з рівності випливає рівність

6. Довести тотожності:

1) 2)

За яких обмежень для змінних ці тотожності мають зміст?

7.Довести тотожності методом математичної індукції.

ОБЧИСЛЕННЯ ЗНАЧЕНЬ ВИРАЗІВ

Пригадати:

Властивості кореня,степеня, і логарифмів
Тотожності скороченого множення
Способи спрощення алгебраїчних виразів
Правила виконання дій над числами

Приклади

1.Знайти значення виразу , якщо

Розв’язання

Спростимо вираз: =

Якщо а=0,6, значення виразу дорівнює

Відповідь: 11

2. Обчислити , якщо

Розв’язання

Потрібно обчислити , , знаючи що .Подамо число 2 у вигляді виразу,що містить число 3 (основа логарифмів), і число 12(логарифм якого відомий):

Тоді =

Отже,

Відповідь:

Знайти значення виразу

Розв’язання

2<, а 3>, тому = –, а =.

Отже,

Відповідь: 1.

Вправи

1. Обчислити значення виразу:

1) якщо

2), якщо

3) , якщо а=-10, b=2

4) , якщо ,

2. Знайти , якщо

3. Знайти , якщо

4. Відомо, що Знайти

5. Відомо, що Знайти

6. Знайти значення виразу:

Самоперевірка

Рівень А

1. Для розкладання виразу на множники користуються:

1) лише способом групування

2) лише винесенням спільного множника за дужки

3) своя відповідь.

2. Вирази, що містять числа, змінні, знаки дій і дужки, називаються:

1) числовими виразами

2) виразами зі змінними

3) функціями

3. Сформулюй правила додавання, віднімання, множення і ділення алгебраїчних дробів. Знайти суму, різницю, добуток і частку виразів

Рівень Б

1. Позбудьтеся ірраціональності в знаменниках дробів:

1) 2)

2. Запиши як многочлен стандартного вигляду вираз

Якою тотожністю ти скористався? Яку назву має ця тотожність?

Рівень В

1.У чому полягає доведення методом математичної індукції?

2.За якої умови існує , якщо:

1) 2) 3)

3. Розклади на множники числовий вираз .

Рівняння з параметрами

Загальні відомості

Пригадати:

Що таке параметр;
Що означає “допустимі значення параметра”;
Схему розвязування рівнянь з параметрами.

Нехай , де і-параметри, тоді:

називають значень параметрів, якщо вираз не має змісту ні для яких значень і;
називають значень параметрів, якщо вираз має зміст для деяких значень і.

Розвязати рівняння з параметром - означає знайти для кожного допустимого значення множину розвязків рівняння.

План розвязування рівнянь з параметрами

Знайти критичні значення параметра.
Знайти розвязки рівняння для критичних значень параметра.
Знайти множини розвязків на інтервалах між критичними значеннями параметра.
Побудувати графічну ілюстрацію і записати відповідь.

Приклад: розвязати рівняння .

, , ,5.
, ; .

0 1 a

Відповідь. Якщо , то розвязків не має;

Якщо , то ;

Якщо то

Вправи

Для кожного з рівнянь знайти допустимі значення параметра а:
5. .

Знайти допустимі значення параметра а і для кожного такого а знайти область визначення функції .

Розвязавши деякі рівняння з параметрами, одержали такі результати:

Рівняння має два розвязки якщо і .Якщо то рівняння має один корінь . А якщо , то .
Якщо , то рівняння має один корінь ; якщо , то рівняння розвязків не має.
Якщо , то рівність справджується для всіх значень змінної. Якщо і , то .
Якщо і , то . Для інших значень параметра рівняння не має розвязків.
Якщо . То рівняння не має дійсних коренів; якщо жто

За даними результатами побудувати графічні ілюстрації та записати відповіді.

Лінійні рівняння з параметрами

Пригадати:

Які рівняння називаються лінійними;
Умови, за яких лінійне рівняння не має коренів, має безліч коренів, має один корінь.

де - змінна, і - параметри

то якщо і , то якщо і , то

рівняння має безліч рівняння розвязків не

розвязків має

Приклад. Розвязати рівняння .

Розвязання

У даному рівнянні допустимими є будь-які значення параметра .

, , .

Критичними значеннями параметра є і .

Якщо , то .

Якщо то ,
Якщо і то .

0 1

Відповідь. Якщо то ; якщо , то ; якщо то .

Вправи

1. Для кожного допустимого значення параметра розвязати рівняння:

2. Розвязати рівняння:

1);

Для яких значень рівняння має додатні розвязки
Для яких значень рівняння має відємні розвязки
Для яких значень рівняння має єдиний розвязок; не має розвязків
Для яких значень корені рівняння кратні 3; кратні 5
Для яких значень параметра рівняння матиме корінь більший, ніж -1
Для якого значення параметра рівняння має безліч розвязків
Для якого значення параметра рівняння не має розвязків

Дробові рівняння з параметрами

Пригадати:

Які рівняння називаються дробовими;
Схему розвязування рівнянь з параметрами.

