Старовинні цікаві задачі з математики

                                                                 Старовинні цікаві задачі із рукописів і «Арифметики» Магницького

                                                                              БЛОК №1    Життєві історії

1).Один чоловік може випити бочку квасу за14 днів, а разом з дружиною ту саму бочку квасу можуть випити за 10 днів. Дізнайтеся, за скільки днів дружина сама зможе випити цю бочку квасу.

2).В спекотний день 6 людей випили барило безалкогольного пива за 8 годин. Дізнайтеся, скільки людей за 3 години вип*ють таке ж барило пива.

3).Мисливець із собакою пішов на полювання. Собака вгледіла зайця. За скільки стрибків собака наздожене зайця, якщо відстань від собаки до зайця дорівнює 40 стрибків собаки і відстань, яку пробігає собака за 5 стрибків, заєць пробігає за 6 стрибків?(Стрибки роблять одночасно і собака і заєць).

4).Собака вгледіла зайця в 150 сажнях(1сажень=1,8 метрів) від себе. Заєць пробігає за 2 хв. 500 сажнів, а собака-за 5 хв.1300 сажнів. За який час собака наздожене зайця?

5).Дід приніс онукам 130 горіхів і попросив  розділити їх на 2 частини так, щоб менша частина, збільшена в 4 рази, дорівнювала б більшій частині, зменшеній в 3 рази. Як розділити горіхи?

6).На млині є 3 жорна (пристрій для помолу збіжжя). На першому з них за добу можна змолотити 60 т зерна, на другому 54 т, а на третьому 48 т. Господар хоче змолоти 81 т зерна за найменший час на цих жорнах. За який найменший час можна змолоти зерно і скільки зерна на кожний із жорен потрібно насипати?

7).Кінь з*їдає віз сіна за місяць, коза- 2 місяці, а вівця- за 3 місяці. За який час кінь, коза і вівця з*їдять цей віз сіна?

8).Дванадцять людей несуть 12 хлібин: кожний чоловік несе по 2 хлібини, жінка- по половині хлібини, а дитина по четвертині хліба. Скільки було чоловіків, жінок і дітей?

9).Чотири будівельників хочуть збудувати будинок. Перший будівельник може це зробити за рік, другий – за 2 роки, третій – за 3 роки, а четвертий- за 4 роки. Однак вони працювали всі разом. За який час вони збудували будинок?

10).Летіли шпаки і зустрілись їм дерева. Коли сіли вони по одному на кожне дерево, то одному шпаку не вистачило дерева, а коли на кожне дерево сіло по 2 шпака, то одне дерево лишилось не зайнятим. Скільки було шпаків і скільки дерев?

11).Двоє їли сливи. Один каже другому:» Дай мені свої 2 сливи, тоді у нас слив буде порівну»,-а другий відповів:» Ні, краще ти дай мені свої 2 сливи,- тоді у мене буде в два рази більше, ніж у тебе». Скільки слив було у кожного?

12).У п*ятьох селян-Івана, Петра, Якова, Дмитра і Олекси- було 10 корів. Не могли вони знайти пастуха, щоб пасти корів. Тоді Іван каже:» Будемо пасти по черзі-по стільки днів, скільки кожний із нас має корів». По скільки днів кожний селянин має пасти корів, якщо відомо, що у Івана в два рази менше корів ніж у Петра, у Якова в два рази менше, ніж у Івана; Дмитро має корів в два рази більше, ніж Яків, а Олекса- вчетверо менше, ніж Петро?

Розв*язання

1).За 140 днів чоловік вип*є 10 бочок квасу, а разом із жінкою за 140 днів вони вип*ють 14 бочок . Отже, за 140 днів жінка вип*є 14-10=4 бочки квасу, а тоді 1 бочку вона вип*єза 140:4=35 днів.

2).Оскільки,за 8 годин 6 людей випивають діжку пива, то за 1 годину таку ж діжку вип*ють 48 людей,а тоді за 3 години цю діжку пива вип*ють 16 людей.

3).Якщо заєць зробить 6 стрибків, то і собака зробить 6 стрибків, але собака за 5 стрибків із 6 пробіжить ту ж відстань, що  заєць за 6 стрибків. Отже, за 6 стрибків собака наблизиться до зайця на відстань, що =одному своєму стрибку. Оскільки в початковий момент відстань між ними була рівна 40 стрибкам собаки, то собака наздожене зайця через 40х6=240 стрибків.

4).За 1 хв. заєць пробігає 250 сажнів, а собака 260 сажнів .Значить, за 1 хв. відстань між ними зменшиться на 10 сажнів. Оскільки між собакою і зайцем(коли собака вгледіла зайця) було 150 сажнів, то собака наздожене зайця через 150:10=15 хв.

5).Вдаємось до хитрощів. Якщо зменшимо втричі кількість горіхів в більшій частині, то ми отримаємо їх стільки ж, скільки в чотирьох менших частинах. Значить, більша частина повинна мати в 3х4=12 разів більше горіхів, ніж менша, а загальна їх кількість повинна бути в 13 разів більша, ніж в меншій частині. Тому менша частина матиме 130:13=10 горіхів, а більша 130-10=120 горіхів.

6). Зрозуміло, що всі три жорна повинні працювати однаковий час, бо простій будь-якого з них збільшить час помелу зерна. Оскільки за добу всі 3 жорна разом можуть змолоти 60+54+48=162т зерна, а потрібно змолоти 81т, то жорна повинні працювати 12 годин і за цей час на першому жорні треба змолоти 30т, на другому 27т, а на третьому 24т зерна.

7). Оскільки кінь з*їдає віз сіна за місяць, то за рік(12 місяців) він з*їсть 12 возів сіна. Тоді коза за рік  з*їсть 6 возів сіна. Вівця за рік з*їсть 4 вози сіна. Разом за рік вони з*їдять 12+6+4=22 вози сіна. Тоді 1 віз сіна вони разом з*їдять за 12:22=6/11 місяця.

8). Мій варіант розв*язку. Якби було шість чоловіків, то вони б несли всі хлібини. Тоді чоловіків могло бути 5 і вони несли 10 хлібин. Далі розподіляємо 2 хлібини. Якби жінок було 4, то вони б несли решту хліба. Жінок три. Тоді залишиться пів хлібини, яку розділимо між 2 дітьми.

9).Разом вони збудують за 175,2 днів, або ж це 25 тижнів і 4,8 години.

10). В першому випадку для одного шпака не вистачило дерева, а в другому випадку одне дерево не зайняте. То щоб зайняти всі дерева в другому випадку шпаків треба на 3 більше ніж в першому. В другому випадку на кожне дерево сідає на 1 шпака більше. Отже, дерев було 3, а шпаків 4.

11).Якщо передача 2 слив зрівнює їх число, то у одного з них на 4 сливи більше, чим у другого. Якщо ж другий передає першому 2 сливи, то різниця їх збільшиться до 8 слив. Оскільки другий тоді матиме в 2 рази більше, то виходить, що у одного з них після передачі буде 8 слив, а у другого 16 слив. Отже до передачі у одного було 10 слив, а у другого 14 слив.

12). У Івана і у Дмитра вдвоє більше корів ніж у Якова, у Петра вдвічі більше ніж у Івана, і, значить, вчетверо більше, ніж у Якова. У Олекси стільки ж корів скільки має Яків. Загальне число корів в (2+4+1+2+1)=10 разів більше, чим у Якова. Звідси слідує, що у Якова 1 корова, тоді у Івана і Дмитра по 2 корови, у Петра 4 і у Олекси 1 корова. Відповідно стільки ж днів кожний з них повинен пасти корів.

                                                         БЛОК №2 Грошові розрахунки

В деяких задачах використовуються такі грошові одиниці:

 рубль- 100 копійок,

гривня- 10 копійок,

алтин- 3 копійки,

полушка-0.25 копійки.

1).Дехто купив 0.75 аршина (довжина руки від кінчиків пальців до плеча) сукна і заплатив за них 3 алтина. Скільки потрібно заплатити за 100 аршин такого ж сукна?

2).Дехто купив 96 качок. Половину качок він купив, заплативши по 2 алтина і 7 полушок за кожну качку. За кожну із решти качок він заплатив по 2 алтина без полушок. Скільки коштує покупка?

3).Один чоловік купив 112 баранів старих і молодих, заплативши за них 49 рублів і 20 алтин. За старого барана він заплатив по 15 алтин і по 4 полушки, а за молодого- по 10 алтин. Скільки яких баранів було куплено?

4).Один чоловік купив 3 курки і заплатив за них 46 копійок. Перша курка несла по 3 яйця через 4 дні, друга – по 2яйця через 3 дні, а третя – по 1 яйцю через 2 дні. Продавав він яйця по 5 штук за півкопійки. За який час окупляться кури?

5).Один чоловік купував олію. Коли він давав гроші за 8 діжок олії, то у нього залишалось 20 алтин. Коли ж він став давати за 9 діжок, то не вистачило грошей півтора рубля з гривною. Скільки грошей було у цього чоловіка?

6).Господар найняв робітника на рік і пообіцяв йому дати 12 рублів і каптан( верхній одяг).Але той працював тільки 7 місяців і захотів піти. При розрахунку він отримав каптан і 5 рублів. Скільки коштує каптан?

7).Господар найняв робітника з такою умовою: за кожний робочий день буде йому платити по 20 копійок, а за кожний неробочий день- відраховувати 30 копійок. Через 60 днів робітник нічого не отримав. Скільки було робочих днів?

