Тема 10. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь.

Тема 10.

Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь.

Мета: формувати в учнів вміння застосовувати системи рівнянь до розв’язування задач; розвивати логічне мислення, культуру математичних записів, виховувати вміння аналізувати; вчити застосовувати знання з математики до розв’язування прикладних задач.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

 

Клас: 3(7) клас

 

Структура уроку.

 

1. Організаційний момент. Перевірка домашнього завдання. Підготовка учнів до активного й усвідомленого засвоєння навчального матеріалу.
2. Постановка пізнавального завдання. Пояснення нового матеріалу.
3. Засвоєння нових способів дій.
4. Первинна перевірка вивченого матеріалу.
5. Закріплення знань і способів дій.
6. Перевірка і корекція засвоєння учнями нового матеріалу.
7. Підсумки уроку. Повідомлення домашнього завдання.

 

Хід уроку

 

І. Перевірка домашнього завдання.

Четверо  учнів відтворюють на дошці розв'язування систем.

Решта розв’язує:

 

 ІІ. Математика завоювала авторитет серед різних наук тим, що зуміла сформулювати і розв'язати ті задачі, які виникають у най­різноманітніших видах людської діяльності. Колись давно спосо­бами розв'язування задач було звичайне прикидання ”на око” або перебирання всіх можливих варіантів. Проте навіть з простої умови задачі важко з'ясувати, який варіант розв'язування найкращий, а перебрати усіх їх практично неможливо.

Застосування рівнянь спрощує розв'язування багатьох текстових задач. Розв'язування задач при цьому розбивається на два етапи:

• складання рівняння за умовою задачі (перекладання задачі з рідної мови на мову алгебричну);
• розв’язування одержаного рівняння.

Розв'язування багатьох задач може бути зведене до розв'язу­вання системи двох рівнянь з двома змінними.

Розглянемо нескладну старовинну задачу, яку легко перекласти з рідної мови на мову алгебри і розв'язати її.

Задача 1.

Кінь і мул ішли бік у бік з важкою ношею на спинах. Кінь скаржився на свій непомірний тягар. "Чому ти скаржишся? — за­питав його мул.— Адже, якщо я візьму у тебе один мішок, моя ноша стане вдвічі важча за твою. А ось якби ти взяв з моєї спини один мішок, твоя стала б однаковою з моєю".

Скажіть же, мудрі математики, скільки мішків ніс кінь і скільки мішків ніс мул?

 

Розгляньте записи і поясніть розв'язання задачі.

Якщо я візьму у тебе один мішок	х – 1
Ноша моя	у+1
Стане вдвічі важчою за мою	у+1=2(х – 1)
А ось, коли б ти взяв з моєї спини один мішок	у – 1
твоя	х+1
Стала б однаковою з моєю	у – 1 =х+1

 

Ми звели задачу до системи рівнянь з двома змінними:

  або

Розв'язавши рівняння, знайдемо: х = 5 у = 7.

Кінь ніс 5 мішків, а мул — 7 мішків.

 

Слід зауважити, що всі задачі, в яких треба було знайти дві величини, ви розв'язували за допомогою рівнянь з одною змінною. Однак їх зручніше розв'язувати за допомогою системи рівнянь.

 

Задача 2.

Теплохід з туристами відправився від пристані вниз за течією річки і повернувся назад через 5 годин. Швидкість течії річки – 3 км/год, а швидкість теплохода в стоячій воді – 18 км/год. На яку відстань відплив теплохід від пристані, якщо туристи перебували на березі 3 години?

 

t –  час, протягом якого теплохід плив за течією річки;

Т – час, протягом якого теплохід плив проти течії річки;

t + Т + 3 – час перебування туристів у дорозі;

21t— відстань, на яку відплив теплохід від пристані за течією;

15T — відстань, яку проплив теплохід проти течії. На основі першого речення задачі та її вимог одержимо рівнян­ня t+ T + 3 = 5.

Згідно з другим реченням задачі дістанемо таке рівняння: (18 + 3)t = (18 - 3)T

Розв'язавши систему рівнянь

переконайтеся, що відстань 15T при Т= дорівнює 17,5 км.

 

Розглянемо ще одну задачу.

 

Задача 3.

Учень задумав два числа, сума яких дорівнює 100, а різниця дорівнює 26. Які числа задумав учень?

Позначимо більше зі шуканих чисел через х, менше — через у. Тоді згідно з умовою задачі х + у = 100,   х –  у = 26.

Оскільки в цих рівняннях шукані числа одні і ті ж, то ці рівнян­ня утворюють систему рівнянь:

Фігурна дужка, яка стоїть зліва, означає, що потрібно знайти таку пару чисел (х, у), яка перетворює кожне рівняння у правильну рівність.

Система рівнянь легко розв'язується способом додавання:

 

ІІІ

Задача 4.

За шість зошитів і п'ять блокнотів запла­тили 2,3 грн. Скільки коштує один зошит і один блокнот, якщо три зошити дорожчі  від чотирьох блок­нотів на 0,5 грн?

 

Припустимо, що зошит коштує х грн, а блокнот у грн. За 6 зошитів заплатили 6х грн, а за 5 блокнотів – 5у грн. Разом за них заплатили 2,3 грн. Отже, 6х+5у=2,3

Оскільки 3 зошити дорожчі від 4-х блокнотів на 0,5 грн, маємо ще одне рівняння:

3х – 4у=0,5

Змінні х і у в обох рівняннях позначають ті самі ціни. Отже, потрібно розв’язати систему цих двох рівнянь:

                      

Відповідь: 30 к, 10 к.

 Цю задачу можна також розв'язати складанням рівняння з однією змінною. І будь-яку задачу, що розв’язується складанням системи лінійних рівнянь, можна розв'язати і за допомогою рівняння з однією змінною. Тільки систему рівнянь здебільшого скласти легше, ніж рівняння з однією змінною.

 

Розв'язуючи задачі за допомогою системи рівнянь, роблять так:

 

• позначають деякі невідомі числа буквами і, використовуючи умову задачі, складають систему рівнянь;

 

• розв'язують цю систему; тлумачать результат відповідно до умови задачі.

 

 

Задача 5.

Для школи придбали 15 хокейних клю­чок і 5 м'ячів, заплативши за всю покупку 64 грн. Скільки коштує ключка і скільки коштує м'яч. коли відомо, що 5 ключок дорожчі за 2 м'ячі на 3 грн?

 

Нехай ключка коштує х крб., а м'яч у крб. Тоді 15 ключок і 5 м'ячів коштують 15х + 5у грн. Оскільки за всю покупку заплатили 64 крб., то

15х + 5у = 64.

За умовою задачі 5 ключок дорожчі за 2 м'ячі на 8 грн. Звідси дістанемо друге рівняння:

5х - 2у = 3.

Щоб відповісти на запитання задачі, треба знайти такі значення х і у, які задовольняють як перше, так і друге рівняння, тобто задовольняють систему:

Розв'язавши цю систему, дістанемо, що х = 2,6, у = 5.

Відповідь: ключка коштує 2 грн. 60 к., а м'яч коштує 5 грн.

 

Задача 6.

Чи можна розміняти 1гривню п’яти-копійковими і двокопійковими монетами так, щоб усіх монет було 30?

 

Припустимо, що слід узяти х п'яти-копійкових  і у двокопійкових монет. За умовою:

 х+у=30.

Оскільки за допомогою цих монет треба розміняти 1 гривню, то мусить виконуватися рівність 5х + 2у =100

Дістали систему рівнянь:

Розв'язавши її, знайдемо, що х=  у=

За змістом задачі х і у повинні бути натуральними числами, а ми дістали дробові числа.

Відповідь: розміняти 1 карбованець зазначеним способом не можна.

 

 

Задача 7.

Сума двох чисел дорівнює 108. Одне число більше від іншого на 7,4. Знайдіть ці числа.

Розв’яжемо задачу двома способами:

 

х – перше число;

(108 – х) – друге число.

 

Оскільки х більше від (108 - х) на 7,4, то одержимо рівняння:

 

х – (108 - х) =7,4

2х – 108=7,4

2х=115,4

х=57,7

 

Перше число: 57,7

 

Друге число: 57,7 – 7,4 =50,3

 

 

 

х – перше число

у – друге число

Оскільки сума двох чисел дорівнює 108, то одержимо рівняння: х+у=108

На основі другої частини умови задачі одержимо таке рівняння: х – у=7,4.

