Системи рівнянь з параметрами та їх розв’язування під час підготовки до НМТ

Системи рівнянь з параметрами та їх розв’язування

під час підготовки до НМТ

Задачі з параметрами є невід’ємним атрибутом завдань НМТ, оскільки вміння розв’язувати такі задачі свідчить, що учень має грунтовну математичну підготовку, високий рівень логічного мислення, навички дослідницької роботи.

Незважаючи на те, що програма з математики не передбачає формування в учнів умінь розв’язувати задачі з параметрами, реалії сьогодення диктують необхідність ознайомлення учнів із параметрами та методами їх розв’язання.

Якщо до системи рівнянь, крім невідомих величин, входять числа, що позначені буквами, які не вказані, але вважаються відомими та заданими на деякій числовій множині, то вони називаються параметрами. Параметр (від грец.- той що відміряє) – величина, значення якої слугують для встановлення відмінності між елементами деякої множини.

Якщо системи рівнянь містять параметр і треба знайти її корені (розв’язки) залежно від параметра, то така система відносяться до групи систем з параметрами.

Існують завдання, в яких треба знайти всі значення параметра, при яких розв’язки системи задовольняють певну умову. Такі завдання теж вважають задачами з параметрами. У деяких посібниках ці задачі ще називають «дослідницькі задачі з параметрами»

Розв’язати систему рівнянь з параметрами означає знайти всі розв’язки для кожної системи допустимих значень параметрів. Під час розв’язування систем рівнянь з параметрами область зміни параметрів може бути заданою. Якщо не вказані межі зміни параметрів, то вважається, що параметри набувають усіх своїх допустимих значень.

Істотним етапом рішення системи рівнянь з параметром є запис відповіді. Особливо це відноситься до тих прикладів, де рішення як би «гілкується» залежно від значень параметра. У подібних випадках складання відповіді – це збір раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо показати у відповіді всі етапи рішення.

Універсального методу розв’язування систем рівнянь не існує. Часто користуються аналітичним (із використанням формул, властивостей функцій) та графічним методами.

Основні види найпростіших систем рівнянь з параметром

А) При яких значеннях параметра а система рівнянь має єдиний розв’язок?

Розв’язання.

Система рівнянь має єдиний розв’язок, якщо ; .

Відповідь: .

Б) При яких значеннях параметра а система рівнянь не має розв’язків?

Розв’язання.

Система рівнянь не має розв’язків, якщо .

З пропорції маємо .

При цьому нерівність також виконується.

Відповідь: .

В) При яких значеннях а система рівнянь має безліч розв’язків?

Розв’язання.

Система рівнянь має нескінченну множину розв’язків, якщо

.

Розв’язуючи пропорцію , маємо , .

Перевіримо, чи виконується пропорція, якщо :

- вірно.

Відповідь: .

Г)Розв’яжіть систему рівнянь залежно від параметра а:

Розв’язання.

Якщо виконується , тобто , то маємо . Отже, при система рівнянь розв’язків не має.

Якщо , система рівнянь має єдиний розв’язок. Знайдемо його способом додавання:

Відповідь: якщо , то система рівнянь розв’язків не має;

якщо , то .

Розглянуті приклади про системи рівнянь з параметрами допоможуть віднести певну систему рівнянь до відповідної групи, що допоможе віднайти раціональні розв’язування та правильний розв’язок.

№ 1 Розв’яжіть систему

Якщо система має єдиний розв’язок , то у відповідь запишіть суму ; якщо система має більше 1 розв’язку, то у відповідь запишіть кількість усіх розв’язків.

Розв’язання

Розглянемо перше рівняння системи:

З властивості функції косинуса маємо:

З іншого боку,

Отже, ліва частина першого рівняння не більше 5, а права частина першого рівняння не менша 5. Рівність може бути лише коли і ліва, і права частини дорівнюють 5. Тому з умови отримуємо таку систему:

В третьому рівнянні маємо єдине значення , яке очевидно входить до множини розв’язків першого рівняння при . Отже дана система має єдиний розв’язок:

Відповідь: + 20

№ 2 Розв’яжіть рівняння . Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше, ніж один корінь, то у відповідь запишіть суму всіх коренів.

Розв’язання

Пригадаємо властивості :

Сума невід’ємних виразів дорівнює нулю лише коли кожен з цих виразів дорівнює нулю, тобто дане рівняння зводиться до системи

Корені першого рівняння очевидно задовольняють ОДЗ даного рівняння, а, оскільки маємо систему, то знаходити ОДЗ потреби немає.

+2

Зрозуміло, що міститься в множині розв’язків другого рівняння при не міститься в цій множині при .

Таким чином, система, а значить і вихідне рівняння має один корінь

Відповідь:

№ 3 Знайдіть значення параметра a, при якому корінь рівняння:

належить проміжку

Розв’язання

Використаємо властивості синуса і логарифма: ;

,тобто

З іншого боку, (як область значень квадратного кореня)

Тому рівність може бути лише коли і ліва, і права частина дорівнюють 0, тобто виконується система

Корінь першого рівняння системи належить заданому проміжку лише при

Тоді корінь рівняння, що належить проміжку має вигляд:

звідки, за другим рівнянням системи

№ 4 Знайти найменше значення а при якому рівняння:

має додатній корінь

Розв’язання

Зауважимо, що з того, що

З іншого боку, оскільки

і з того, що

Маємо, що ліва частина , а права . Рівність можлива лише коли і ліва частина, і права . Маємо систему:

Треба врахувати, що корінь рівняння має бути додатнім, тобто має виконуватися умова

;

Водночас з системи будемо мати

Отже найменше a буде при найменшому можливому , тобто

Відповідь: =

№ 5 Знайдіть найменше значення параметра при якому система

має єдиний розв’язок

Розв’язання

— коло з центром в O(0;0) і радіусом

— коло з центром в A(7;0) і радіусом

0

6 7

Щоб ця система мала єдиний розв’язок потрібно, щоб кола перетнулись в потрібній точці. Це можливо у випадку дотику кіл. Дотик може бути зовнішнім:

,або внутрішнім

При зовнішньому дотику перше коло проходить через т. (6;0), тобто . Перше рівняння системи набуде вигляду

При внутрішньому дотику перше коло проходить через т. (8;0), тобто . Перше рівняння системи набуде вигляду .

