Теоретичний матеріал. Функції.

Про матеріал
В данній розробці наведено теоретичний матеріал про функції, графіки функцій, перетворення графіків функцій
Перегляд файлу

ФУНКЦІЇ

Функція це залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню х відповідає єдине значення у.

Позначається: y = f(x), де х — аргумент (незалежна змінна); у — функція, значення функції (залежна змінна);f(x0) — значення функції в точці х0.

Приклад. Дано функцію f(x) = x2-3х + 2.

Знайдемо: 1) f(0)2) f(-1);3) f(а).

Розв’язання

1)f (0) = 02–3 ∙ 0 + 2 = 2;

2)f (-1) = (-1)2–3 ∙ (-1)+2 = 6;

3)f(a) = a2– 3a + 2.

 

Область визначення функції D(f)— це множина всіх значень, яких набуває аргумент.

 

 

Як знайти область визначення функціїy = f(x)

 

 

1.Якщо f(x) — многочлен, то D(f) = R.

 

2.Якщо ,D(f)знаходимо з умови:Q(x)0(знаменник дробу не дорівнює 0).

3.Якщо , то D(f) знаходимо з умови: R(x) ≥ 0.

Приклад.Знайдемо область визначення функції:
1)у = 3х2–х+ 1; 2)у=;3).

 

Розв'язання

 

 

1)  3х2х+ 1— многочлен, тому D(y) = R;

2) існує, коли 3х–2 ≥ 0; х ≥ . Отже, D(y)=;

3) існує, коли х2–3x0; х0; х 3.

Отже, D(y)= (-∞; 0)(0; 3)(3;+∞).

 

 

Область значень функції E(f)множина всіх значень змінної у, яких вона може набувати при всіх значеннях аргументу, взятих з D(f).

 

 

Приклад. Знайдемо область значень функції у = +1.

Розв'язання

 

 

При всіх xD(f) ≥ 0, тому+1 ≥ 1, отже, для функції у=+1Е(у) = [1; +∞).

 

 

Числовою функцієюназивають функцію, область визначення й область значень якої є числовими множинами.

 

 

Графіком функціїy = f(x)називають множину всіх точок координатної площини з координатами (х; f(x)), де х «пробігає» всю область визначення f(x) (ay — відповідне значення функції / у точці х).

 

 

Деякі елементарні функції та їхні графіки

 

 

1. y = kx + b—лінійна функція

2. у = x2

 

 

3.у =

4.y =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найпростіші перетворення графіків функцій

 

 

№ з/п

Формула залежності

Приклад

Перетворення

 

 

1

y = -f(х)

Симетрія відносно осі Ох

 

 

2

y = f(х)+ a

Паралельне перенесення вздовж осі Оу на а одиниць (якщо а> 0, то вгору, якщо а< 0, то вниз)

 

 

3

y = f(х + a)

Паралельне перенесення вздовж осі Ох на +а одиниць (якщо а> 0— вліво, якщо а< 0 — вправо)

 

 

4

y = kf(х)(k >0)

Той самий вигляд, що і y = f(x), тільки розтяг-нуто, якщо k> 1, і стиснуто, якщо 0<k<1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція виду у = ax2+ bx + c, де а 0, називається квадратичною.

Наприклад: — квадратичні функції.

Графік квадратичної функції — парабола, вітки якої напрямлені вгору, якщо а > 0, і вниз — якщо а < 0 .

Координати вершини (х0;у0)параболи графіка у = ах2 + bх + с обчислюються за формулами:

; або

Наприклад: у функціїу = х2+2х–3, яка є квадратичною, графік — парабола. Вітки параболи напрямлені вгору (а = 1 > 0), а координати вершини:

;

або y0 = f (-1) = (-1)2+2 ∙ (-1)–3= 1–2–3= -5 + 1 = -4.

Тобто вершина параболи (-1; - 4).

 

Побудова графіка функції у = ах2 + bх + с, а0.

 

 

Спосіб1

Спосіб2

 

 

1.Обчислити абсцису вершини

1.Виділити повний квадрат:

ах2 +bх + с = а=

 

 

2.Підставити х0у рівнянняі знайти у0.

3. Побудувати параболу у = ах2з вершиною в точці 00).Якщо а >0, вітки параболи напрямлені вгору, якщоа <0— вниз.

4. Для більшої точності побудови знайти точки перетинуграфіка з координатнимиосями.

= а=.

2.Використавши схему геометричних перетворень графіківфункцій, виконати побудовупараболи у= х2, потім її розтягнення (або стиснення) до параболи у= ах2, а потім виконатипаралельне перенесення у= ах2вздовж осі Ох на –ті вздовжосі Оуна п.

 

 

docx
Додано
13 грудня 2023
Переглядів
162
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку