Тема 2. Системи лінійних рівнянь з двома змінними. Графічний спосіб розв’язування таких систем.

Про матеріал

Розробка циклу уроків однієї з навчальних тем курсу алгебри „Системи лінійних рівнянь з двома змінними" для 7 класу. Другий урок із даної теми

Перегляд файлу

Тема 2.

Системи лінійних рівнянь з двома змінними.

Графічний спосіб розв’язування таких систем.

Мета уроку: повторення та закріплення, уточнення та поглиблення попередньо засвоєних знань, умінь та навичок; сформувати поняття лінійних систем рівнянь з двома невідомими; навчити учнів наводити приклади; формування в учнів умінь розв’язувати системи рівнянь графічним способом; розгляд алгоритмів розв’язків систем.

Тип уроку: урок формування та вдосконалення вмінь та навичок

Клас 3(7) клас.

Структура уроку.

Організаційний момент. Перевірка домашнього завдання.
Актуалізація опорних знань та їх коригування. Написання самостійної роботи.
Робота із електронним підручником(повтореня теоретичного матеріалу).
Повідомлення теми і мети нового уроку.
Мотивація навчальної діяльності.
Розв’язування вправ(із подальшим поданням нового матеріалу та ознайомлення з правилами, алгоритмами виконання).
Пробні та тренувальні вправи(використання вивченого в стандартних умовах).
Закріплення вивченого матеріалу(використовуємо електронний підручник).
Контроль і самоперевірка.
Розв’язування вправ в нестандартних умовах. Робота у середовищі «Системи лінійних рівнянь».
Підбиття підсумків. Повідомлення домашнього завдання.

Хід уроку.

І, ІІ. Пивітання. Перевірка учнів. До дошки виходить учень і розв’язує домашні вправи, ззаду дошки ще двоє учнів пишуть відповідно І та ІІ варіант; решта пише самостійну роботу у робочих зошитах.

І Варіант	ІІ варіант
1. При яому значенні а пара чисел є розв’язком рівняння?
(1; -3) 2х – 7у=а; 6х – ау=4	(-1; 3) 5х – 3у=а; 3х – ау=6
2. При якому значенні а графік рівняння проходить через початок координат?
3х – 7у=а	6х + 7у=а+4
3. Які з точок належать графіку рівняння?
3х+15у=15 А(5;0), В(0;-3), С(1;1)	4х – 5у=30 А(1;4), В(0;-6), С(5;-2)
4. Побудувати графік рівняння.
х+3у=5	4х+3у=12

ІІІ.

IV, V. Сьогодні, діти, ми з вами будемо вчити наступну тему, а саме: „Системи лінійних рівнянь з двома змінними. Використання графічного способу для їх розв’язання.” Для цього розглянемо такі вправи.

Задача. Сума двох чисел дорівнює 12, а їх різниця дорівнює 2. Знайдіть ці числа.

Позначимо перше число буквою х, а друге буквою у. Ва умовою задачі сума чисел дорівнює 12, тобто х + у = 12. Оскільки різниця чисел дорівнює 2, то х – у =2.

Ми склали два рівняння з двома змінними. Щоб відповісти на запитання задачі, треба знайти такі значення змінних, які перетворюють у правильну рівність кожне з рівнянь, тобто знайти спільні розв'язки цих рівнянь. У таких випадках говорять, що треба розв'язати систему рівнянь.

Систему рівнянь прийнято записувати за допомогою фігурної дужки. Складену за умовою задачі систему рівнянь можна записати так:

х + у = 12,

х – у =2;

Пара значень змінних х=7, у=5 є розв'язком кожного з рівнянь системи, оскільки обидві рівності 7+5=12 та 7 – 5= 2 правильні.

Таку пару називають розв'язком системи.

Означення. Розв'язком системи рівнянь з двома змінними називається пара значень змінних, що перетворює кожне рівняння системи у правильну рівність.

Розв'язати систему рівнянь – означає знайти всі її розв'язки або довести, що розв'язків немає.

Щоб розв'язати систему лінійних рівнянь з двома змінними, можна використати графіки рівнянь.

Нехай треба розв'язати систему рівнянь

2х + Зу=5,

3х – у =-9.

Побудуємо в координатній площині графіки рівнянь системи. Графіком першого рівняння є пряма АВ, а графіком другого — пряма СD.

Координати будь-якої точки прямої АВ є розв'язком рівняння 2х + Зу =5, а координати будь-якої точки прямої СD є розв'язком рівняння 2х – у = -9. Координати точки перетину прямих задовольняють як перше рівняння, так і друге, тобто в розв'язком системи. Графіки перетинаються у точці К (-2; 3). Отже, система мав єдиний розв'язок х=-2, у =3.