Оскільки треба вибрати найменше значення параметра , то .

Відповідь: =

№ 6 Знайдіть число розв’язків системи рівнянь в залежності від параметра а:

Розв’язання:

1. якщо , система розв’язків немає;

2. якщо , система має 4 розв’язки;

3. якщо - 8 розв’язків;

4) АОВ – прямокутний:АО=ОВ=1,

АB =

Радіус кола, вписаного в квадрат дорівнює половині сторони: R = OK = .

Отже, при — 4 розв’язки;

5. при — розв’язків немає.

№ 7 Використовуючи графік рівняння   (див. рисунок), знайдіть усі значення параметра  , при яких система  має єдиний розв’язок. У відповідь запишіть їх суму.

Розв'язання

— рівняння кола з центром в точці (a;0) і радіусом 2.

Розв'язком системи являються точки перетину графіків функцій. Система матиме єдиний розв'язок лише в тому випадку, коли графіки перетнуться лише в одній точці.

Зобразимо на малюнку всі таки випадки.

Параметр може приймати наступні значення:

Відповідь: 48.

№ 8 Знайдіть усі від’ємні значення параметра , при яких система рівнянь

має єдиний розв’язок. Якщо таке значенняодне, то запишіть його у відповідь. Якщо таких значень кілька, то у відповіді запишіть їхню сумую.

Розв’язання

Такими критеріями буде характеризуватися графік першого з рівнянь . Графік другого рівняння розпадеться на дві прямі :

На рисунку зображено геометричні образи цього рівняння для певних значень параметра α. Зазначимо, що графік цього рівняння при кожному фіксованому значені параметра α симетричний відносно прямої x= .

Після геометричної інтерпретації рівнянь системи

зрозуміло, що єдине від’ємне значення параметра a, при якому ця система матиме єдиний розв’язок буде лише у випадку, зображеному на рисунку.

В цьому випадку пряма y=5x 2a має пройти через точку ( 3;2). З цієї умови і знаходимо значення параметра α: 2=5 ∙( , звідки α= 8,5.

Відповідь: 8,5

№ 9 Знайдіть найбільше значення параметра a при якому система рівнянь.

• має безліч розв’язків.

Розв’язання.

Виразимо з першого рівняння косинус через синус і підставимо в друге рівняння системи:

Тепер розглянемо окремо друге рівняння:

Якщо =1, то перше рівняння системи набуває вигляду

а це неможливо.

Тому 1 і тоді поділимо друге рівняння на :

Таким чином початкова система набуває вигляду

Кожне з цих рівнянь має безліч розв’язків, якщо права частина по модулю не перевищує 1.

Важливо, що, крім цих умов, має виконуватися і основна тригонометрична тотожність

У нас основна тригонометрична тотожність набуде вигляду:

Підставимо отримані значення в праву частину рівнянь системи

Отже задовольняє вимогам обмеженості синуса і косинуса.

Отже теж задовольняє вимогам обмеженості синуса і косинуса. Оскільки треба вибрати найбільше значення a, то маємо:

Відповідь: (відповідно )

№10 Визначити кількість розв’язків системи в залежності від значення параметра :

Розв’язання:

1) - коло з центром

2) пряма, що проходить через точку (0;0) і обертається навколо неї при зміні значення . Отже, маємо 2 розв’язки

при .

№11 Визначити кількість розв’язків системи в залежності від значення

параметра :

Розв’язання:

1 ) - коло з центром (0;0), .

2) - пряма, паралельна вісі OY.

Отже, при ;

при 1 розв’язок;

при 2 розв’язки.

№12 Визначити кількість розв’язків системи в залежності від значення параметра :

Розв’язання:

1) - коло з центром переміщується вздовж (ОХ)

2) - пряма. Отже, при маємо точку в початку координат,при маємо 2 розв’язки.

№13 Визначити кількість розв’язків системи в залежності від значення параметра :

Розв’язання:

1 спосіб:

при умові є колом з центром на вісі (OY) ,

.Відстань центра кола від початку координат менша за радіус кола:

. Отже, при ;При 2 розв’язки.

2 спосіб :

_{Зауважимо, при} y=0 перше рівняння має вигляд тобто при всіх маємо 2 точки перетину кола з віссю (OX) при

№14 Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь має 2 розв’язки.

Розв’язання:

1)

Рівняння відповідає двом паралельним прямим на координатній площині

2) - коло, з центром О(0;0)

Отже, СР має 2 розв’язки тоді і тільки тоді, коли коло дотикається до вказаних прямих.

АОВ - рівнобедрений, .

Тоді його висота ОК=R=OA*sin A=2sin = і

Відповідь:

Представлені розв’язування систем з параметрами дозволять старшокласникам якісно підготуватися до НМТ.