Маємо систему:

Відповідь: 57,7 та 50,3

Який спосіб зручніший? А як би ви розв’язали цю задачу?

 

Задача 8

Сума двох чисел 310, причому перше більше від другого в 2,1 рази. Знайдіть ці числа.

х – перше число

2,1х – друге число

х+2,1х=310

3,1х=310

х=100

 

Перше число: 100

Друге число: 210

 

 

х – перше число

у – друге число

Маємо систему:

Відповідь: 100 та 210

 

Задача 9

На 160 столових і 200 чайних ложок витрачено 14 кг срібла. Яка маса однієї чайної ложки, якщо 3 столові ложки мають таку масу, як 5 чайних ложок.

х – маса столової ложки

3х – маса трьох столових ложок

  - маса чайної ложки

Маса столової ложки – 0,05 кг

Маса чайної ложки – 0,03 кг

 

х - маса столової ложки

у – маса чайної ложки

 

  

Відповідь: 50 г, 30 г.

Як би ви розв’язали цю задачу?

 

Задача 10

З двох сортів борошна ціною 0,5 грн та 0,8 грн за кілограм потрібно утворити 100 кг суміші ціною 0,68 грн за кілограм. Скільки кілограмів борошна кожного сорту треба для суміші?

Позначимо через х – кількість борошна ціною 0,5 грн, а через у – кількість борошна ціною 0,8 грн. Тоді одержимо систему рівнянь:

.

Розглянемо два способи розв’язування:

 

 

 

 

Поясніть спосіб складання системи рівнянь. Чому графік накреслений тільки в першій чверті? Що відображають координати точок відрізка CD? Що означають координати точки К?

Порівняйте словесний зміст цієї задачі зі системою рівнянь:

та з графіком.

 

 

Задача 11

Два робітники за місяць разом виготовили 680 деталей. У наступному місяці продуктивність праці другого робітника зросла на 1%, і тому за місяць було виготовлено 683 деталі. Скільки деталей виготовив кожний робітник наступного місяця?

 

Перший учень

     

 

 

 

 

 

Другий учень

  

Чому така велика розбіжність між відповідями? Адже в правій частині рівняння всього-на-всього число 683 помилково замінено на трохи більше число 685?

 

Задача 12

Знайдіть двоцифрове число, що має такі властивості. Цифра десятків на 4 менша від цифри одиниць. Якщо від числа, записаного тими ж цифрами, але у зворотному порядку, відняти шукане число, то вийде 27?

Позначивши цифру десятків через х, а цифру одиниць через у, складемо систему рівнянь:

               

Отже, замість того, щоб знайти двоцифрове число, ми дізналися, 36=27. Що це означає? А може, ця задача не має розв’язку? Зосередьте свою увагу на системі рівнянь:

 

  . Зробіть правильний висновок щодо розв’язку?

 

Задача 13

Стародавня задача індійського математика Магавіра, який жив у 9 столітті. Під час бою півнів один з глядачів домовився з двома власниками півнів. Першому він сказав: "Якщо переможе твій півень, то виграш віддаси мені, якщо ж програєш, то я сплачу тобі - твого можливого виграшу". Другому учаснику він сказав: "Якщо переможе твій півень, то виграш віддаси мені, якщо ж програєш, то я сплачу тобі твого можливого виграшу". В обох випадках глядач одержить 12 монет. Який мав бути виграш кож­ного учасника бою?

 

Чи відповідає система рівнянь

змістові умови цієї задачі? Дайте пояснення до цієї системи і роз­в'яжіть її.

 

 

Задача 14

Стародавня задача китайського математика Сунь-Цзи, який жив у 3 столітті. Два чоловіки А і Б одержали деяку кількість монет, які треба розділити між ними так, що коли до монет А 2 додати половину монет Б, або до монет Б додати - монет А, то в обох випадках дістанемо 48. Скільки монет одержав кожний чоловік? Чи відповідає зміст цієї задачі системі рівнянь:

 

Поясніть систему рівнянь. Розв'яжіть її. Переконайтеся, чи ро­зв'язки системи рівнянь задовольняють умову задачі.