Застосований нами спосіб розв'язування системи рівнянь називається графічним. Зауважимо, що графічний спосіб звичайно дає змогу знаходити розв'язки лише наближено.

Розглянемо системи двох лінійних рівнянь з двома змінними, у кожному з яких хоча б один з коефіцієнтів при змінних відмінний від нуля. З'ясуємо, чи завжди система має розв'язки і якщо має, то скільки. Графіками рівнянь системи є прямі. Якщо ці прямі перетинаються, то система має єдиний розв'язок, якщо прямі паралельні, то система не мав розв'язків, якщо прямі збігаються, то розв'язків безліч.

VI. Приклад 1. З'ясуємо, скільки розв'язків мав система рівнянь:

11х+10у=120

6х+у=18

Розглянемо, яке взаємне розміщення графіків рівнянь нашої системи. Для цього виразимо з кожного рівняння у через х, дістанемо:

у=-1,1х+12

у=-6х+18

Рівняння у=-1,1х+12 та у=-6х+18 задаються лінійні функції. Кутові коефіцієнти прямих, які графіками цих функцій, різні. Отже, ці прямі перетинаються і система має єдиний розв'язок.

Приклад 2. Розглянемо, скільки розв'язків має системі рівнянь:

8х+20у=3

2х+5у=16

З кожного рівняння системи виразимо у через х:

у=-0,4х+0,15

у=-0,4х+3,2

Прямі, які в графіками лінійних функцій у=-0,4х+0,15 та у=-0,4х+3,2 паралельні, оскільки їхні кутові коефіцієнти однакові, а точки перетину з віссю у різні. Звідси випливає, що дана система рівнянь не має розв’язків.

Прик лад 3.

З'ясуємо, скільки розв'язків мав система рівнянь

5х+2у= -18,

15х + 6у = -54.

Виразивши з кожного рівняння системи у через х і дістанемо:

у=-2,5х – 9

у= -2,5х – 9

Очевидно, що графіки рівнянь збігаються. Це означає, що будь-яка пара чисел (х; у), в якій х — довільне число, а у=-2,5x - 9, є розв'язком системи. Система має безліч розв'язків.

Розглянемо основні типи систем та їх розв’язки:

a, b,c,d – довільні раціональні числа, k – коефіцієнт пропорційності

	Типи систем	Приклади	Число розвязань
1	Жодної точки, Жодної точки	0х+0у=а 0x+0y=b	Система не має розв’язків
2	Вся площина, Жодної точки	0х+0у=0 0x+0y=a	Система не має розв’язків
3	Вся площина, Вся площина	0х+0у=0 0x+0y=0	Будь-яка пара чисел – розвязок системи
4	Жодної точки, пряма	0х+0у=а cx+dy=b	Система не має розв’язків
5	Вся площина, пряма	0х+0у=0 ax+by=c	Розв’язок системи – координати будь-якої точки прямої
6	Дві прямі, Що перетинаються	0х+0у=а 0x+0y=b	Єдиний розв’язок – координати точки перетину прямої
7	Дві паралельні прямі	aх+bу=0 ax+by=b	Система не має розв’язків
8	Дві прямі, що співпадають	aх+bу=0 kax+kby=0	Координати будь-якої точки прямої є розвязками системи.

VII. Розглянемо дві задачі. Порівняємо їх зміст. З'ясуємо, що є спільного у змісті і способі розв'язання задач і чим вони різняться.

Задача 1. Човен йшов за течією зі швидкістю 15 км/год а проти течії — зі швидкістю 12 км/год. Визначте швидкість човна в стоячій воді та швидкість течії?

Розв'язання

Якщо х — швидкість човна у стоячій воді, у — швидкість течії, то згідно з умовою задачі дістаємо рівняння х + у = 15 і х - у = 12.

Оскільки потрібно знайти спільний розв'язок обох рівнянь, то потрібно знайти таку пару чисел (х, у), яка б задовольняла обидва рівняння.

Систему рівнянь записуємо так:

х+у=15,

х –у=12

Задача 2. Сума двох чисел, дорівнює 15. Одне з них більше від другого на 12. Знайдіть ці числа.

Розв'язання

Якщо одне з чисел позначити через х, а інше — через у, то згідно з умовою задачі дістаємо рівняння х + у = 15 і х - у = 12.

Оскільки в цих рівняннях невідомі числа одні й ті ж, то ці рівняння повинні мати спільний розв'язок. У такому випадку ці рівняння утворюють систему, яку записуємо так:

х+у=15,

х –у=12

Фігурна дужка, що стоїть зліва, означає, що потрібно знайти таку пару чисел (х, у), яка б перетворювала обидва рівняння у правильні рівності.