Приклад. Для кожного допустимого значення параметра розвязати рівняння

Розвязання

У даному рівнянні допустимими є будь-які значення параметра .

Розвяжемо спочатку перше рівняння системи. Критичним значенням параметр є .

Якщо , то ,

Якщо то

Знайдемо ті значення параметра , для яких знайдений розвязок рівняння задовольняє нерівності системи.

Самостійно побудувати графічну ілюстрацію.

Відповідь. Якщо і , то

Якщо або , то рівняння коренів не має.

Вправи

Розвязати рівняння:
Для яких значень рівняння має додатні розвязки
Для яких значень рівняння має відємні розвязки
Значення виразу дорівнює 1, якщо . Для якого значення значення цього виразу дорівнює 3?
Для якого значення параметра рівняння не має розвязків
Знайти суму значень параметра , для яких рівняння не має розвязків.
Розвязати рівняння:

Квадратні рівняння з параметрами

Пригадати:

означення квадратного рівняння;
за яких умов квадратне рівняння має два корені, один корінь, не має коренів.

Критичні значення параметрів a, b, c рівняння де x- невідома змінна:

Якщо , то переходимо до лінійного рівняння;

Якщо , то кількість коренів рівняння залежить від знака дискримінанта

Приклади

Дано деяке число . За яких умов обидва корені тричлена більші від , тобто ?

Розвязання

Коефіцієнти квадратного тричлена мають задовольняти умови:

y 2) a < 0

F(k)

k 0 x k x

F(k)

За яких умов корені тричлена лежать з різних боків від деякого числа , тобто ?

Вказівка. Коефіцієнти квадратного тричлени мають задовольняти умову:

Побудувати графічну ілюстрацію.

за яких умов корені квадратного тричлена різні тільки один із них лежить у даному проміжку ?

Вказівка. Коефіцієнти квадратного тричлена мають задовольняти умови:

Побудувати графічну ілюстрацію.

4. За яких умов множина коренів квадратного тричлена не порожня і всі його корені лежать у даному проміжку ?

Вказівка. Коефіцієнти квадратного тричлена мають задовольняти умови:

Побудувати графічну ілюстрацію.

Вправи

1. Для кожного допустимого значення параметра розвязати рівняння:

Для яких значень параметра рівняння має єдиний розвязок?
Знайти всі значення параметра , для яких рівняння і мають один спільний корінь.
Знайти всі значення параметра , для яких рівняння має два різні корені і більший з них задовольняє нерівність .
Знайти всі значення параметра , для яких рівняння має два різні корені і менший з них задовольняє нерівність
Скільки коренів залежно від параметра має рівняння ?
Знайти всі значення параметра , для яких рівняння і рівносильні.
Для яких значень параметра рівняння має два різні додатні корені?
Для яких значень параметра рівняння має два різні відємні корені?
Для яких значень параметра один з коренів рівняння більший від 1, а інший - менший від 1?
Для яких значень параметра обидва корені рівняння належать відрізку ?
Знайти значення , для яких корені рівняння більші від –1.
Для якого значення сума квадратів коренів рівняння є найменшою?
Знайти значення , для яких рівняння має дійсні розвязки, та визначити їх знаки.

Графічні методи розвязування задач з параметрами

Пригадати:

Властивості і графіки елементарних функцій;
Геометричні перетворення графіків функцій.

Побудова графічної моделі в системі координат

Параметр а розглядається як рівноправна змінна з аргументом х.

Будуємо графічну модель задачі.

Використовуючи прямі , отримуємо потрібні інформацію (наприклад, кількість коренів рівняння залежно від значень параметра, властивості розвязків рівняння).

Побудова графічної моделі в системі координат

Параметр а нерівноправний зі змінною х.

Зводимо рівняння до вигляду
У системі координат будуємо графік і сукупність графіків .
Аналізуючи графічну модель, отримуємо потрібну інформацію.

Приклад. Визначити всі значення параметра а, для яких рівняння має хоч один додатний корінь.

Розвязання

-1

3 -1 0 1 x

Для кожного фіксованого значення параметра a розвязками рівняння є абсциси точок перетину даного графіка з горизонтальною прямою , яка відповідає цьому значенню параметра.

Як ми бачимо з малюнка, одна з точок перетину буде мати додатну абсцису тоді і тільки тоді, коли . Це і є шукана множина значень параметра.

Відповідь.

Вправи

Знайти всі значення параметра , для яких рівняння має точно три різні корені.

Для яких значень параметра , рівняння:
1. має точно три різні корені;
2. має лише два різні корені?

Для яких значень параметра має точно два корені система рівнянь

Визначити кількість коренів рівняння залежно від значення параметра .
Визначити кількість коренів рівняння залежно від значення параметра .

Для яких значень параметра рівняння має не більше трьох коренів?

Для яких значень параметра рівняння має три корені?

