Теорема Вієта та теорема, обернена до теореми Вієта

Алгебра,8 клас. Теорема Вієта

Цілі:формування предметних компетентностей: домогтися засвоєння теореми Вієта; сформувати вміння застосовувати теорему Вієта до розв’язування задач;формування ключових компетентностей: формувати вміння відбирати й застосовувати потрібні знання та способи діяльності для досягнення мети; сприяти самовихованню творчого ставлення до справи.

{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Рівнянняabc−𝑏𝑎𝑐𝑎𝑥1𝑥2𝑥1+𝑥2𝑥1∙𝑥2𝑥2−2𝑥−8=02𝑥2+5𝑥−7=03𝑥2−16𝑥+5=0{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Рівнянняabc. Завдання.1) Нехай a, b і c - коефіцієнти квадратного рівняння 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎, 𝒙𝟏і 𝒙𝟐 - його корені. Перенесіть таблицю в зошит та заповніть її. 2) Порівняйте −𝑏𝑎  і  𝑥1+𝑥2; 𝑐𝑎  і  𝑥1∙𝑥2  порівняйтепорівняйте

СЛІД ЗНАТИ!Квадратні рівняння мають не більш ніж два (один, два або жодного)корені. Означення. Квадратне рівняння, старший коефіцієнт якого дорівнює 1, називають зведеним. Означення. Квадратне рівняння 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝟎, у якому коефіцієнти a, b та с не дорівнюють нулю називають повним квадратним рівнянням. Наприклад, 𝑥2−7𝑥+10=0;     𝑥2−4𝑥−32=0  Наприклад, 2𝑥2+7𝑥+5=0;     16−21x+5𝑥2=0  

Франсуа Вієт - французький математик, «батько алгебри». У його працях алгебра набула вигляду загальної науки про алгебраїчні рівняння, яка грунтується на символічних позначеннях.

Теорема Вієта Якщо 𝑥1  і  𝑥2 - корені квадратного рівняння 𝑥2+𝒑𝑥+𝒒=0, то 𝑥1+𝑥2=−𝒑,𝑥1∙𝑥2=𝒒. Якщо 𝑥1  і  𝑥2 - корені квадратного рівняння 𝒂𝑥2+𝒃𝑥+𝒄=0, то 𝑥1+𝑥2=−𝒃𝒂,𝑥1∙𝑥2=𝒄𝒂. для зведеного квадратного рівняннядля повного квадратного рівняння

Приклад. Знайдіть коефіцієнт p і другий корінь 𝑥2 квадратного рівняння 𝒙𝟐+𝒑𝒙−𝟏𝟓=𝟎, якщо один із коренів 𝒙𝟏=−𝟓. Розв’язання{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок. Зміст діїРезультат діїКрок 1 Запишемо теорему Вієта для заданого рівнянняp - другий коефіцієнт;−𝟏𝟓 – вільний член𝑥1+𝑥2=−𝑝,𝑥1∙𝑥2=−15 Крок 2 Підставимо значення 𝒙𝟏=−𝟓 у друге рівняння системи й знайдемо значення 𝒙𝟐.−5∙𝑥2=−15;𝑥2=3 Крок 3 Підставимо значення 𝒙𝟏 та 𝒙𝟐 в перше рівняння системи й знайдемо p−5+3=−𝑝;−𝑝=−2;𝑝=2{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок. Зміст діїРезультат діїКрок 1 Запишемо теорему Вієта для заданого рівняння. Крок 2 Крок 3 Відповідь: p=2, 𝑥2=3. 

Завдання. У завданнях 1-4 знайдіть коефіцієнти p і q квадратного рівняння 𝒙𝟐+𝒑𝒙−𝟏𝟓=𝟎, якщо: сума і добуток коренів рівняння відповідно дорівнюють 15 і 54;сума і добуток коренів рівняння відповідно дорівнюють 7 і – 44;коренями рівняння є числа −3 і 13;коренями рівняння є числа −9 і −10. 