 

Задача 15

З 20% та 15% розчинів солі треба утворити 2 кг 18% розчину. Скільки потрібно взяти кілограмів кожного розчину?

Позначимо за х – вагу першого розчину, за у – другого. Одержимо систему:

                     

Отже, першого розчину потрібно 1,2 кг, другого – 0,8 кг.

IV. Робота у середовищі «Системи лінійних рівнянь».

 

V. Розв’язування вправ

При розв’язуванні задач доцільно використати такі прийоми:

1. Робота у парах.

Діти розв’язують задачу. Кожному варіанту(їх є два) пропонується умова. Учневі потрібно прочитати, скласти скорочений запис та систему рівнянь. Варіанти здійснюють обмін та розв’язують запропоновані системи. Потім діти перевіряють правильність.  

Біля дошки працює 2-є учнів(умова, складання системи, її розв’язування). Вчитель виступає експертом. Учні звіряють відповіді із розв’язками на дошці.

2. Відновити складену систему

Пропонується два варіанти завдань – І та ІІ.

Дано: умова задачі, хід розв’язку, складена система та її розв’язання. Проте є пропуски. Учням потрібно їх заповнити.

3. Виправити помилки

Пропонується одна задача.

Дано: умова задачі, хід розв’язку, складена система та її розв’язання. Проте є помилки. Сусіди по парті отримують одне завдання із різними помилками. Учням потрібно їх виправити. Потім здійснити взаємоперевірку. Пара учнів, яка першою правильно справилася із завданням, виконує його на дошці.

4. Змагання на швидкість

Пропонується умова для кожного ряду. Потрібно розв’язати задачу. Хто виконає завдання першим – оформляє його розв’язок на дошці. Якщо будуть помилки, то наступний представник ряду їх виправить.

5. Повідомлення результатів

Учням пропонується задача. Потрібно скласти систему та її розв’язати. Відповідь написати на картці. По команді вчителя учні підіймають листки із результатами.

6. Використання різних способів при розв’язуванні однієї задачі

Учням пропонується задача. Потрібно скласти систему та її розв’язати: перший варіант – графічно, другий – способом підстановки, третій – додавання. Представники із рядів виконують на слайдах. Вчитель перевіряє їх результати та проектує для усього класу.

7. Складання умови  до задачі.

Пропонується система. Потрібно скласти до неї умову і розв’язати. Завдання для варіантів: перший –способом підстановки, другий – додавання, третій – графічно.  Вибираються представники із рядів. Поки вони записують завдання на дошці, учні зачитують умови.

8. Тести – складені системи

Дітям пропонується умова, до неї складені 4 системи. Потрібно обрати правильну та розв’язати. Перший варіант – способом додавання, другий – графічним, третій – підстановки.

Представники із рядів виконують завдання на слайдах.

9. Тести – відповіді до задач

Дітям пропонується умова, до неї 4 варіантів розв’язків. Потрібно скласти та розв’язати систему будь-яким способом. До дошки виходять учні із розв’язуванням різними способами.

10. Складання умов та розв’язування систем парами.

Пропонується система. Потрібно скласти до неї умову, а розв’язати має сусід.

 

№1

Сума двох чисел дорівнює 63, а їх різниця до­рівнює 12. Знайдіть ці числа.

 

№2

Технічне переобладнання цеху дало можливість виготовити у лютому на 165 виробів більше, ніж у січні. Скільки виробів було виготовлено у січні і скільки у лю­тому, коли відомо, що за ці місяці цех виготовив 1315 виробів?

 

№3

На будівництві об'єкту працює 31 бригада. Серед них бригад, що працюють на бригадному підряді, на 5 більше, ніж інших. Скільки бригад працює на бригад­ному підряді?

 

№4

У майстерні відремонтували 22 легкових і ван­тажних автомобілі. Серед них легкових було на 8 менше, ніж вантажних. Скільки вантажних автомобілів відре­монтували у майстерні?

 

№5

Кілька колгоспів закупили 28 тракторів і авто­мобілів. Причому тракторів було в 1,8 разів більше, ніж автомобілів. Скільки тракторів і скільки автомобілів закупили колгоспи?