Знайти суму всіх значень параметра , для яких має єдиний розвязок система

Для якого найменшого цілого додатного значення параметра система не має розвязків

Для якого найбільшого значення параметра має тільки чотири розвязки система

Розвязати рівняння

Системи рівнянь

Основні поняття і способи розв’язування

Пригадати:

що означає «розв’язати систему рівнянь»;
теореми про рівносильні рівняння;
теореми про рівносильні системи рівнянь;
способи розв’язування систем рівнянь.

Якщо рівняння рівносильне рівнянню ,

то система рівносильна системі

Теореми про рівносильні системи рівнянь

1. Система рівносильна системі

2. Якщо не існує пар (x; y), для яких то система рівносильна системі

3. Якщо не існує пар (x; y), для яких , то система

рівносильна системі

4. Якщо для будь-яких х, у з ОДЗ системи

то дана система рівносильна системі

Основні способи розв’язування систем рівнянь

Спосіб алгебраїчного додавання;
спосіб підстановки;
спосіб заміни змінних.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання

Застосовуємо спосіб заміни змінних. Нехай і Перейдемо до системи Тоді або

Остаточно маємо:

Вправи

Розв’язати системи рівнянь способом алгебраїчного додавання:

1) 2)

3) 4) 5)

2. Розв’язати системи рівнянь способом підстановки:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

3. Розв’язати системи рівнянь способом заміни змінних:

1) 2)

3) 4)

4. Розв’язати системи рівнянь:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

Однорідні і симетричні системи рівнянь

Пригадати:

які рівняння, системи називаються однорідними, симетричними;
теореми про рівносильні рівняння;
способи розв’язування систем рівнянь.

Однорідні системи

Однорідні системи розв’язуються комбінацією двох способів: алгебраїчного додавання і введення нових змінних.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання

Віднімемо від другого рівняння системи перше. Маємо:

Це однорідне рівняння. Якщо у=0, то х=0. Але пара (0;0) не є розв’язком системи. Отже,

Поділивши рівняння на у², зробивши заміну і розв’язавши квадратне рівняння, отримаємо сукупність систем:

Застосувавши спосіб підстановки, матимемо розв’язки: , ,

Симетричні системи

Вираз F(x; y) називається симетричним, якщо він від заміни змінних на, на не змінюється. Система, всі рівняння якої симетричні, називається симетричною.

Симетричні системи розв’язують з використанням підстановок:

, .

і т.д.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання

Поклавши , , переходимо до системи:

Звідси маємо: або

Тоді або

Розв’язками цієї сукупності, а з нею і початкової системи рівнянь, є пари чисел: (1;2), (2;1).

Вправи

1. Розв’язати системи, що містять однорідні рівняння:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

2. Розв’язати симетричні системи рівнянь:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

Системи ірраціональних рівнянь

Пригадати:

теореми про рівносильні рівняння і системи рівнянь;
способи розв’язування ірраціональних рівнянь.

Вказівка. Розв’язавши систему, що містить ірраціональні рівняння, обов’язково зробити перевірку!

Приклад. Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання

Нехай . Тоді перше рівняння системи набирає вигляду , , .

Звідси

Розв’язавши останню систему способом підстановки, знаходимо:

Перевірка. Безпосереднім обчисленням переконуємося, що пари чисел і є розв’язками системи.

Відповідь. (2;1), .

Вправи

Розв’язати системи, що містять ірраціональні рівняння:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19)

Ірраціональними називаються рівняння, що містять змінну під знаком кореня. Загальних прийомів розв’язування ірраціональних рівнянь немає, тому, застосовуючи різноманітні способи (які саме, залежить від особливостей рівняння) , прагнемо спростити рівняння, записати його в зручному для пошуку розв’язків вигляді і, зрештою, одержати відповідь.

Важливу роль тут відіграють аналіз рівняння, дослідження ОДЗ─ області допустимих значень змінної, врахування обмежень, пов’язаних з означенням поняття кореня.

Приклади

1.Розв’язати рівняння.. .

Розв’язання

Нехай , . Тоді .

Піднесемо обидві частини одержаної рівності до куба, скориставшись формулою

Отже,

, , звідки .

Перевіркою переконуємося, що це справді корінь даного рівняння.

Відповідь. 0.

Розв’язання

Застосовуємо підстановку , . Тоді

, ,

Отже, .

Або

D < 0 ─ рівняння розв’язків не має.

Звідси:

, ,

Відповідь. 0

Розв’язання

Нехай , (очевидно, що для будь-якого ).

Тоді .

Маємо: ,

, , .

Отже,

Тут можна знову застосувати підстановку ( або , або ), але можна обійтися і без неї:

звідки

, або

, D=1 - 20 < 0, рівняння розв’язків не має.

або .

Відповідь. 0;-1.

4. .

Розв’язання

Скористаємося підстановкою. Нехай , .

Тоді , , , а отже,

, ,

(очевидно, що ),

, причому .

Звідси:

, , .

