Тема 11. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь. Робота у середовищі «Системи лінійних рівнянь».

Тема 11.

Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь. Робота у середовищі «Системи лінійних рівнянь».

Мета: формувати в учнів уміння застосовувати системи рівнянь до розв’язування задач; розвивати навички застосування набутих знань з математики до розв’язування прикладних задач; вчити аналізувати відповіді; вміти розробляти алгоритми для розв’язування задач; формувати вміння розв’язувати задачі на рух, відсотки, геометричного змісту складанням систем рівнянь.

 

Тип уроку: закріплення знань, умінь і навичок.

 

Клас: 3(7) клас

 

Структура уроку.

 

1. Організаційний момент. Перевірка домашнього завдання.
2. Актуалізація опорних знань, умінь та навичок.
3. Закріплення знань і способів дій.
4. Перевірка і корекція засвоєння учнями матеріалу. Робота у середовищі «Системи лінійних рівнянь».
5. Підсумки уроку. Повідомлення домашнього завдання.

 

Хід уроку

 

І. Перевірка домашнього завдання.

Троє  учнів відтворюють на дошці розв'язування домашніх задач.

Решта розв’язують колективно вправу.

 

Уміння розв'язувати системи лінійних рівнянь з двома змінними дозволяє розв'язувати текстові задачі за допомогою введення двох змінних. При аналізі змісту задачі умова розбивається на дві частини –  дві ситуації, які дають змогу скласти два рівняння першого степеня. Розглянемо задачі.

 

Задача 1

Два олівці і три зошити коштують 1,3 грн, а три олівці і два зошити – 1,2 грн. Скільки коштує один олівець і один зошит?

 

За текстом задачі виділяємо дві умови:

1) Два олівці і три зошити коштують 1,3 грн.

2) Три олівці і два зошити коштують 1,2 грн.

Нехай один олівець коштує – х грн., а один зошит у грн. Тоді з першої умови випливає

2х + Зу=1,3, а з другої Зх + 2у = 1,2.

Учні складають систему рівнянь і розв'язують її самостійно зручним для них способом.

 

Відповідь написано на дошці.

 

 

Задача 2

На будівництві працювало 50 мулярів і теслярів. Згодом кількість мулярів збільшилась у 2 рази, а теслярів у 3 рази і всіх стало 130. Скільки спочатку було мулярів і теслярів на виробництві?

 

При аналізі задачі виділяємо дві ситуації. Задачу розв'язує­мо за допомогою таблиці.

	Було	Стало
Муляри	х	2х
Теслярі	у	Зу
Разом	х+у	2х +3у
Разом за умовою задачі	50	130

 

Учні самостійно складають і розв'язують систему рівнянь.

 

Відповідь написано на дошці.

 

Крім того, учитель пропонує учням скласти одне рівнян­ня з однією змінною, розв'язати його та порівняти відповіді, одержані при розв'язанні задачі обома способами.

 

ІІ.

Задачі розв'язуються на дошці та в зошитах учнів за такою схемою(формуємо алгоритм розв’язування задачі на складання системи лінійних рівнянь):

1. Аналіз умови.
2. Виділення двох ситуацій.
3. Введення змінних.
4. Встановлення залежностей між даними задачі та змінними.
5. Складання рівнянь.
6. Розв'язування системи рівнянь.
7. Запис відповіді.
8. Аналіз результатів.

 

Задача 3

Сума двох чисел дорівнює 37, а їхня різниця дорівнює 7. Знайдіть ці числа.

 

Учні тільки складають систему рівнянь і записують її на планшетах. До задачі одні роблять таблицю, інші – заповнюють готову. Сильнішим учням пропонується два варіанти – заповнити пропуски та виправити помилки.

 

Задача 4

Половина одного числа на 4 більша від третини другого, а половина другого на 18 більша від чверті першого. Знайдіть ці числа.

 

Учні розв'язують задачу самостійно.

Учні по варіантах одержують картки-підказки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

IIІ.

1. Розв'язування задач на рух, складанням системи рівнянь.

Повторення основних характеристик руху:

• Яка залежність існує між часом, швидкістю та шляхом?

• Як впливає швидкість течії на швидкість моторного човна?

 

Задача 5

Швидкість моторного човна за течією 25 км/год, а проти течії 19 км/год. Знайдіть власну швидкість човна та швидкість течії.

 

Учням пропонується план розвязування задачі(записано на дошці).

 

1. Позначте власну швидкість човна.
2. Позначте швидкість течії.
3. Виразіть швидкість човна за течією.
4. Виразіть швидкість човна проти течії.
5. Складіть систему рівнянь з двома змінними.

 

Діти виконують розв’язування самостійно у зошитах, деяким пропонуюся картки:

    

 

Задача 6

Відстань між двома пристанями дорівнює 90 км. Цю відстань за течією річки катер проходить за 3 год, а проти течії — за 4,5 год. Знайдіть швидкість катера і течії річки.

 

Задачу можна розв'язати за допомогою таблиці. Перший варіант заповнює першу таблицю, другий – другу.

 

 

 

 Шлях за течією.

Власна швидкість катера, км/год	Швидкість течії, км/год	Швидкість катера за течією, км/год	Час, год	Відстань, км	Рівняння
х	у	х+у	3	90	3(х+у)=90

 

Шлях проти течії.

Власна швидкість катера, км/год	Швидкість течії, км/год	Швидкість катера проти течії, км/год	Час, год	Відстань, км	Рівняння
х	у	х – у	4,5	90	4,5(х – у)=90

 

Складають систему та розв’язують. Перевірка здійснюється коментуванням учнів з місця.

 

2. Розв’язування задач на відсотки складанням системи рівнянь.

 

Задача 7.

Розділить число 850 на дві частини так, щоб 4 % першої части­ни були менші, ніж 4,5% другої частини, на 2 % усього числа.

 

Аналіз умови.

В умові задачі порівнюються дві частини одного і того самого числа: сума цих частин та їхня різниця.

Розв'язання.

Нехай число 850 поділено на дві частини: перша — х, друга — у, тоді складемо перше рівняння: х + у = 850.

4 % першої частини — 0,04х

4,5 % другої частини — 0,045у

2 % усього числа — 850·0,02 = 17

За умовою задачі: 0,045у –  0,04х = 17 (друге рівняння).

 

Складемо систему:

Відповідь. Перше число –  250; друге число –  600.

 

Задача 8

20% першого числа на 15 менші, ніж 30% другого, а 40% першого на 2 більші від 20% другого. Знайдіть ці числа.

 

Учні розв'язують задачу самостійно. Один учень працює за відкидною дошкою. Клас звіряє своє розв'язання з записами на дошці. Або розв'язання задачі спро­ектовано за допомогою кодоскопу.

   

 

Задача 9

На елеватор завезли 350 т пшениці двох сортів. Перший сорт містить 2% відходів, другий –  3 %. Після очищення залиши­лося 341 т чистої пшениці. Скільки пшениці кожного сорту за­везли на елеватор?    

Учням пропонується підказка:

1. Введіть дві змінні за умовою задачі.

2. Знайдіть 2 % від х, 3 % від у.

3. Зменшіть х на 2 %, у — на 3 %.

Розв'язання можна оформити у вигляді таблиці.

	Пшениця, т	Відходи, т	Залишилося пшениці, т
І сорт	х	0,02х	х - 0,02х = 0,98х
II сорт	у	0,03у	у - 0,03у = 0,97у
Разом	х + у = 350		0,98х + 0,97у=341

Учні розв'язують систему самостійно зручним для них спосо­бом.

 

3. Розв’язування задач геометричного змісту складання системи рівнянь.

 

Задача 10

Один з кутів трикутника дорівнює 70⁰, а різниця двох інших 50⁰. Знайти міри цих кутів.

Задачу розв’язують самостійно, керуючись алгоритмом, записаним на дошці:

1. Знайдіть суму двох кутів трикутника. Знаючи, що:

•    сума кутів трикутника 180⁰,
•    один позначивши через х,
•    інший  - у,
•    третій 70⁰ за умовою,
•    складіть перше рівняння.

2. Складіть друге рівняння, виходячи з того, що їхня різниця 50⁰.

3. Розв’яжіть систему рівнянь зручним для вас способом.

 

Задача 11

Якщо довжину прямокутника збільшити на 2 дм, а ширину зменшити на 1 дм, то його площа збільшиться на 3 дм². Якщо ж довжину прямокутника зменшити на 3 дм, а ширину збільшити в 2 дм, то його площа зменшиться на 5 дм². Знайдіть розміри прямокутника.

Після колективного аналізу умови та виділення двох ситуацій задачу можна розв'язати за допомогою таблиці.

 

Виміри прямокутника	Було	Стало	Рівняння
Довжина, дм	х
Ширина, дм	у
Площа, дм2

 

Виміри прямокутника	Було	Стало	Рівняння
Довжина, дм	х
Ширина, дм	у
Площа, дм2

 

Систему рівнянь учні розв'язують самостійно:

 

6. Робота у середовищі «Системи лінійних рівнянь».

1. Інструктаж по роботі у середовищі.

Розв’язування текстових задач

При обиранні в зошиті текстової задачі з’являється допоміжне вікно Конструктор, яке містить умову задачі, Поле коментарю і Поле написання системи лінійних рівнянь. В останнє поле учень вводить за допомогою клавіатури систему лінійних рівнянь, після чого натискає кнопку Перевірка.

Якщо систему складено вірно, то стає активною кнопка Переслати і у нижньому правому куті з’являється коло зеленого кольору. При цьому умова задачі і складена система пересилаються в поле Чистовика. Якщо у складеній системі є помилки, з’являється коло червоного кольору і користувач має можливість повернутися до редагування системи лінійних рівнянь.

За допомогою кнопки Відмінити користувач має можливість припинити роботу з даною задачею.

На цьому кроці при натисканні кнопки Перевірка програма перевіряє правильність написання учнем системи лінійних рівнянь. Якщо систему рівнянь складено вірно, то умова задачі і складена система лінійних рівнянь пересилаються у Чистовик Зошита. Якщо при складанні були допущені помилки, про це з’являється відповідне повідомлення.

За допомогою кнопки Відмінити Поле написання системи рівнянь повністю очищується.

 

 

 

2. Розв’язування задач у середовищі

V. Домашнє завдання.

 

№1

Якщо мотоцикліст збільшить швидкість на 20 км/год, то в пункт призначення він прибуде на 1 год раніше вказаного часу. Якщо він зменшить швидкість на 10 км/год, то на годину запізниться. Знайдіть швидкість мотоцикліста і час його руху.

 

№2

Сума двох чисел 500. Знайдіть ці числа, якщо 30% одного чис­ла дорівнює 20% другого.

 

№3

Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см, а сума двох нерівних сторін 17 см. Знайдіть ці сторони.