Теорема Піка та її практичне застосування

Теорема Піка та її практичне застосування. Науково-дослідницька робота. Роботу виконала: Грищенко Ірина Олександрівна,учениця 10 класу Деснянського ліцею Деснянської селищної ради Керівник роботи: Коваль Наталія Петрівна, учитель математики Деснянського ліцею Деснянської селищної ради

Дистанційне зондування Землі Дистанційне зондування Землі – це спостереження нашої планети за допомогою знімальних пристроїв, встановлених на космічних апаратах. За його допомогою прогнозують погоду, відстежують перебіг та наслідки надзвичайних ситуацій, обсяг розливу нафтопродуктів та багато іншого. Онлайн-джерел, де можна отримати супутникові знімки для досліджень безкоштовно, існує багато. Наприклад, EO Browser, Google Earth, та багато інших.

В 1899 році австрійський математик Георг Пік винайшов чудову формулу для обчислення площі многокутника з вершинами в вузлах на папері в клітинку. Цікавий спосіб знаходження площ фігур

Гуго Діонизій Штейнгауз  —польський математик, співзасновник Львівської математичної школи. У 1969 році включив формулу Піка в свою знамениту книгу «Математичний калейдоскоп», після цього вона стала широко відомою великому колу математиків.

S – площа багатокутника, В – число вузлів решітки, розташованих суворо всередині багатокутника,Г – число вузлів решітки, розташованих на його межі, включаючи вершини Теорема Піка. S = В + Г𝟐 −𝟏 

Гіпотеза. Площу географічного об’єкта, зображеного на дрібномасштабної географічної карті та на супутниковому знімку, земельної ділянки, зображеної на плані можна обчислити за допомогою теореми Піка.

Об’єкт дослідження Геометричні фігури, географічні об’єкти зображені на дрібномасштабної географічної карті, та на супутниковому знімку, земельні ділянки, зображені на плані. Предмет дослідження. Теорема Піка

Мета роботи

Завдання дослідження

Обчислення площі багатокутника 54 cм252,5 см272 cм2109 cм2

Обчислення площ круга та його частин 154 см2158 см257,75 см2  59,5 см2141 𝟑𝟕  см2 139 см2

Експеримент і дослідження

{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Об’єктдослідження. S=В + Г𝟐  – 1(см2) S = (В + Г𝟐  – 1) М𝟏𝟎𝟓𝟐(км2)Довідкова інформація( км2)Відносна похибка(%)Україна 1:15 000 00024540 000 603 70010 Україна 1:12 000 00038,5 554 400603 7008 Україна 1:10 000 00057,5575 000 603 7005 Україна 1:8 000 00090576 000603 7004 Україна 1:6 000 000161579 600603 7003 Україна 1: 5 000 000242605 000603 7001{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Об’єктдослідження. Довідкова інформація( км2)Відносна похибка(%)Україна 1:15 000 00024540 000 603 70010 Україна 1:12 000 00038,5 554 400603 7008 Україна 1:10 000 00057,5575 000 603 7005 Україна 1:8 000 00090576 000603 7004 Україна 1:6 000 000161579 600603 7003 Україна 1: 5 000 000242605 000603 70015%

{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Об’єктдослідження. S=В + Г𝟐  – 1(см2) S = (В + Г𝟐  – 1) М𝟏𝟎𝟓𝟐(км2)Довідкова інформація( км2)Відносна похибка(%)Чернігівська область1:1 300 000181,530 673,531 9033 Чернігівський район1:1 300 00065,511 069,511 6965 Ніжинський район1:1 300 00037,56 337,5 6 8908 Прилуцький район1:1 300 000305 0705 543 9 Новгород-Сіверський район1:1 300 00024,54 140,5 4 586 10 Корюківський район1:1 300 000213 5493 18812{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Об’єктдослідження. Довідкова інформація( км2)Відносна похибка(%)Чернігівська область1:1 300 000181,530 673,531 9033 Чернігівський район1:1 300 00065,511 069,511 6965 Ніжинський район1:1 300 00037,56 337,5 6 8908 Прилуцький район1:1 300 000305 0705 543 9 Новгород-Сіверський район1:1 300 00024,54 140,5 4 586 10 Корюківський район1:1 300 000213 5493 188127,8 %

{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Об’єктдослідження. S=В + Г𝟐  – 1(см2) S = (В + Г𝟐  – 1) М𝟏𝟎𝟓𝟐(км2)Довідкова інформація( км2)Відносна похибка(%)Міжрічинський регіональний ландшафтний парк1 : 50000043,51087,510246м. Чернігів1 : 15000040,591,125892м. Одеса1 : 250000281751637{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Об’єктдослідження. Довідкова інформація( км2)Відносна похибка(%)Міжрічинський регіональний ландшафтний парк1 : 50000043,51087,510246м. Чернігів1 : 15000040,591,125892м. Одеса1 : 2500002817516375 %

{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Об’єктдослідження. S=В + Г𝟐  – 1(см2) S = (В + Г𝟐  – 1) М𝟏𝟎𝟓𝟐(км2)Довідкова інформація( км2)Відносна похибка(%) Земельна ділянка № 12185,455,450 Земельна ділянка № 21841,151,150 Земельна ділянка № 3184,50,18450,18450{5 C22544 A-7 EE6-4342-B048-85 BDC9 FD1 C3 A}Об’єктдослідження. Довідкова інформація( км2)Відносна похибка(%) Земельна ділянка № 12185,455,450 Земельна ділянка № 21841,151,150 Земельна ділянка № 3184,50,18450,184500 %

Підсумки експерименту Завдання, поставлені на початку роботи, виконані. Гіпотеза – площу географічного об’єкта, зображеного на дрібномасштабній географічній карті та на супутниковому знімку, земельної ділянки, зображеної на плані, можна обчислити за допомогою теореми Піка більш просто та швидко, отримуючи достовірні значення – підтвердилася. Теорема Піка має значну пізнавальну і практичну цінність. Враховуючи похибку експеримент можна вважати вдалим, а формулу Піка цінною та корисною у подібних випадках.

Висновок. Теорема Піка використовується для аналізу даних дистанційного зондування Землі, обчислення площі географічного об’єкта зображеного на супутниковому знімку. Теорема Піка є ефективною при обчисленні площ на місцевості. Маленька теорема Піка замінить цілий комплект формул, необхідних для подібних розрахунків.

Наукова новизна роботивперше теорема Піка використовується для аналізу даних дистанційного зондування Землі, обчислення площі географічного об’єкта зображеного на супутниковому знімку;вперше для знаходженні вузлів решітки, потрібних для використання теореми Піка, використовується палетка; виведена формула S = (В + Г𝟐  – 1) (М𝟏𝟎𝟓)𝟐, яка дає можливість отримувати відповідь з урахуванням масштабу у квадратних кілометрах для географічного об’єкта, зображеного на дрібномасштабній географічній карті та супутниковому знімку, земельної ділянки, зображеної на плані.