Повертаючись до підстановки, знаходимо корінь рівняння.

Відповідь. 2.

5. .

Розв’язання

Піднесемо обидві частини рівняння до квадрата:

Звівши це рівняння до виду P(x)=0, де P(x)- многочлен, виконавши стандартні перетворення, ми б одержали алгебраїчне рівняння четвертого степеня. Тому краще скористатися підстановкою.

Нехай , тоді ,

, .

Звідси

або .

Отже,

або .

Звідси маємо:

, ,

або ;

, ,

, або .

Перевірка свідчить, що коренями даного рівняння є лише та . Значення є стороннім коренем, оскільки не належить до множини допустимих значень .

Таке розв’язування не є найкращим, хоча й продиктоване цілком зрозумілим прагненням «позбутися коренів». Воно ґрунтується на припущенні, що підкореневі вирази у даному рівнянні додатні.

Доцільніше одразу скористатися підстановкою.

Нехай , . Тоді ,

, . Звідси

або .

Отже,

або .

Подальший хід міркувань очевидний.

Скориставшись теоремою про розклад квадратного тричлена на множники, можна відразу вилучити сторонній корінь :

Можна переконатися, що знаходження множини допустимих значень змінної як множини розв’язків нерівності не виявляє інших сторонніх коренів.

Системи показникових рівнянь

Пригадати:

теореми про рівносильні рівняння;

теореми про рівносильні системи;

методи розв’язування систем рівнянь;

основні тотожності, що стосуються показникових виразів.

Для розв’язування систем показникових рівнянь застосовують способи алгебраїчного додавання, підстановки і заміни змінних.

Перед тим, як застосовувати той чи інший спосіб розв’язування систем, доцільно звести кожне рівняння системи до більш простого вигляду.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання

Перемноживши почленно рівняння системи, маємо рівняння:

, , .

Поділивши перше рівняння системи на друге, отримуємо рівняння:

, , .

Отже,

Розв’язком системи є пара чисел (2; 1).

Відповідь. (2; 1)

Вправи

Розв’язати системи рівнянь:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7) 8) 9)

10) 11)

Системи логарифмічних рівнянь

Пригадати:

теореми про рівносильні рівняння;
теореми про рівносильні системи;
методи розв’язування систем рівнянь;
основні тотожності, що стосуються логарифмічних виразів.

Для розв’язування систем логарифмічних рівнянь застосовують способи алгебраїчного додавання, підстановки і заміни замінних.

Перед тим як застосовувати той чи інший спосіб розв’язування систем, доцільно звести кожне рівняння системи до більш простого вигляду.

Розв’язавши систему, що містить логарифмічні рівняння, обов’язково зробити перевірку.

Основний прийом розв’язування систем показниково-степеневих рівнянь ─ спосіб логарифмування.

Приклад. Розв’язати систему рівнянь:

Розв’язання

Розділивши перше рівняння останньої системи на друге ( і , тобто ), матимемо рівняння:

звідки , .

Отже, дана система рівносильна сукупності систем:

Перша система цієї сукупності розв’язків не має, а пара ─ розв’язок другої системи ─ є розв’язком даної системи.

Відповідь. .

Вправи

Розв’язати системи рівнянь:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

НЕРІВНОСТІ

Основні поняття і властивості

Пригадати:

означення числових нерівностей;
властивості числових нерівностей;
правила порівняння дійсних чисел
.

Означення числових нерівностей

Число a називається більшим від числа b, якщо різниця a - b додатна. ( Якщо a-b > 0, то a > b.)
Число a називається не меншим від числа b, якщо різниця невідємна. (Якщо a-b > 0, то a > b.)
Число a називається не меншим від числа b, якщо різниця a – b відємна.(Якщо a-b < 0, то a < b.)
Число a називається не більшим від числа b, якщо різниця a - b не додатна. (Якщо a-b < 0, то a < b.)

Властивості числових нерівностей

Якщо a > b, то b < a.

Якщо a > b і b > c, то a > c.

Якщо a > b і с – довільне число, то a + c > b + c.

Якщо a > b і c > 0, то ac > bc.

Якщо a > b і c < 0, то ac < bc.

Записати самостійно властивості для нерівностей:

1) а ≥ b; 2) a > b. 3) a ≤ b.

Якщо а ≥ b і a ≤ b, то а = b.

Приклад.

Оцінити периметр рівностороннього трикутника зі стороною а мм, якщо 54,2 < a < 54,3.

Розв’язання

Периметр рівностороннього трикутника зі стороною а обчислюється за формулою Р=3а. тому помножимо на 3 кожну частину нерівності 54,2 < a < 54,3. Маємо:

54,2 ∙ 3 < 3a < 54,3 ∙ 3,

162,6 < 3a < 162,9

Одже, периметр Р данного трикутника більший від 162,6 мм, але менший від 162,9 мм.

Вправи

Порівняйте значення виразів 3а(а + 6) і (3а + 6)( а + 4), якщо:

1) а = -5; 2) а = 0; 3) а = 40.

Довести, що для будь-якого дійсного значення а значення першоговиразу менше від значення другог.

Якими числами( додатними чи відємними) є а і b, якщо:

1) a – 3 > b – 3 і b > 4 ; 2) a – 8 > b – 8 і a < -12;

3) 7a > 7b і b > ; 4) – 2a > - 2b і b < - .

Відомо, що а < b. Порівняти вирази:

1) -12,7a -12,7b; 2) ; 3) 0,07a і 0,07b ; 4).

Який знак числа а, якщо:

1) 5a < 2a; 2) 7a > 3a; 3) -3a < 3a ; 4) -12a > -2a.

Відомо, що а < b. Чи можна стверджувати, що

1); 2) ?

Відомо, що а, b, c і d — додатні числа, причому a > b, d < b, c > a. Упорядкувати числа за зростанням.
Відомо, що 3 < a < 4. Оцінити значення виразу:

1) 5а; 2) –а; 3) а + 2; 4) 5 – а; 5) 0,2а + 3.

Оцінити периметр квадрата зі стороною а см, якщо 5,1 ≤ а ≤ 5,2.
Оцінити довжину сторони квадрата, знаючи, що периметр квадрата дорівнює Р см, 15,6 ≤ Р ≤ 15,8.
У якому випадку катер витратить більше часу: якщо пройде 20 км за течією річки і 20 км проти течії чи якщо пройде 40 км у стоячій воді?
Довести, що півпериметр трикутника більший за довжину кожної з його сторін.
Нехай а, b, c і d — деякі числа, причому a > b, c < d, c > d. Порівняти числа a і c, d і b.
Чи правда якщо a > b, то:
Відомо, що 12 ≤ у ≤ 16. Оцінити значення виразу:

1) – 0,5у; 2) 42 – 2у; 3).

Додавання і множення числових нерівностей

Пригадати:

означення числових нерівностей;
властивості числових нерівностей;
які дії можна виконувати над нерівностями.

Правила додавання і множення нерівностей

Якщо a < b і c < d, то a + c < b + d.
Якщо 0 < a < b і 0 < c < d, то ac < bd.

Як відняти і поділити нерівність

Нехай a < b і c < d . Тоді -c > - d , або -d < - c. За правилом 1:

a-d < b-c.

Нехай a < b, c < d і a >0, b >0, c > 0, d > 0. Тоді , або . За правилом 2:

Приклад.

15 < x <16 і 2 < y < 3.

Оцінити : 1) x + y; 2) x – y; 3)xy; 4).

Розв’язання

15 < x < 16 і 2 < y < 3, 15 + 2 < x + y < 16 + 3, 17 < x + y < 19/
15 < x < 16 і 2 < y < 3, 15 < x < 16 і -2 < -y < -3,

15 – 3 < x – y < 16 – 3, 12 < x – y < 14.

3) 15 < x < 16 і 2 < y < 3, 15 ∙ 2 <xy < 16 ∙ 3, 30 < xy < 48 .

4) 15 < x < 16 і 2 < y < 3, 15 < x < 16 і

Вправи

Додати почленно нерівності:

1)12 > -5 і 9 > 7; 2)-2,5 < -0,7 і -6,5 < -1,3.

Перемножити почленно нерівності:

1) 5 > 2 і 4 > 3; 2) 8 < 10 і .

Чи можна стверджувати, що для додатніх чисел і:

1) якщо a > b, то a²> b²; 2) a²> b², то a > b.

Нехай 3 < a < 4 і 4 < b < 5. Оцінити:

1) a + b; 2) a – b; 3) ab; 4)/

Відомі межі для довжини a і ширини b ( у м) кімнати прямокутної форми: 7,5 ≤ a ≤ 7,6 s 5,4 ≤ b ≤ 5,5. Чи підійде це пріміщення для бібліотеки, якій потрібна кімната площею не менше ніж 40 м²?
Нехай і — кути трикутника. Відомо, що 58^, . Оцінити величину третього кута.
Оцінити значення виразу:
1. a + 2b, якщо 0 < a < 1 і -3 < b < -2;
2. a -b, якщо 7 <a < 10 і 14 < b <15.
Оцінити довжину середньої лінії трапеції з основами a см і c см, якщо

3,4 ≤ a ≤ 3,5 і 6,2 ≤ с ≤ 6,3.

Відомо, що Оцінити значення виразів:
Відомо, що Оцінити значення виразів Скільки цілих значень може мати кожен з цих виразів?
Відомо, що 2 < x ≤ 5 і 3 ≤ y < 6. Оцінити значення виразів

1) xy – x; 2) y –xy;

Відомо, що 4 ≤ x ≤ 5 і 2 ≤ y ≤ 4. Оцінити значення виразів

1); 2).