№6

Основа рівнобедреного трикутника на 7 см біль­ша від його бічної сторони. Знайдіть бічну сторону три­кутника, якщо його периметр дорівнює 43 см.

 

№7

3а 600 г цукерок і 1,5 кг печива заплатили 4 грн. 62 к. Скільки коштує 1 кг печива, якщо він дешевший за 1 кг цукерок на 1 грн. 40 к.?

 

№8

Застосування у колгоспі передової технологи дало можливість підвищити урожайність картоплі з 1 га на  4 т. В результаті з ділянки площею 320 га зібрали на 640 т картоплі більше, ніж раніше збирали з ділянки площею 400 га. Яка була врожайність картоплі спочатку і якою вона стала?

 

№9

Одна частина сталевого брухту містить 5% нікелю, а інша – 40%. Скільки треба взяти брухту кожної частини, щоб дістати 140 т сталі з вмістом 30% нікелю?

 

№10

Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника утворює з бічною стороною кут, який дорівнює куту між бічними сторонами. Визначте значення сторін трикутника.

 

 

№11

Сад має форму прямокутника. Якщо збільшити довжину саду на 8 м, а ширину  на 6 м, то його площа збільшиться на 624 м². Якщо ж довжину саду зменшити на 6 м, а ширину збільшити на 8 м, то його площа збільшиться на 120 м². визначте довжину і ширину саду.

 

№12

Швидкість моторного човна за течією 23 км/год, а проти течії – 17 км/год. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії.

 

№13

Скільки років батькові і синові, якщо 8 років тому батько був старший від сина у 8 разів, а 5 років тому – у 5 разів?

 

 №14

Скільки в клітці фазанів і кролів, якщо всього в ній 35 голів і 94 ноги?

 

№15

Мотузку завдовжки 22 м розрізали на дві частини так, що одна з них стала на 20% коротша, ніж друга. Знайдіть їх довжини.

 

№16

Якщо розсадити дітей по двоє за стіл, то не вистачить 3 столи. Якщо є розсадити їх по троє, то один стіл виявиться зайвим. Скільки було дітей і скільки столів?

 

№17

За 4 години їзди автомобілем і 7 годин їзди поїздом туристи проїхали 640 км. Яка швидкість поїзда, якщо вона на 5 км/год більша від швидкості автомобіля?

 

VI. Виконання самостійної роботи по рівнях.

 

Варіант 1

І рівень. Периметр прямокутника дорівнює 52 см. Його довжина на 10 см більша за ширину. Знайдіть довжину сторін прямокутника.

II рівень. Туристичну групу із 42 осіб розселили у двомісних і тримісних номерах. Всього було зайнято 16 номерів. Скільки було зайнято двомісних і скільки тримісних номерів?

III рівень. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 7. Якщо ці цифри по­міняти місцями, то отримаємо число, більше за дане на 45. Знайдіть дане число.

 

Варіант 2.

І рівень. Периметр прямокутника дорівнює 16 см. Його ширина на 4 см менша за довжину. Знайдіть довжину сторін прямокутника.

II рівень. За покупку канцтоварів на суму 65 копійок Тетяна розрахувалася монетами по 5 І 10 копійок. Всього вона віддала 9 монет. Скільки серед них було монет по 5 і по 10 копійок?

III рівень. Сума цифр двоцифрового числа дорівнює 11. Якщо ці цифри по­міняти місцями, то отримаємо число, менше за дане на 9. Знайдіть дане число.

 

VII.

№1

10 корів щодня з’їдають сіна на 6 кг більше, ніж 6 коней. А 3 коня з’їдають сіна за день на 3 кг більше, ніж 4 корови. Скільки сіна щоденно з’їдає корова і скільки кінь.

 

№2

Метушливі горобці хочуть сісти на стовпці.

По одному, якщо сісти, двом не вистачило б місця,

А як вмостяться по парі, буде вільна стовпців пара.

Скільки ж там було стовпців і літало горобців.

 

№3

Скільки літ Антону й Насті, якщо разом їм 17.

І тепер їх вдвічі більше, ніж було Антону 28 років тому.