8).Приніс селянин на базар продавати яйця. Підходить до нього покупець і питає:» Скільки коштує десяток яєць?». Селянин відповів хитрувато: « Двадцять п*ять яєць без полушки коштують 5 полушок без п*яти яєць». Скажіть, по якій ціні продавав яйця селянин.

9).Четверо купців мають певну суму грошей. Відомо, якщо складуться без першого, то у них буде 90 рублів, якщо без другого, то 85 рублів, складаючись без третього- 80 рублів, а якщо без четвертого -75 рублів. Скільки у кого грошей?

10).Господар відправив робітника на базар купити 20 птиць: курей, качок і гусей. Він дав робітнику 16 алтин. Гусей велів купити по 3 копійки за штуку, качок по копійці, а курей по дві на копійку. Скільки гусей, качок і курей купив робітник?

                                                                       Розв*язання

1).Оскільки 0,75 аршина коштує 3 алтина, то 3 аршина коштує 12 алтин і 1 аршин коштує 4 алтина. Тоді, 100 аршин коштуватиме 400 алтин, що складає 1200 копійок або 12 рублів.

2). Так як алтин це 12 полушок, то 2 алтина і 7 полушок це 2х12+7=31 полушка. Тоді, за половину качок заплатили 48х31=1488 полушок. За другу половину качок заплатили 48х(24-1)=1104 полушки. Отже всього заплатили 1488+1104=2592 полушок. Це 648 копійок або 6 рублів 48 копійок, або 6 рублів 16 алтин.

3).Оскільки, в 1 алтині 3 копійки, а в 1 копійці 4 полушки, то старий баран коштує 15х3+1=46 копійок. Так як молодий баран коштує 10 алтин(30 копійок), то він на 16 копійок дешевше старого. Як би купили тільки молодих баранів, то за них заплатили б 3360 копійок. Оскільки за всіх баранів заплатили 49 рублів і 20 алтин, або 4960 копійок, то залишок в 1600=4960-3360 копійок пішов би на оплату старих баранів. Тоді старих баранів купили 1600:16=100.Значить,молодих купили 112-100=12 баранів.

4).Три курки коштують 46 копійок. Для того, щоб окупити цю суму, необхідно продавати (46:1/2)х5=460 яєць.За12 днів перша курка знесла 9 яєць, друга-8 яєць,третя-6 яєць. Разом вони знесли 23 яйця. Так як 460=23х20, то за 12х20=240 днів курки знесуть 23х20=460 яєць. Отже кури окупляться за 240 днів.

5).9 діжок олії коштують на півтора рубля з гривнею більше суми грошей, чим має покупець, а ця сума, в свою чергу, на 20 алтин більше чим коштують 8 діжок. Отже, одна діжка олії коштує 16+6=22 гривні. Коли чоловік давав гроші за 8 діжок олії, то у нього залишилось 6 гривень. Значить, до покупки у нього було 8х22+6=182 гривні, або 18 рублів і 2 гривні.

6).Працівник не до працював у господаря 5 місяців і недоотримав 7 рублів. Значить, його місячна плата в грошах складає 7/5 рубля або 1 рубль і 40 копійок. Плата за 7 місяців складає 7х7/5=9,8 рубля або 9 рублів 80 копійок. Але робітник за цей час отримав 5 рублів і каптан. Отже, каптан коштує 4 рубля 80 копійок.

7).Якби робітник працював без прогулів, то за 60 днів він заробив би 20х60=1200 копійок. За кожний неробочий день у нього відраховують 30 копійок і він не заробляє 20 копійок, так як за кожний прогул він втрачає 20+30=50 копійок. Оскільки за 60 днів робітник нічого не заробив, то втрата за всі неробочі дні складає 1200 копійок, тобто число неробочих днів 1200:50=24 дні. Кількість робочих днів 60-24=36.

8).Так як 25 яєць без полушки коштують 5 полушок без 5 яєць, то 30 яєць без полушки коштують 5 полушок. Значить, 30 яєць коштують 6 полушок, звідси слідує, що один десяток яєць коштує 2 полушки або пів копійки.

9). Якщо складаються  без першого, то отримали 90 рублів. Якщо від цієї суми відняти гроші другого і додати гроші першого, то отримаємо 85 рублів. Отже у першого на 5 рублів менше , ніж у другого. Тоді у третього на 5 рублів більше, ніж у другого. Значить ,перший, другий і третій склавши свої гроші разом, матимуть в тричі більше грошей, ніж має другий. Ця сума складає 75 рублів. Тоді у другого було 25 рублів, у першого- 20 рублів, у третього- 30 рублів. Ото ж у четвертого було 35 рублів.

10).Робітник купив не більше 15 гусей. На них він потратив 45 копійок. Купив 4 курки по пів копійки за кожну і 1 качку за копійку.