Довжини двох сторін трикутника дорівнюють 6 см і 10 см. Які знвчення може мати півпериметр цього трикутника?
Периметр паралелограма більший від 20, а довжина однієї з його сторін менша 6. Оцінити довжину другої сторони.
Периметр паралелограма менший від 30, а довжина однієї з його сторін більша від 10. Оцінити довжину другої сторони.

Порівняння значень числових виразів

Пригадати:

правила порівняння дійсних чисел;
властивості числових нерівностей;
які дії виконуються над нерівностями.

Щоб порівняти числа a і b слід:

припустити що правильна одна з нерівностей a > b або a < b ;
виконати рівносильні перетворення, щоб одержати зручний результат;
оцінити результат;
зробити висновок.

Приклади

Порівняти a = і b.

Розв’язання

Припустимо, що a > b , тобто > . Тоді, застосвавши властивості числових нерівностей, маємо:

Одже, якщо , то Але нерівність не виконується. Тому і припущення хибне. Зрозуміло, що . Залишається одна можливість .

Порівняти а=log і log

Розв’язання

Порівняємо числа a і b з нулем. Маємо :

log < log; log. Одже, a < 0, а b > 0.

Порівняти і .

Розвязання

Виконаємо оцінку з точністю то 1.

Отримана оцінка чисел a і b не дає змоги порівняти їх між собою. Оцінимо ці числа з точністю до 0,1:

Отже, a < b.

Вправи

Порівняти числа a і b, якщо:

1) 2)

3) 4) a=6, b

5) a= 6)

7) 8)

9) b= 10) a=

11)

12) a= b=

13) a= log, b= log 14) a= log b= log

15) a= log, b= log 16) a=log b=log.

17) a=log , b=log 18) a=log b=log

19) a=log b=log. 20) a=log, b= log

21) a= b=

22) a=3(lg7-lg5), b=2( ).

23)a= b=2.

24) Упорядкувати числа a, b, c, d за зростанням, якщо a=log, b=log, c=, d=log

Нерівності зі змінною та їх властивості

Пригадати:

означення числових нерівностей;
властивості числових нерівностей;
властивості функцій.

Теореми про рівності нерівностей

Нерівність ƒ(x)>g(x), визначена на множені D, рівносильна нерівностям:

g(x)>ƒ(x). Наприклад, якщо 4-х>6, то 6<4-x.
ƒ(x)-g(x)<0. Наприклад, якщо 4 - x > 6, то 4 - x - 6 > 0.
ƒ(x) + (x)<g(x) +(x), де (x) визначена на множині D.

Наприклад, x + 1 + > 8 + і x + 1 > 8, якщо x 0.

ƒ (x) (x) < g(x) (x), де (x) > 0, x D

Наприклад, х + 1 < 2x + 1 і 5(x + 1) < 5(2x + 1).

ƒ (x) (x) > g(x) (x), де (x) < 0, x D.

Наприклад, х + 1 < 2x + 1 і (x – x² – 1)(x +1) > (x – x² – 1)(2x + 1).

6.Нервність рівносильна нерівності ƒ (x) (x) < 0.

Наприклад, і (x-2)(3-x)>0/

7. Нерівності a^ƒ(x)< a^g(x) і ƒ(x) > g(x), якщо а (1;), рівносильні.

Наприклад, 0,5^х+5< 0,5^x-3і x + 5 > x – 3.

9. Якщо ƒ (x) > 0 і g(x) > 0, то нерівність ƒ (x) < g(x) і ( ƒ (x))ⁿ<(g(x))ⁿ, n N, рівносильні. Наприклад, нерівності x² > 1 і x⁴ > 1.

10. Нерівності ƒ (x) < g(x) і , де n N , рівносильні.

Наприклад, нерівності x – 2 < 3 – 4x і

11. Нерівності (ƒ(x))²ⁿ< (g(x))²ⁿ і n N, рівносильні. Наприклад, нерівності (x – 2)²>(3-4x)² і

12. Якщо а (1;) і ƒ (x) > 0, g(x) > 0, то нерівність ƒ (x) < g(x) і log_a ƒ (x) < log_a g(x) рівносильні.

Наприклад, log ₃(x² + 1) < log ₃8 і x² + 1 < 8.

13. Якщо а (1;) і ƒ (x) > 0, g(x) > 0, то нерівність ƒ (x) < g(x) і log_a ƒ (x) > log_a g(x)

рівносильні.

Наприклад, log і x² + 1 > 8.

Теореми про нерівності наслідки

Якщо ƒ (x) + g (х) < g(x) + (x), то ƒ (x) < g(x). Наприклад, якщо x + 1 + , то x + 1 > 8.
Якщо ,то ƒ(x) < g(x), n N. Наприклад, якщо то x + +1 < 9 – 2x.
Якщо а (1;) і log_a ƒ (x) < log_a g(x) , то ƒ (x) < g(x). Наприклад, якщо log ₃(x + 1) < log ₃8 , то x + 1 < 8.
Якщо а (1;) і log_a ƒ (x) < log_a g(x) , то ƒ (x) > g(x). Наприклад, якщо log і x + 1 > 8.
Якщо (x)≥0 і то ƒ (x) < 0. Наприклад, якщо , то x – 2 < 0.