Завдання. У завданнях 5-6 знайдіть невідомий коефіцієнт і один із коренів квадратного рівняння. Знайдіть коефіцієнт р і другий корінь 𝑥2 квадратного рівняння 𝑥2+𝑝𝑥−28=0, якщо один із коренів 𝑥1=4. Знайдіть коефіцієнт р і другий корінь 𝑥2 квадратного рівняння 𝑥2+𝑝𝑥+16=0, якщо один із коренів 𝑥1=−8. 

Теорема, обернена до теореми Вієта Якщо 𝑥1+𝑥2=−𝒑,𝑥1∙𝑥2=𝒒,то𝑥1  і  𝑥2 - корені квадратного рівняння 𝑥2+𝒑𝑥+𝒒=0. для зведеного квадратного рівняння

Приклад. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння 5𝒙𝟐−𝟕𝒙+𝟐=𝟎. Визначте знаки коренів рівняння. Розв’язання{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок. Зміст діїРезультат діїКрок 1 Визначимо коефіцієнти заданого рівняння.𝑎=5, 𝑏=−7, 𝑐=2 Крок 2 Знайдемо дискримінант квадратного рівняння та порівняємо його з нулем.𝐷=𝑏2−4𝑎𝑐;𝐷=(−7)2−4∙5∙2=49−40=9; 𝐷>0 Крок 3 За знаком дискримінанта визначимо кількість коренів квадратного рівняння. Якщо 𝐷>0, то   𝑥1≠𝑥2. Оскільки 𝐷>0, тому рівняння має два корені 𝑥1≠𝑥2. Крок 4 Поділимо обидві частини рівняння на 5. Отримаємо зведене квадратне рівняння𝑥2−75𝑥+25=0 Крок 5 Визначимо коефіцієнти зведеного квадратного рівняння 𝒙𝟐+𝒑𝒙+𝒒=𝟎 та запишемо для нього теорему Вієта: 𝑥1+𝑥2=−𝒑,𝑥1∙𝑥2=𝒒.𝑥1+𝑥2=75,𝑥1∙𝑥2=25. Крок 6 Звернемо увагу на знак добутку коренів і зробимо висновок: оскільки добуток додатній, то корені 𝑥1і𝑥2 мають один знак.𝑥1∙𝑥2=25,        𝑥1∙𝑥2>0,𝑥1>0,𝑥2>0 або 𝑥1<0,𝑥2<0 Крок 7 Звернемо увагу на знак суми коренів.𝑥1+𝑥2=75,                   𝑥1+𝑥2>0 Крок 8 Оскільки сума коренів додатна й корені мають один знак, то вони обидва додатні.𝑥1>0,𝑥2>0{5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}Крок. Зміст діїРезультат діїКрок 1 Визначимо коефіцієнти заданого рівняння. Крок 2 Знайдемо дискримінант квадратного рівняння та порівняємо його з нулем. Крок 3 За знаком дискримінанта визначимо кількість коренів квадратного рівняння. Крок 4 Поділимо обидві частини рівняння на 5. Отримаємо зведене квадратне рівняння. Крок 5 Крок 6 Крок 7 Звернемо увагу на знак суми коренів. Крок 8 Оскільки сума коренів додатна й корені мають один знак, то вони обидва додатні. Відповідь: 𝑥1+𝑥2=75, 𝑥1∙𝑥2=25, обидва корені додатні. 

Завдання. У завданні 7 знайдіть суму й добуток коренів квадратного рівняння: Завдання 7. а) 𝑥2−6𝑥+2=0;б) 𝑥2+3𝑥−4=0;в) 3𝑥2−7𝑥−6=0;г) 5𝑥2+10𝑥+1=0. У завданні 8 визначте коефіцієнти b і c, якщо 𝑥1 𝑥2 - корені рівняння: Завдання 8. а) 2𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑥1>0,      𝑥2>0;б) −3𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0, 𝑥1>0,   𝑥2>0,      𝑥1<𝑥2; 

За знаком добутку коренів квадратного рівняння можна визначити знаки цих коренів:якщо 𝑥1∙𝑥2>0, то корені мають один знак;якщо 𝑥1∙𝑥2<0, то корені мають різні знаки. Для повного квадратного рівняння