STREAM –проєкт «Фрактали»Інтегрований урок з інформатики, математики, фізики, біології, мистецтва

STREAM –проєкт «Фрактали»Інтегрований урок з інформатики, математики, фізики, біології, мистецтва Підготувала : Вчитель математики, інформатики, фізики та астрономії , бжд 1 категорії КЗО «СШ № 44» ДМР Одновалова Наталія Вікторівна. Підготувала : Вчитель математики, інформатики1 категорії КЗО «СШ № 44» ДМР Одновалова Наталія Вікторівна

Мета уроку: Навчальна: ввести поняття «фрактал» . Розглянути його застосування на прикладі таких наук як інформатики, математики, фізики, біології, мистецтва . Показати алгоритм для розрахунку довжини берегової лінії Розвивальна: розвивати математичні здібності, логічне мислення про основні віхи застосування фракталів в житті людини. Виховна: виховувати увагу, самостійність, працьовитість, старанність, наполеглевість в досягненні поставленої мети.

Майкл Бернслі у своїй книзі «Фрактали всюди» написав: «Фрактальна геометрія змусить вас на все дивитись іншими очима… Ви ризикуєте втратити своє дитяче уявлення хмар, лісів, галактик, листя, квітів, скель, гір та багато чого іншого. Ваше сприйняття цих речей ніколи більше не буде, як колись».https://www.youtube.com/watch?v=wr. XGACMw2e. Qhttps://www.youtube.com/watch?v=u5 Tow. FVev. HA

ЩО ТАКЕ ФРАКТАЛ?Слово фрактал з латинської перекладається "cкладений з фрагментів". Цей термін був запропонований математиком Б. Мандельбротом у 1975 році для позначення самоподібних структур.[1]Фракталом за Мандельбротом, називається геометрична фігура, в якій один і той самий фрагмент повторюється при кожному зменшенні масштабу (частина об’єкта схожа на сам об’єкт). Дрібні елементи фрактального об’єкту повторюють властивості всього об’єкту. Одержаний об’єкт носить назву фрактальної фігури. Процес спадкоємства можна продовжувати до безкінечності. Таким чином, можна описати і такий графічний елемент, як пряму.

Фрактали в природіДерева та папороті є фрактальними за своєю природою та можуть моделюватись на комп'ютерах із використанням рекурсивних алгоритмів. Таку рекурсивність ясно видно на таких прикладах: гілка дерева або фронд від папороті є мініатюрним відтворенням цілого; не ідентичне, але схоже за природою. Поверхня гір може моделюватись на комп'ютері з використанням фракталів: починати з трикутника в тривимірному просторі та з'єднати центральні точки кожного ребра відрізками, отримуючи 4 трикутники. Центральні точки потім зсуваються догори або донизу на випадкову відстань у фіксованому діапазоні. Процедура повторюється зі зменшенням діапазону на кожній ітерації вдвічі. Рекурсивна природа алгоритму гарантує, що ціле є статистично подібним до кожної з деталейhttps://www.youtube.com/watch?v=Cy. St3f1o7 Fc

фрактали є цікавим об'єктом для вивчення за двома основними причинами:фрактали є одними з найкращих моделей живої природи;їх дослідження відкриває нові перспективи для стиснення інформації. Фрактали досліджувалися давно в різних галузях науки. Наприклад, у роботі математика Рона Еглаша «Африканські Фрактали» описано фрактальні геометричні фігури у мистецтві тубільців. Фрактали застосовувались і у живописі. Американський експресіоніст Джексон Поллок малював об'єкти, дуже схожі на фрактали. Фракталом тепер називається графік функції, яка скрізь неперервна, але ніде недиференційна,побудований Карлом Веєрштрасом. Підмножини дійсних чисел із незвичними властивостями Георга Кантора тепер також називаються фракталами. Досліджувати самоподібність у своїх роботах у 1960 році розпочав Бенуа Мандельброт. Свої математичні роботи він проілюстрував захоплюючими

Розглянемо використання фракталів в таких науках: інформатики, математики, фізики, біології, мистецтва. Для перегляду:https://www.youtube.com/watch?v=n. V1 Izr. CVs. Ew https://www.youtube.com/watch?v=Yk. Ap. Fc. Ys. P30

Фрактали в інформатиціФрактальна графіка — технологія створення зображень на основі фракталів. Фрактальна графіка базується на фрактальній геометрії. Програмні засоби: Серед програмних засобів можна виділити продукти фірми Golden Soft. Ware: Surfer — створення тривимірних поверхонь; дозволяє обробити та візуалізувати двовимірні набори даних, що описані функцією z=f (x,y). Можна побудувати цифрову модель поверхні, застосувати допоміжні операції і візуалізувати результат. Grapher — створення двовимірних графіків; призначений для обробки та виводу графіків, що описані функціями y=f(x). Не має обмежень по числу графіків на одному малюнку або числу кривих в одному графіку і дозволяє розмістити декілька осей з різними масштабами та одиницями вимірювання. Map Viewer — побудова кольорових карт, дозволяє вводити та корегувати карти — змінювати масштаб, перетворювати координати, обробляти й виводити у графічному вигляді числову інформацію, пов'язану з картами.

Фрактали в інформатиціПакет Iris Explorer (фірма Graphics) призначена для створення моделей погодних умов та океану. Пакет Earth Watch (фірма Earth Watch) призначений для моделювання та демонстрації тривимірного зображення метеоумов над Землею, будувати топологічні поверхні по космічних знімках і прогнозувати погоду на тиждень вперед. Модуль Chart у стандартному пакеті MS Office дозволяє легко й наочно створити графіки на основі даних, що знаходяться у таблиці. Користувач може перетворити графіки у будь-яку з 5 основних форм графіків:гістограма;лінії;площі;в полярних координатах;поверхні.https://www.youtube.com/watch?v=a. XPVxpr. I0 WM

Фрактали в математиці: Простим прикладом фракталу є «п’ятикутник Дарера», який має вигляд зв’язки п’ятикутників. Фактично його утворено з використанням п’ятикутника у якості ініціатора та рівнобедрених трикутників у якості генератора, для яких відношення більшої сторони до меншої точно дорівнює так званій золотій пропорції (1,618). Ці трикутники вирізаються з середини кожного п’ятикутника, у результаті чого отримується фігура, яка схожа на п’ять маленьких п’ятикутників, приклеєних до одного великого.

Історія фракталів починалася саме з геометричних фракталів. Їх отримують шляхом простих геометричних побудов. Розглянемо дуже цікавий і відомий фрактал «Сніжинка Коха», яка будується на стороні рівностороннього трикутника. Як це відбувається?

Ще один відомий фрактал «Трикутник Серпинського» (описаний у 1915 році польським математиком Вацлавом Серпинським).https://www.youtube.com/watch?v=Nx3_n. X8 Uo. Mo

Алгебраїчні фрактали - найбільша група фракталів. Їх одержують за допомогою нелінійних процесів у n-вимірних просторах. Як відомо, нелінійна динамічна система володіє кількома стійкими станами, кожний стійкий стан має деяку область початкових станів, з яких система обов'язково потрапить у розглянуті кінцеві стани. Таким чином, фазовий простір системи розбивається на області притягання аттракторів. Фарбуючи області притягання різними кольорами, можна одержати колірний фазовий портрет цієї системи (ітераційного процесу). Міняючи алгоритм вибору кольору, можна одержати складні фрактальні картини з вигадливими багатобарвними візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати дуже складні нетривіальні структури. Стохастичні фрактали. Цей клас відомий тим, що якщо в ітераційному процесі випадковим чином міняти які-небудь його параметри, то отримані об’єкти будуть дуже нагадувати природні, такі як несиметричні дерева, порізані берегові лінії, квіти і так далі. Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при моделюванні рельєфу місцевості і поверхні моря.І нарешті системи інтеруючих функцій. За останні роки ця група фракталів набула особливого поширення. Це завдяки роботам відомого британського математика Майкла Барнслі з технологічного інституту штату Джорджія. Саме він запатентував декілька ідей по кодуванню зображень за допомогою фракталів, а пізніше заснував фірму «Iterated Systems», яка через деякий час випустила перший продукт «Images Incorporated», в якому можна було зображення переводити з растрової форми у фрактальну FIF.

https://www.youtube.com/watch?v=Ehy_eeq. S7c8