Тема 6. Розв’язування систем лінійних рівнянь з двома невідомими способом додавання.

Про матеріал

Розробка циклу уроків однієї з навчальних тем курсу алгебри „Системи лінійних рівнянь з двома змінними" для 7 класу. Шостий урок із даної теми

Перегляд файлу

Тема 6.

Розв’язування систем лінійних рівнянь з двома невідомими способом додавання.

Мета: навчити учнів розв’язувати системи лінйних рівнянь з двома невідомими способом додавання; формувати культуру записів; забезпечити мотивацію навчання; сприяти засвоєнню учнями способів, засобів, які приводять до розуміння способу додавання; створити змістові та організаційні умови застосування учнями вивченого матеріалу; встановити правильність усвідомлення вивченого матеріалу; провести корекцію виявлених прогалин в усвідомленні учнями вивченого матеріалу.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Клас: 3(7) клас

Структура уроку.

Організаційний момент. Перевірка домашнього завдання. Коригування опорних знань, умінь і навичок.
Підготовка учнів до сприйняття нового матеріалу. Мотивація навчальної діяльності. Оголошення нового матеріалу.
Вивчення нового матеріалу.
Осмислення новихзнань, формування умінь та новичок при розв’язуванні задач і вправ.
Закріплення, систематизація та узагальнення навчального матеріалу.
Контрольно-коригуючий етап.
Підбиття підсумків уроку. Інструктаж щодо виконання домашньої роботи.

Хід уроку.

І. Привітання, перевірка присутніх. Обговорення результатів. Корекція допущених помилок.

ІІ. Розв’язування задачі на складання системи лінійних рівнянь з двома невідомими. Формування в учнів розуміння вибору раціональнішого способу.

У багатьох системах рівнянь графічний спосіб, як і спосіб підстановки, незручні, а іноді й ускладнюють розв'язування деяких систем рівнянь.

Розглянемо для прикладу задачу, яка розв'язується за допомогою системи рівнянь.

Задача 1. Маса 5 великих і 4 малих шоколадок становить 800 г. 7 великих шоколадок мають масу на 400 г більшу, ніж 4 малих. Яка маса одної великої та одної малої шоколадок?

х - маса великої шоколадки;

у - маса малої шоколадки;

5х - маса п'яти великих шоколадок;

4у - маса всіх малих шоколадок;

7х — маса семи великих шоколадок;

5х + 4х — маса малих і великих шоколадок, узятих разом;

7х — 4у — різниця між масою семи великих і чотирьох малих шоколадок.

З умови задачі випливає система таких двох рівнянь:

Пропонуємо два способи розв'язання одержаної системи рівнянь.

Спосіб підстановки:

, ,

Спосіб додавання:

Отже, розв'язком даної системи є пара чисел: (100; 75).

Відповідь: 100 г, 75 г.

Поясніть кожне з цих розв'язань. Який зі способів простіший і зрозуміліший? Згідно з якою властивістю рівнянь записаний третій рядок у правому стовпчику? А як би ви розв'язали цю систему рівнянь?

Задача 2. Як розв’язати таку систему рівнянь:

Яку властивість рівнянь треба використати, щоб коефіцієнти при одній зі змінних були протилежними числами?

. Помножимо обидві частини другого рівняння на – 1.

Відповідь:

Задача 3. Виникає ще одне запитання. Як бути, якщо коефіцієнти при одних і тих же змінних не є протилежними числами?

Наприклад,

Оскільки коефіцієнт при змінній х у другому рівнянні в 4 рази більший, ніж у першому, то обидві частини першого рівняння помножимо на -4. У результаті дістанемо рівносильну систему рівнянь:

Відповідь: (8;2).

Задача 4. І все ж, як розвязхати систему рівнянь способом додавання, якщо коефіцієнти як при змінній х, так і при змінній у, не є кратними числами?

Наприклад,

Розглянемо два випадки розв’язання систем рівнянь способом додавання.

Перший випадок:

Відповідь: (1;3).

Другий випадок:

ІІІ. Підведення учнів до вивчення нового матеріалу.

У чому полягає суть розв’язання системи рівнянь способом додавання на основі розв’язаних систем зробимо висновок.

Способом додавання можна розв’язати таку систему рівнянь, у якій коефіцієнти при одній і тій же змінній в обох рівняннях є протилежними числами.

Наприклад, ,

Якщо ж запропонована система не має такого вигляду, то неважко звести будь-яку систему лінйних рівнянь з двома змінними до такої системи рівнянь, в якій коефіцієнти при одній і тій же будь-якій змінній є протилежними числами.

Наприклад, ,

Ми розглянули приклади розв'язування систем способом додавання. Розв'язуючи системи двох лінійних рівнянь з двома змінними способом додавання, роблять так:

множать почленно рівняння системи, підбираючи множники так, щоб коефіцієнти при одній із змінних стали протилежними числами;
додають почленно ліві і праві частини рівнянь системи;
розв’язують утворене рівняння з однією змінною;
знаходять відповідне значення другої змінної.

Зауважимо, що коли коефіцієнти при одній зі змінних є протилежними числами, то розв’язування відразу починають з по членного додавання рівнянь.

Мабуть, вам зрозуміло, що систему рівнянь доцільно розв’язувати одним із двох способів: підстановки або додавання.

Який зі способів кращий? - Це залежить від коефіцієнтів, що є при змінних х та у.

IV.

1. Робота із електронним підручником.

2. Розбір розв’язаних систем по електронному підручнику.

V. Розв’язування систем способом підстановки.

№1

Розв'яжемо систему:

(1)

У рівняннях цієї системи коефіцієнти при у — протилежні числа. Додавши почленно ліві і праві частини рівнянь, дістанемо рівняння з однією змінною:

Зх =33.

Замінимо одне з рівнянь системи (1) наприклад перше, ріпиянням 8х = 33. Дістанемо систему:

(2)

Система (2) рівносильна системі (1).

Розвяжемо систему (2). З рівняння 3х=33 знаходимо, що х=11. підставивши це значення х у рівняння х – 3у =38, дістанемо рівняння зі змінною у:

11 – 3у=38

-3у=27

у=-9.

Пара (11;-9) – розвязок системи (2), а, отже, і даної системи (1).

Скориставшись тим, що в рівняннях системи (1) коефіцієнти при у є протилежними числами, ми звели її розв'язування до розв'язування рівносильної системи (2) в якій одне з рівнянь має тільки одну змінну.

Геометричне рівносильність систем (1) і (2) означає, що графіки рівнянь 2х + Зу =-5 та х — Зу = 38 перетинаються у тій самій точці, що і графіки рівнянь Зх =33 і х — Зу=38, тобто всі три прямі перетинаються в одній точці.

№2

Розв’яжемо систему:

, ,

Відповідь: (6;-2)

№3

Розв'яжемо систему:

Підберемо множники до рівнянь системи так, щоб після множення на них коефіцієнти при у стали протилежними числами. Помножимо перше рівняння системи на -4, а друге на 5, дістанемо: