Теоретичний матеріал. Функції.

Функція — це залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню х відповідає єдине значення у.

Позначається: y = f(x), де х — аргумент (незалежна змінна); у — функція, значення функції (залежна змінна);f(x₀) — значення функції в точці х₀.

Приклад. Дано функцію f(x) = x²-3х + 2.

Знайдемо: 1) f(0)2) f(-1);3) f(а).

Розв’язання

1)f (0) = 0²–3 ∙ 0 + 2 = 2;

2)f (-1) = (-1)²–3 ∙ (-1)+2 = 6;

3)f(a) = a²– 3a + 2.

Область визначення функції D(f)— це множина всіх значень, яких набуває аргумент.

Як знайти область визначення функціїy = f(x)

1.Якщо f(x) — многочлен, то D(f) = R.

2.Якщо ,D(f)знаходимо з умови:Q(x)0(знаменник дробу не дорівнює 0).

3.Якщо , то D(f) знаходимо з умови: R(x) ≥ 0.

Приклад.Знайдемо область визначення функції:
1)у = 3х²–х+ 1; 2)у=;3).

Розв'язання

1)  3х²–х+ 1— многочлен, тому D(y) = R;

2) існує, коли 3х–2 ≥ 0; х ≥ . Отже, D(y)=;

3) існує, коли х²–3x0; х0; х 3.

Отже, D(y)= (-∞; 0)(0; 3)(3;+∞).

Область значень функції E(f)— множина всіх значень змінної у, яких вона може набувати при всіх значеннях аргументу, взятих з D(f).

Приклад. Знайдемо область значень функції у = +1.

Розв'язання

При всіх xD(f) ≥ 0, тому+1 ≥ 1, отже, для функції у=+1Е(у) = [1; +∞).

Числовою функцієюназивають функцію, область визначення й область значень якої є числовими множинами.

Графіком функціїy = f(x)називають множину всіх точок координатної площини з координатами (х; f(x)), де х «пробігає» всю область визначення f(x) (ay — відповідне значення функції / у точці х).

Деякі елементарні функції та їхні графіки

1. y = kx + b—лінійна функція

2. у = x²

3.у =

4.y =

Найпростіші перетворення графіків функцій

№ з/п

Формула залежності

Приклад

Перетворення

1

y = -f(х)

Симетрія відносно осі Ох

2

y = f(х)+ a

Паралельне перенесення вздовж осі Оу на а одиниць (якщо а> 0, то вгору, якщо а< 0, то вниз)

3

y = f(х + a)

Паралельне перенесення вздовж осі Ох на +а одиниць (якщо а> 0— вліво, якщо а< 0 — вправо)

4

y = kf(х)(k >0)

Той самий вигляд, що і y = f(x), тільки розтяг-нуто, якщо k> 1, і стиснуто, якщо 0<k<1

Функція виду у = ax²+ bx + c, де а 0, називається квадратичною.

Наприклад: — квадратичні функції.

Графік квадратичної функції — парабола, вітки якої напрямлені вгору, якщо а > 0, і вниз — якщо а < 0 .

Координати вершини (х₀;у₀)параболи графіка у = ах² + bх + с обчислюються за формулами:

; або

Наприклад: у функціїу = х²+2х–3, яка є квадратичною, графік — парабола. Вітки параболи напрямлені вгору (а = 1 > 0), а координати вершини:

;

або y₀ = f (-1) = (-1)²+2 ∙ (-1)–3= 1–2–3= -5 + 1 = -4.

Тобто вершина параболи (-1; - 4).

Побудова графіка функції у = ах² + bх + с, а0.

Спосіб1

Спосіб2

1.Обчислити абсцису вершини

1.Виділити повний квадрат:

ах² +bх + с = а=

2.Підставити х₀у рівнянняі знайти у₀.

3. Побудувати параболу у = ах²з вершиною в точці (х₀;у₀).Якщо а >0, вітки параболи напрямлені вгору, якщоа <0— вниз.

4. Для більшої точності побудови знайти точки перетинуграфіка з координатнимиосями.

= а=.

2.Використавши схему геометричних перетворень графіківфункцій, виконати побудовупараболи у= х², потім її розтягнення (або стиснення) до параболи у= ах², а потім виконатипаралельне перенесення у= ах²вздовж осі Ох на –ті вздовжосі Оуна п.