Як бачимо, обидві задачі зводяться до знаходження такої пари значень змінних х і у, яка б задовольняла систему рівнянь:

х+у=15,

х –у=12

у=15 – х ,

у=х – 12.

Систему рівнянь (І) можна розв'язати графічно.

Подумайте над запитаннями і дайте відповіді:

а) Де розміщені координати точок, що задовольняють рівняння х + у = 15 у першій задачі? у другій задачі? Чому?

б) Де розміщені координати точок, що є розв'язками другого рівняння х – у=12 у першій задачі? у другій задачі? Чому?

в) Що відображають координати точки R?

Відповіді на поставлені запитання знайдіть у таких міркуваннях.

На перший погляд здається, що задачі різні. Задача 1 — з практичним змістом, вона є у підручнику з фізики; задача 2 — на знаходження чисел за їх сумою і різницею. Зі системи бачимо, що обидві задачі за структурою належать до задач на знаходження чисел за їх сумою (х +у= 15) і різницею (х - у =12).

Проте, заглибившись у зміст кожної із задач, можна зауважити розбіжності між ними.

У задачі 1 перша частина речення "Човен йшов за течією річки зі швидкістю 15 км/год" описана відрізком АВ (крім точок А і В). Координати кожної його точки відображають власну швидкість човна і течії (х + у = 15), х > 0 і у > 0.

У задачі 2 перше речення "Сума двох чисел 15" описується прямою АВ (х + у = 15). Сума координат будь-якої точки прямої АВ дорівнює 15. Числа х і у — будь-які числа.

Друга частина речення першої задачі "а проти течії — зі швидкістю 12 км/год" зображена відрізком СВ(крім точок С D, х >0 і у > 0). Координати кожної його точки — це власна швидкість човна і течії річки.

У другій задачі друге речення "Одне з них більше від другого на 12" зображене не відрізком, а прямою СD.

Завдання першої задачі "Визначте швидкість човна в стоячій воді та швидкість течії?" збігається з вимогою другої задачі ''Знайдіть ці числа", оскільки відповіді на них вказуються координатами єдиної точки K. Ви також так гадаєте?

Чи кожна система двох рівнянь має тільки один розв'язок?

Звернемось до системи рівнянь задачі 2. Зміст цієї задачі відображений двома прямими АВ і СD. Координати точок прямої АВ дають усі розв'язки рівняння х + у = 15, а координати точок прямої СD дають усі розв'язки рівняння х – у= 12.

Отже, якщо прямі АВ і СD перетинаються (в точці K), то координати точки перетину є спільним розв 'язком обидвох рівнянь, і система рівнянь у цьому випадку мас єдиний розв'язок. У розглянутих задачах 1 і 2 такою точкою була точка К (13,5; 1,5).

Якщо прямі АВ і СD збігаються, то координати будь-якої точки прямої АВ чи прямої СD є розв'язком системи рівнянь.

Задача №3

Розв’язати систему рівнянь:

х+3у=15

3х – 4у=6

Розв’язання:

Будуємо графіки рівнянь, що входять до системи. Координати точки перетину є розв’язками системи. Графічний спосіб є зручним для знаходження числа розв’язків системи

х+3у=15, у=5 - - це пряма, що проходить через точки з координатами (0;5), (3;2).

4у=3х+3, у= х – - це пряма, що проходить через точки з координатами (4; ) (0,)

Графіки цих функцій перетинаються в точці з координаттами(6;3).

Задача №4

; ;

x	0	3
y	5	3

x	0	4
y	*0,75*	*3,75*

Відповідь: (3;3).

VIII.

IX. Самостійна робота(двоє учнів біля дошки розв’язують, решта – у зошитах. Здійснюється самоперевірка із подальшою перевіркою завдань з учнівськими роботами, що виконувалися біля дошки)

Самостійна робота
І варіант	ІІ варіант	ІІІ варіант	ІV варіант
Розв’язати графічно систему рівнянь:

1. Використання середовища для забезпечення розвитку у школярів здатності до оціночних дій. Діти розглядають розв’язані вправи, повторюють основні алгоритми та грунтовніше знайомляться із роботою середовища.

2. Розв’язування вправ із „Електронного задачника”. Діти виконують розв’язання задач у електронному зошиті, а в робочий записують умови, для оформлення цих же задач(на домашнє завдання). Це дасть змогу визначити переваги даної програми та закріпить здобуті знання та навички та уроці.