Вправи

Чи є рівносильними нерівноті:

1) і x < 1; 2) і x²<1;

3) і x > -1 ; 4) x і x > 1;

5) x²≥ x і x ≥ 1 ; 6) x²≤ 1 і ;

7) x³ > x² і x > 1; 8) x³≥ x² і x ≥ 1 ?

2. Чи є рівносильними нерівноті:

і x²+ 1 < 2x² + x + 1;
і ?

Чи є рівносильними нерівноті:

1) 2x-3- і 2x - 3 < x – 4;

і 2x – 1 < x + 2;
і 1 – x < 4x – 3;
і x + 4 < 3x + 1;
²)(1 – x) і 4x + 8 < 1 – x;
і ;
< 0 і (х + 5)(х – 1) < 0;
і x + 3 < 0;

log ₂x ≤ 2 і log ₂x ≤ 1;

2) log ₂і _;

3) log і ;

4) і x > 1;

5) і x + 2 > 0;

6) і ;

7) і x > 4;

8) і .

Розвязування алгебраїчних нерівностей та їх систем

Пригадати:

властивості квадратичної, показникової, логарифмічної функцій;
теореми про рівносилість нерівностей.

Заповнити таблицю зробити відповідні малюнки:

Значення a, D		≥0		≤0
a > 0, D > 0
a > 0, D = 0
a > 0, D < 0
a < 0, D > 0
a < 0, D = 0	Нерівність розвязків не має	Розвязком нерівності є лише число x ₀	x
a < 0, D < 0

Записати теореми про рівносильність нерівностей, що містять показникові і логарифмічні вирази.

Приклад.

Розвязати нерівність:

Розвязання

Відповідь: (2;3).

Вправи

1.Розвязати системи лінійних нерівностей:

1); 2);

3); 4);

5); 6)

2.Розвязати подвійну нерівність і вказати її найбільший цілий розвязок:

1); 2)

3. Розвязатисистему нерівностей:

1); 2)

4. Розвязати нерівність:

1); 2);

3); 4);

5); 6);

7); 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13); 14);

15); 16);

17); 18);

19); 20);

21); 22);

23); 24);

25); 26)

Самоперевірка

Рівень А

1.Дві нерівності a < b і c < d можна почленно :

1)додати і відняти;

2)помножити і додати;

3)помножити і поділити.

2.Розвязком лінійної нерівності ax + b ≥ 0, де a < 0, є :

1) ; 2);

3).

3. Якщо a > 7, то:

1); 2).

Рівень Б

1.Якщо ;1), то про нерівності і можна стверджувати, що:

1) вони є рівносильними нерівностями;

2)перша нерівність є наслідком другої нерівності;

3) друга нерівність є наслідком першої.

2. Яка умова має виконуватися, щоб твердження: якщо то було правильним?

3. Знайти розвязки нерівності ≤0, якщо a > 0, D = 0. Відповідь обгрунтуйте, зробивши відповідний малюнок.

Рівень В

1.Опиши правилопочленного діленнянерівності a < b на нерівність c < d . Скориставшись цим правилом, оцінити , знаючи, що і

2.Яка знерівностей правильна:

1);

2)?

3.Чи правильні такі твердження:

1) якщо то ƒ(x) > g(x), n N;

2) якщо то ƒ(x) > g(x), n N?

ВИРАЗИ, ФУНКЦІЇ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ, ЩО МІСТЯТЬ ЗНАК МОДУЛЯ

ПОБУДОВА ГРАФІКІВ ФУНКЦІЙ,

ЩО МІСТЯТЬ ЗНАК МОДУЛЯ

Пригадати:

Означення модуля;
Зміст методу інтервалів;
Графіки і властивості елементарних функцій.

Зміст методу інтервалів

Знайти область визначення функції y=f(x).
Знайти всі значення x, для яких принаймні один із модулів, що входять до функційї y=f(x), перетворюються в нуль.
Цими точками розбити область визначення y=f(x) на інтервали .
Розглядаючи функцію y=f(x) на кожному з цих інтервалів, звести її до більш простого вигляду, застосувавши означення модуля.

Приклад. Побудувати графік функції

Розвязання

Областю визначення данної функції є множина всіх дійсних чисел.

Точки x=-3, x=-0,5, x=1 розбивають область визначення функції на інтервали

Вправи

1.Побудувати графік функції:

1) ; 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

2.Побудувати графіки функцій і описати їх властивості:

1) 2)

3) 4)

3.Для яких значень x функція має найменше значення?Знайти це значення.

4.Побудувати графіки фуннкцій:

1) 2)

3) 4)

6) 7)

ВИРАЗИ, ЩО МІСТЯТЬ ЗНАК МОДУЛЯ

Пригадати:

означення модуля;
зміст методу інтервалів;
методи перетворення алгебраїчних виразів;
основні алгебраїчні тотжності.

Вказівка.Перед тим, як спрощувати вираз, застосувати означення модуля!

Спрощуючи вираз, що містить знак (або знаки) модуля, потрібно розглянути додаткові обмеження (умови), що дозволяють записати вираз без знака модуля. Таких обмежень, як правило, є кілька, тому потрібно розглянути кілька можливих випадків і для кожного з них виконати необхідні перетворення.

Приклад.Спростити вираз

Розвязання

Якщо x<0 , то

Якщо x<-1, то

Якщо -1≤x<0, то

Якщо x≥, то

Якщо 0≤x<1, то

Якщо x≥1, то

Відповідь. , якщо x , якщо x; , якщо x; якщо x .

Вправи

1.Спростити вираз :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) .

2.Спростити вираз :.

РІВНЯННЯ, ЩО МІСТЯТЬ ЗМІННУ ПІД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

Пригадати:

означення модуля;
зміст методу інтервалів;
теореми про рівносильні рівняння;
методи розвязування алгебраїчних рівннянь.

Методи розвязування рівннянь, що містять змінну під знаком модуля

1.Застосування означення модуля

Приклад.Розвязати рівняння .

Розвязання

Данерівняння рівносильне сукупності систем :

Розвязавши ці системи, маємо: ,.

2.Якщо , g(x)≥0, то рівняння рівносильне рівнянню

Приклад. Розвязати рівняння

, , ,

; .

Ваідповідь.-,10.

3.Метод інтервалів

Приклад.Розвязати рівняння .

Розвязання

Відповідь..

Вправи

1.Розвязати рівняння:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13); 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) .

2.Знайти корені рівнянь:

1) ; 2)

3) ; 4) ;

5);

3. Розвязати рівняння:

1) ; 2) ;

3); 4) ;

5) ; 6) .

НЕРІВНОСТІ, ЩО МІСТЯТЬ ЗМІННУ ПІД ЗНАКОМ МОДУЛЯ

Пригадати:

означення модуля;

геометричний зміст поняття модуля числа;

зміст методу інтервалів;

теореми про рівносильні нерівності;

методи розвязування алгеьраїчних нерівностей.

Методи розвязування нерівностей, що містять змінну під знаком модуля

1.Застосування означення модуля

Приклад.Розвязати нерівність .

Розвязання

1) 1≤x<3.

2) -1<x<1.

Відповідь. (-1;3).

Приклад.Розвязати нерівність .

Розвязання

можна розглядати як відстань між точками 1 і x. Отже, розвязати нерівності утворюють множину всіх точок, віддалених від точки 1 на відстань, меншу ніж дві одиниці. На координатній прямій є дві точки, віддалені від точки 1 на дві одиниці. Це точки -1 і 3. Отже, шукана множина — це проміжок (-1;3).

Відповідь.(-1;3)

3.Якщо , то нерівність рівносильна нерівності

Приклад.Розвяжіть нерівність .

Розвязання

, .

Відповідь..

4.Метод інтервалів

Приклад.Розвязання нерівність методом інтервалів самостійно.

Вправи

1.Розвязати нерівності:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) .

2.Розвязати систему нерівностей :

1) , 2)

3) 4)

3. Розвязати нерівності:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

ІРРАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

Пригадати:

означення модуля ;
зміст методу інтервалів;
методи розвязування рівнянь і нерівностей, що містять змінну під знаком модуля;
як спростити вираз, що містить знак модуля.

Приклади

Знайти значення виразу .

Розвязання

, бо ,

2. Спростити вираз .

Рохзвязання

Вправи

1.До якої числової множини належать числа:

1) ; 2)

2. Довести, що дані числа — натуральні:

1) ; 2) .

3. Спростити вирази:

1) ; 2) ;

3) ;

4) ;

5) .

4. Знайти значення виразів:

1) , якщо a = 0,5 ;

2) , якщо a = 0,5;

3) , якщо a = 0,5 ;

4) , якщо b = 2 .

5. Розвязати рівняння:

2) ;

3) .

6. Розвязати нерівностіф:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

7. Спростити вираз , побудувати графік функції для .

Самоперевірка

Рівень А

Модулем числа a називають:

додатне число a;
число a, якщо a ≥0; число, протилежне числу a, якщо a<0 .

Значення виразу дорівнює:

1) a 2) ; 3) – a.

1) ; 2) .

Рівень Б

Опиши алгоритм використання методу інтервалів.
Розвязуючи рівняння , доцільніше скористатися:

означенням модуля;
теоремою: якщо , , то рівняння і рівносильне ;
методом інтервалів.

Якими є геометричний зміст модуля?Розвязуючи які рівняння і нерівності доцільно використовувати геометричний зіст модуля?

Рівень В

Опиши основні методи розвязування рівнянь і нерівностей, що містять змінну під знаком модуля . Наведи приклади застосування кожного методу.
Якій функції відповідає даний графік:

1) ;